Campo elettrico al centro di un anello con densità opposte

[Angus1956]

Consideriamo il seguente problema:



Io ho fatto così:
Poniamo $dq_1=lambdadl=lambdaRd\theta$ per la parte superiore dell'anello, mentre $dq_2=-lambdadl=-lambdaRd\theta$ per la parte inferiore dell'anello. Abbiamo quindi (per determinare verso e direzione del campo elettrico generato da una singola carica sull'anello pongo idealmente una carica positiva nel centro dell'anello) $d\vecE_1=(kdq_1)/R^2(-cos(\theta)\hati-sin(\theta)\hatj)$ e $d\vecE_2=(kdq_2)/R^2(-cos(\theta)\hati-sin(\theta)\hatj)$, da cui $\vecE=\intd\vecE_1+\intd\vecE_2=-(klambda)/R(\int_0^\pi(-cos(\theta)\hati-sin(\theta)\hatj)d\theta +\int_pi^(\2pi)(cos(\theta)\hati+sin(\theta)\hatj)d\theta=-(4klambda)/R\hatj$

Volevo sapere se andasse bene tutto quello che ho spiegato, grazie.

[ingres]

OK
Comunque potevi semplificare la trattazione con qualche considerazione preliminare (che comunque alla fine risulta anche implicitamente dai calcoli).

Infatti si può osservare che
1) Per la parte superiore le componenti orizzontali sul centro dell'anello si elidono a vicenda, per cui basta considerare solo la componente verticale che è diretta verso l'asse negativo delle y.
2) vale lo stesso per la parte inferiore, dove E sarà diretto ancora verso il basso e per simmetria anche con lo stesso modulo della parte superiore
3) non è necessario introdurre la carica di test

Quindi tenendo conto che $dq=lambda *R *d theta$ consideriamo solo la parte superiore e la sola componente verticale
$E/2 = int_0^pi k (lambda *R *d theta)/R^2 sin(theta)=(2*k*lambda)/R$

$vec E = -(4*k*lambda)/R * vec j$

[Angus1956]

Scusami se non introduco la carica di test idealmente (c'è vuol dire nella mia testa) come faccio a trovare direzione e verso del campo elettrico (che io faccio coincidere appunto con la direzione e verso della forza applicata alla carica di test)?

[RenzoDF]

Senza scomodare nessun integrale bastava osservare che il campo associato alla carica distribuita sulla semicirconferenza rispetto a quello della stessa carica concentrata nel suo punto medio è pari al rapporto fra diametro e lunghezza della semicirconferenza, ovvero \(2/\pi\), in quanto la somma vettoriale dei contributi infinitesimi andrà a formare una semicirconferenza.

[ingres]

"andreadel1988":Scusami se non introduco la carica di test idealmente (c'è vuol dire nella mia testa) come faccio a trovare direzione e verso del campo elettrico (che io faccio coincidere appunto con la direzione e verso della forza applicata alla carica di test)?

Il campo $vec E$ è definito univocamente dalle cariche che lo generano e non dipende dalla carica di test. La carica di test serve solo per darne una definizione operativa in termini di forza elettrica, ma non è necessaria ai fini del calcolo una volta che conosci la relazione tra le cariche generatrici ed il campo generato dalle stesse.
Ad esempio per un insieme di cariche puntiformi il campo risultante sarà banalmente la somma vettoriale dei singoli campi elettrici generati da ciascuna carica (e dove per le cariche positive il verso è uscente dalla carica e per quelle negative è entrante a prescindere dalla carica di test).

A riprova di quanto sopra, nel caso specifico puoi provare utilizzare una carica di test negativa e verificare che ottieni sempre lo stesso risultato.

[Angus1956]

"ingres":[quote="andreadel1988"]Scusami se non introduco la carica di test idealmente (c'è vuol dire nella mia testa) come faccio a trovare direzione e verso del campo elettrico (che io faccio coincidere appunto con la direzione e verso della forza applicata alla carica di test)?

Il campo $vec E$ è definito univocamente dalle cariche che lo generano e non dipende dalla carica di test. La carica di test serve solo per darne una definizione operativa in termini di forza elettrica, ma non è necessaria ai fini del calcolo una volta che conosci la relazione tra le cariche generatrici ed il campo generato dalle stesse.
Ad esempio per un insieme di cariche puntiformi il campo risultante sarà banalmente la somma vettoriale dei singoli campi elettrici generati da ciascuna carica (e dove per le cariche positive il verso è uscente dalla carica e per quelle negative è entrante a prescindere dalla carica di test).

A riprova di quanto sopra, nel caso specifico puoi provare utilizzare una carica di test negativa e verificare che ottieni sempre lo stesso risultato.[/quote]
A ok ok, ho capito la robba entrante e uscente, grazie