Campo elettrico

[mpulcina]

ciao ragazzi, mi servirebbe un chiarimento. ho una sfera di raggio r=0.5m su cui è stata depositata una carica con densità $ D=10^(-9) C/m^2 $ e devo calcolarne il campo elettrico all'interno di essa. Ho visto il risultato ed è 0, ma non capisco il perchè!!! Help me please!

[Sk_Anonymous]

Lo dimostri considerando la simmetria sferica del problema e applicando il teorema di Gauss.

[mpulcina]

cioè? Io so che per la legge di Gauss, il numero di linee uscenti da ogni superficie è proporzionale alla carica totale racchiusa dalla superficie quindi $ E=kQ/R^2 $, e ora?

[mpulcina]

ah forse ho capito: io so che in condizioni di equilibrio elettrostatico la carica si dispone sulla superficie della sfera e quindi all'interno il campo elettrico è nullo. é corretto?

[Sk_Anonymous]

Quello vale per un qualsiasi conduttore in equilibrio elettrostatico. Il risultato si ottiene in modo quasi immediato e applicando il teorema di Gauss sapendo che $vec E=0$ all'interno del conduttore, proprio perchè in equilibrio elettrostatico. Nel tuo caso, siccome il problema assegna una densità superficiale di carica, io non utilizzerei tutti i risultati che si deducono da quella teoria e procederei indipendentemente da quella.
Poichè il campo ha simmetria sferica, le linee di forza sono radiali e $|vec E|$ dipende solo dalla distanza dal centro della sfera. Quindi, prendendo una superficie sferica di raggio $0

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[mpulcina]

ma visto che la mia sfera è un conduttore in equilibrio elettristatico, non si può dedurre subito che la carica si dispone sulla sup e quindi il campo elettrico interno=0 senza fare un ragionamento analitico?

[Sk_Anonymous]

Non ho detto che non puoi. Dipende anche da quanta parte di programma è stata svolta nel momento dell'assegnazione dell'esercizio. L'esercizio può essere svolto anche senza sapere nulla a proposito dei conduttori in equilibrio elettrostatico, viceversa avrebbe potuto darti la carica totale senza nemmeno dire esplicitamente che era distribuita sulla superficie. Inoltre, se la sfera avesse una cavità sferica concentrica, la dimostrazione utilizzando quella teoria non sarebbe elementare, mentre nel procedimento che ti ho mostrato si giunge lo stesso al risultao voluto.

[mpulcina]

ok, perfetto. inoltre il problema mi chiede di calcolarlo anche a 3 mm di distnza dalla superficie. posso usare $ E=k*Q/r^2 $ ? però so che immediatemente fuori dalla superficie il campo elettrico è perpendicolare ad essa, e quindi?

[Sk_Anonymous]

Quest'ultimo risultato vale per un conduttore in equilibrio elettrostatico di forma qualsiasi, a patto di essere "abbastanza" vicini alla superficie. Ma nel tuo caso, il campo elettrico all'esterno della sfera è identico a quello che si avrebbe se tutta la carica fosse concentrata nel suo centro. Un osservatore esterno non potrebbe distinguere se la carica è concentrata tutta in un punto, il centro della sfera, oppure distribuita in modo uniforme sulla sua superficie. Questo risultato si ottiene con la stessa dimostrazione precedente prendendo come superficie di Gauss una sfera di raggio $r>R$. In questo esercizio hai molte più informazioni, ricavabili in modo elementare, di quelle che potresti ottenere se il conduttore non fosse sferico, soprattutto quando sei distante dalla sfera, applicando la teoria generale. Per questo non la ritengo necessaria.

[mpulcina]

e quindi lo posso calcolare con $ E= D/epslon0 $ ?[/tex]

[Sk_Anonymous]

In definitiva:

$|vec E|=0$ quando $r
$|vec E|=1/(4\pi\epsilon_0)Q/r^2$ quando $r>R$

dove:

$R$: raggio della sfera.

$r$: distanza dal centro della sfera.

Nel tuo caso $Q=D*4\piR^2$, $R=0,5 m$ e $r=0,503 m$.

[mpulcina]

e se sono a 1 m di distanza dalla sup della sfera? il campo elettrico decresce ma quale formula devo usare per calcolarlo e differenziarlo da quello a 3 mm?

[Sk_Anonymous]

Forse non sono stato chiaro. In ogni modo, sempre la stessa formula con $r=1,5 m$.

[mpulcina]

ah sì sì ora ho capito!!! adesso il potenziale: aall'interno della sfera è zero giusto?

[Sk_Anonymous]

Speravo di aver concluso. Il potenziale all'interno della sfera è costante, uguale al suo valore sulla superficie, non necessariamente $0$. Anzi:

$V=1/(4\pi\epsilon_0)Q/R$ quando $r<=R$.

Se vuoi ne riparliamo.

[mpulcina]

sì forse è meglio perchè voglio averlo chiaro questo argomento!

[mpulcina]

torniamo al calcolo del potenziale?

[Sk_Anonymous]

$V=1/(4\pi\epsilon_0)Q/r$ quando $r>R$

[mpulcina]

e se $r=R$ ovvero sulla superficie?

[Sk_Anonymous]

$V=1/(4\pi\epsilon_0)Q/R$ quando $r<=R$

$V=1/(4\pi\epsilon_0)Q/r$ quando $r>R$

La prima espressione vale anche per $r=R$.

[mpulcina]

ok, ti ringrazio veramente tanto, mi hai dato risposte chiare e soprattutto in toni pacati