Campo elettrico

[ulissess]

la superficie di una semisfera di raggio R possiede una densità di carica superficiale uniforme. determinare il campo elettrico nel centro della semisfera.

$dq=\sigmadA=\sigma(2\piRsin\theta)Rd\theta$

$E=\int_0^{pi/2} 1/(4piepsilon)*(dq)/R^2cos\theta

raga io non riesco a capire come ricava il $dA$ e non capisco nemmeno come riesce a ricavarsi gli estremi di integrazione (non dovrebbe essere da 0 a $\pi$?? grazie x le eventuali risposte

[Falco5x]

Pensa la superficie semi sferica posta su un piano orizzontale e immagina di tagliarla orizzontalmente a fette infinitesime. Da ogni taglio esce un anello di raggio $Rsin\theta$. La superficie di questo anello è $(2\piRsin\theta)Rd\theta$ che costituisce l'area dA.
Poiché sappiamo che il contributo di campo di ogni anello è assiale (per simmetria) ogni pezzettino di questa superficie è distante R dal centro, però quelle che si sommano sono le sole componenti di campo assiali perché quelle radiali si annullano, per cui va presa solo la componente assiale, cioè il campo infinitesimo moltiplicato per $cos\theta$.
Naturalmente gli anelli vanno da quello di raggio zero che corrisponde a $\theta=0$ a quello massimo che corrisponde a $\theta=\pi/2$.

[ulissess]

ma scusa se taglio una semisfera a fette non ottengo ancora sottili semisfere? che centra l'anello? sinceramente non riesco ad immaginarmi tutta quella roba... matematicamente non si può trovare quella superficie? non so attraverso coordinate sferiche?

[Falco5x]

"ulissess":ma scusa se taglio una semisfera a fette non ottengo ancora sottili semisfere? che centra l'anello? sinceramente non riesco ad immaginarmi tutta quella roba... matematicamente non si può trovare quella superficie? non so attraverso coordinate sferiche?

Lascia perdere le coordinate e cerca di "vedere" il problema.
Una superficie semisferica è come la buccia di mezza arancia posata sul tavolo. Ha la forma di un igloo insomma, e dentro è vuota.
Se tu la tagli a fettine orizzontali molto sottili, ogni fettina è un anello. Fatta questa operazione se tu sovrapponi tutti questi anelli di diametro sempre decrescente, da quello massimo fino al tappo finale, riottieni la tua mezza superficie sferica. E' chiaro adesso?
Il campo totale è dato dalla somma di tutti i contributi di questi anelli infinitesimi, ciascuno dei quali dà un contributo esclusivamente assiale (verticale) sull'asse della semisfera, per ragioni di simmetria.
Con questo chiarimento adesso prova a rileggere quanto ho scritto prima.
Se poi non è ancora chiaro ci risentiamo.

[ulissess]

guarda forse ho capito $Rd\theta$ è lo spessore dell'anello e lo moltiplici per la 'base' che in questo caso sarebbe un cerchio $2\pir$ con $r=Rsin\theta$ che è la componente orizzontale di R.. quindi viene $2\piR^2sin\thetad\theta$ giusto??? stavo ragionando anche come $Rsin\thetad\theta$ tratto infinitesimo della lunghezza dell'anello moltiplicato $2\piR$ che ne pensi?? grazie mille per il tuo aiuto

[Falco5x]

"ulissess":stavo ragionando anche come $Rsin\thetad\theta$ tratto infinitesimo della lunghezza dell'anello moltiplicato $2\piR$ che ne pensi??

Questo mi è poco chiaro perché $Rd\theta$ deve essere l'altezza dell'anello, che moltiplicata per la lunghezza dà l'area. Dico l'altezza perché è proprio quella che poi va integrata sull'angolo totale cioè da 0 a $\pi/2$. Se tu prendi invece un tratto infinitesimo di lunghezza e poi lo moltiplichi per la lunghezza totale (dell'anello massimo!???!) $2\piR$, non ottieni niente di geometricamente sensato, temo. La prima che avevi detto era quella giusta.

[ulissess]

hehehe vero hai ragione!! piano piano mi sta entrando in testa !! grazie ancora!