Campo elettrico

[matematicoestinto]

Si considerino i quattro quadranti del piano YZ: in ognuno di essi vi è una carica, le 2 cariche nel semipiano superiore sono positive, le altre negative. esse formano un quadrato con l'origine come centro di simmetria. Quanto vale il campo elettrico sull'asse x?

Io pensavo di trovare il potenziale generato dalle 4 cariche in un punto generico dell'asse x e poi sfruttare $E=-grad(V)$ per trovare il campo elettrico, ma non so se non riesce perchè non lo so fare o perchè non si può seguire questa via

GRAZIE

[elgiovo]

Credo che tu debba semplicemente sommare i quattro campi in un generico punto dell'asse x, così:

.
Detto $l$ metà del lato del quadrato, si ha che la distanza di ogni carica dal generico punto $x$ è $sqrt(x^2+l^2+l^2)=sqrt(x^2+2l^2)$,
quindi il campo della carica $q_i$ risulta $E_i=1/(4pi varepsilon_0) q_i/(x^2+2l^2)$, il campo totale in $x$ è $E(x)=sum_(i=1)^4 E_i=sum_(i=1)^4 1/(4pi varepsilon_0) q_i/(x^2+2l^2)$.

[matematicoestinto]

In effett sapevo che questo era il modo alternativo, mi chiedevo soltanto perchè quello proposto da me non va bene. Comunque grazie

[Cmax1]

Bisogna prima esprimere il potenziale in funzione delle coordinate, calcolarne il gradiente, e POI imporre le condizioni di appartenenza all'asse $x$, cioè $y=0, z=0$, nello stesso modo in cui per calcolare $f'(0)$ prima si calcola $f'(x)$ e poi si impone $x=0$.
È effettivamente più veloce, vista la simmetria del problema, calcolare direttamente il campo, ma occorre ricordare che è un vettore, perlomeno in problemi di questo tipo ...
Se le cariche sono di egual modulo, la somma proposta è nulla, mentre è verosimile aspettarsi un campo somigliante a quello di un dipolo.

[ottusangolo]

Certo mat. che puoi usare il potenziale ma non credo ti semplifichi il lavoro, quindi perchè non calcolarlo direttamente , magari sfruttando la simmetria del problema?
Comunque ATTENZIONE il campo calcolato da Elgiovo è un mezzo pasticcio: di sicuro così come l' ha scritto non è il campo in x.Si deve tenere presente che il campo elettrico è un campo vettoriale
Il risultato se t'interessa dovrebbe essere (potrei anch'io aver pasticciato nei calcoli)

$ E=k((q(3)+q(4)-q(1)-q(2) )*x/d^(3/2))u$ +
$k((root2((q(1)+q(3))^2+(q(2)+q(4))^2 )*l*root2(2))/d^(3/2))w$

che se le cariche sono uguali (in valore assoluto) si riduce a $k(4q*l/d^(3/2)*)w$

essendo u versore lungo x
w versore ortogonale ad x

Scusate,spero si capisca; mi devo rileggere come inserire le formule

[elgiovo]

"ottusangolo":Certo mat. che puoi usare il potenziale ma non credo ti semplifichi il lavoro, quindi perchè non calcolarlo direttamente , magari sfruttando la simmetria del problema?
Comunque ATTENZIONE il campo calcolato da Elgiovo è un mezzo pasticcio: di sicuro così come l' ha scritto non è il campo in x.Si deve tenere presente che il campo elettrico è un campo vettoriale
Il risultato se t'interessa dovrebbe essere (potrei anch'io aver pasticciato nei calcoli)

$ E=k((q(3)+q(4)-q(1)-q(2) )*x/d^(3/2))u$ +
$k((root2((q(1)+q(3))^2+(q(2)+q(4))^2 )*l*root2(2))/d^(3/2))w$

che se le cariche sono uguali (in valore assoluto) si riduce a $k(4q*l/d^(3/2)*)w$

essendo u versore lungo x
w versore ortogonale ad x

Scusate,spero si capisca; mi devo rileggere come inserire le formule

Se proprio devi allertare chiunque sull'erroneità del mio calcolo, prima aggiusta il tuo:
- non si sa chi sia $d$;
- non si sa chi sia $l$;
- visto che "potresti aver pasticciato" non sei sicuro del risultato, quindi aspetta a correggere gli altri;
- il tuo conto dev'essere sbagliato, perchè se le cariche sono uguali in valore assoluto non mi sembra ci sia alcun dubbio sul fatto che il campo sull'asse $x$ risulti nullo ovunque;
- non si scrive $root2$;
- io ho calcolato il modulo del campo;
- visto che la direzione del campo in $x$ generico non giacerà in generale sul piano $yz$ mi pare un pò restrittivo considerare due soli versori.

[ottusangolo]

elgiovo:
Detto $l$ metà del lato del quadrato, si ha che la distanza di ogni carica dal generico punto $x$ è $sqrt(x^2+l^2+l^2)=sqrt(x^2+2l^2)$,
quindi il campo della carica $q_i$ risulta $E_i=1/(4pi varepsilon_0) q_i/(x^2+2l^2)$, il campo totale in $x$ è $E(x)=sum_(i=1)^4 E_i=sum_(i=1)^4 1/(4pi varepsilon_0) q_i/(x^2+2l^2)$.

AGGIUSTATO il mio calcolo semplicemente specificando che

l=metà lato quadrato
$ d=x^2+2l^2 $ ;scelta legittima ma, riconosco, molto stupida.

mi permetto di RIALLERTARE ( ovviamente solo gli studenti alle prime armi che potrebbero farsi idee sbagliate) che il modulo di un vettore (in questo caso E(x) ) non è la semplice somma dei moduli dei vettori (E(i)) che lo compongono.
Cosa che credo elgiovo sappia ma siccome tutti si può sbagliare, meglio non prendersela troppo, e ricontrollare quello che si è scritto
Per le altre osservazioni fatte non vedo nulla di contraddittorio dal punto di vista fisico, non capisco quindi come si possa dedurre che la formula sia sbagliata.
Forse non si è capito che non sapendo come mat. ha messo gli assi Y e Z mi sono volutamente mantenuto sul generico, non volendo riferirmi alla scelta fatta da Elgiovo che non mi pareva la più conveniente.Faccio ammenda subito:
Date le cariche $ +q_1 , +q_2, , -q_3 ,-q_4 $
e posto l'asse y lungo la direzione $q_1, q_3 $ e l'asse z lungo $q_4, q_2$
posto l=metà lato quadrato
$ "d=sqrt(x^2+2l^2) $
dovrebbe risultare

$ E(x)=1/(4pi varepsilon_0)*((+q_1+q_2-q_3-q_4)x/d^3*vers(x)$
$+(+q_1+q_3)l*sqrt2/d^3*vers(y)+(-q_2-q_4)l*sqrt2/d^3*vers(z))$

In accordo con la formula trovata inizialmente.

[elgiovo]

Amesso che il mio conto è sbagliato, non mi sembra che il tuo conto sia lo stesso fatto in precedenza. Prima c'era un $d^(3/2)$ (perchè?) e ora c'è un $d^3$ (perchè?), inoltre hai aggiunto un altro versore.