Campo E, Gauss e dielettrico
Buonasera, ho una domanda: il teorema di Gauss vale anche in presenza di dielettrici?
L'esercizio in questione è questo:
Tra due conduttori A e B, uno interno all'altro, come in figura, c'è induzione completa. Essi sono
separati da una intercapedine piena di un mezzo di costante dielettrica relativa $epsilon_r=10$ e resistività
$rho108 Wm$. Tra i due conduttori viene applicata una differenza di potenziale $VB-VA = 100 V$ e si
verifica che tra di essi scorre una corrente $I = 1 mA$. Si chiede di calcolare: (i) il flusso del campo
elettrico attraverso una qualsiasi superficie chiusa $sum$ che contiene $B$, (ii) la carica presente sul
conduttore $B$, (iii) la capacità del condensatore risultante.
Vi riporto l'esercizio sotto l'immagine:
Per il primo punto, ho sfruttato la legge di Ohm, scrivendo $J=E/(rho)$, poi sapendo che $phiE=E*sum$, ho trovato il flusso. Ma la costante dielettrica $epsilon_r$ non c'entra niente nel calcolo del flusso?
Per il secondo punto, pensavo di applicare il teorema di Gauss per quanto riguarda la superficie $sum$, sapendo che $phiE=(Q(B))/(epsilon_0)$, ma il risultato non torna, perchè $Q(B)$ risulta essere uguale a $epsilon_0 epsilon_r E$. La spiegazione è che,essendoci un dielettrico, devo considerare il campo di induzione $D$, il cui flusso è uguale alla carica libera e in questo caso a $Q(B)$? Quindi il teorema di Gauss non vale in presenza di un dielettrico? O si modifica leggermente?
L'esercizio in questione è questo:
Tra due conduttori A e B, uno interno all'altro, come in figura, c'è induzione completa. Essi sono
separati da una intercapedine piena di un mezzo di costante dielettrica relativa $epsilon_r=10$ e resistività
$rho108 Wm$. Tra i due conduttori viene applicata una differenza di potenziale $VB-VA = 100 V$ e si
verifica che tra di essi scorre una corrente $I = 1 mA$. Si chiede di calcolare: (i) il flusso del campo
elettrico attraverso una qualsiasi superficie chiusa $sum$ che contiene $B$, (ii) la carica presente sul
conduttore $B$, (iii) la capacità del condensatore risultante.
Vi riporto l'esercizio sotto l'immagine:
Per il primo punto, ho sfruttato la legge di Ohm, scrivendo $J=E/(rho)$, poi sapendo che $phiE=E*sum$, ho trovato il flusso. Ma la costante dielettrica $epsilon_r$ non c'entra niente nel calcolo del flusso?
Per il secondo punto, pensavo di applicare il teorema di Gauss per quanto riguarda la superficie $sum$, sapendo che $phiE=(Q(B))/(epsilon_0)$, ma il risultato non torna, perchè $Q(B)$ risulta essere uguale a $epsilon_0 epsilon_r E$. La spiegazione è che,essendoci un dielettrico, devo considerare il campo di induzione $D$, il cui flusso è uguale alla carica libera e in questo caso a $Q(B)$? Quindi il teorema di Gauss non vale in presenza di un dielettrico? O si modifica leggermente?
Risposte
Il teorema di Gauss vale ovunque, solo che bisogna tenere in considerazione tutte le cariche che sono presenti dentro la superficie chiusa considerata, in questo caso, in una qualunque superficie contentente B, vi sono sia le cariche libere su B sia le cariche di polarizzazione del dielettrico...ma dato che non si sa quanto valgono le cariche di polarizzazione, allora applicare gauss al campo E è poco utile.
Non puoi calcolare il flusso come hai scritto [ $phi(E)=E*sum$ ], perché il campo elettrico non è necessariamente ortogonale alla superficie di integrazione ($sum$ è qualsiasi).
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