Campo E di un Disco Metallico
Salve ragazzi ho questo problema :
Un disco metallico ruota intorno all'asse z con velocità angolare $\omega$ ed in un campo magnetico $B$ uniforme parallelo all'asse z . Si calcoli il campo $E(r)$ che si genera , con r distanza dal centro dello stesso. Dimostrare che la d.d.p $V$ che si origina tra centro e periferia dipende in valore assoluto anche dai versi relativi di $\omega$ e $B$ . Esiste un particolare valore di B tale che V=0 ?
Penso di aver svolto correttamente l'esercizio , vorrei una vostra opinione.
Sia $\vec{v}=\vec{\omega} \times \vec{r}$ in modulo $v=\omega r$
La forza magnetica $\vec{F_m}=q[\vec{v} \times \vec{B}]$ in modulo $F_m=qvB$ genera un campo elettrico e di conseguenza abbiamo pure una forza elettrica $F_e=qE$ Uguagliando $0=F_e + F_m=q[E + vB]$ da cui $E=-vB=-\omegaBr$
integrando trovo la d.d.p $V(\omega,B)=\int_0^R -\omega B r dr=\omega B \frac{R^2}{2}$
Il valore di B che annulla V è B=0 .
Un disco metallico ruota intorno all'asse z con velocità angolare $\omega$ ed in un campo magnetico $B$ uniforme parallelo all'asse z . Si calcoli il campo $E(r)$ che si genera , con r distanza dal centro dello stesso. Dimostrare che la d.d.p $V$ che si origina tra centro e periferia dipende in valore assoluto anche dai versi relativi di $\omega$ e $B$ . Esiste un particolare valore di B tale che V=0 ?
Penso di aver svolto correttamente l'esercizio , vorrei una vostra opinione.
Sia $\vec{v}=\vec{\omega} \times \vec{r}$ in modulo $v=\omega r$
La forza magnetica $\vec{F_m}=q[\vec{v} \times \vec{B}]$ in modulo $F_m=qvB$ genera un campo elettrico e di conseguenza abbiamo pure una forza elettrica $F_e=qE$ Uguagliando $0=F_e + F_m=q[E + vB]$ da cui $E=-vB=-\omegaBr$
integrando trovo la d.d.p $V(\omega,B)=\int_0^R -\omega B r dr=\omega B \frac{R^2}{2}$
Il valore di B che annulla V è B=0 .
Risposte
Che strano esercizio! Ho capito bene? Si genererebbe un campo elettrico ?
Consideri la forza di Lorentz che agisce sugli elettroni del disco metallico come se fosse presente un campo elettrico che agisce su di essi?
Temo che ciò sia sbagliato. Quel campo elettrico non obbedirebbe all'equazione di Maxwell $\d\i\v E = \rho / \varepsilon$. Giusto?
La questione è molto più complessa. Gli elettroni vengono spinti dalla forza di Lorentz verso la periferia o il centro del disco, a seconda del verso di rotazione per un dato $B$. Si creerebbe quindi una densità di carica non uniforme a simmetria radiale la cui formula è difficile da calcolare in quanto gli elettroni liberi del metallo formano un gas dalle caratteristiche particolari. Quella distribuzione di cariche creerebbe un campo elettrico (l'unico creato in situazione stazionaria).
Poi, gli elettroni ruotando, creerebbero a loro volta un campo magnetico che interagirebbe su se stessi... Insomma un caso veramente complicato
Consideri la forza di Lorentz che agisce sugli elettroni del disco metallico come se fosse presente un campo elettrico che agisce su di essi?
Temo che ciò sia sbagliato. Quel campo elettrico non obbedirebbe all'equazione di Maxwell $\d\i\v E = \rho / \varepsilon$. Giusto?
La questione è molto più complessa. Gli elettroni vengono spinti dalla forza di Lorentz verso la periferia o il centro del disco, a seconda del verso di rotazione per un dato $B$. Si creerebbe quindi una densità di carica non uniforme a simmetria radiale la cui formula è difficile da calcolare in quanto gli elettroni liberi del metallo formano un gas dalle caratteristiche particolari. Quella distribuzione di cariche creerebbe un campo elettrico (l'unico creato in situazione stazionaria).
Poi, gli elettroni ruotando, creerebbero a loro volta un campo magnetico che interagirebbe su se stessi... Insomma un caso veramente complicato
"anonymous_56b3e2":
Che strano esercizio!
Non è così strano. Prova a cercare sul web notizie sulla dinamo ad autoeccitazione.
"MillesoliSamuele":
...
Sia $\vec{v}=\omega \times \vec{r}$ in modulo $v=\omega r$
Ok, per Lorentz avremo un campo elettrico
$\vec E_i(r)=\vec v \times \vec B=r\omega B \hat r$
che andremo ad integrare fra O e R ma visto che il campo dipende linearmente dal raggio r potremo semplicemente ricavare la tensione richiesta dal prodotto fra il suo valore medio E(R/2) e il raggio R.
BTW Il problema fa riferimento al famosissimo disco di Barlow sul quale ci sarebbe tanto da dire specie in relazione alla "regola del flusso", relatività ecc. ecc.
Non metto in dubbio che gli elettroni vengono spinti verso la periferia o il centro del disco. Quello che mi stupisce è che si pensi che a fare ciò (spingere gli elettroni) sia un campo elettrico di cui, poi, si calcola il potenziale. A spingere gli elettroni è la forza di Lorentz, non il campo elettrico. Se poi faccio la divergenza di quel presunto campo elettrico, non mi viene soddisfatta l'equazione di Maxwell.
"RenzoDF":
Il problema fa riferimento al famosissimo disco di Barlow
Proprio cosi , i miei appunti parlano di Disco di Barlow
Grazie per le precisazioni
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo