Campo di un “piano spesso”
Ciao a tutti, ho un dubbio su questo problema:
In un sistema di coordinate cartesiane, nella regione compresa tra i piani $x=0$ e $x= 2π/k$ è presente una densità volumetrica $rho =rho_0*(sin(kx))nC/m^3$. Qual è la velocità minima da imprimere a una particella di carica $q$ e massa $m$ per far sì che arrivi nell’origine partendo dal punto $x=4pi/k$?
Per risolverlo, ho considerato che il piano infinitesimo compreso tra $x=0$ e $x= 2π/k$ dà un contributo
$dE=sigma/(2epsilon_0)$
con $dq = sigma dS = rho dV = rho dS dx$ e quindi $sigma = rho dx$
Quindi $E = int_0^(2pi/k) ((rho dx)/(2epsilon_0))$ = 0 dato valutando cos(kx) tra 0 e $2pi/k$ ottengo 0.
A questo punto ho che la variazione di energia cinetica è uguale al lavoro della forza tra la carica $q$ e la distribuzione data dal “piano spesso”, ma visto che il campo è nullo anche la velocità mi viene nulla. Questo risultato non mi sembra molto sensato, visto che una particella che parte da ferma non può muoversi se non agisce una forza, e quindi non potrà neanche arrivate all’origine. O mi sbaglio?
In un sistema di coordinate cartesiane, nella regione compresa tra i piani $x=0$ e $x= 2π/k$ è presente una densità volumetrica $rho =rho_0*(sin(kx))nC/m^3$. Qual è la velocità minima da imprimere a una particella di carica $q$ e massa $m$ per far sì che arrivi nell’origine partendo dal punto $x=4pi/k$?
Per risolverlo, ho considerato che il piano infinitesimo compreso tra $x=0$ e $x= 2π/k$ dà un contributo
$dE=sigma/(2epsilon_0)$
con $dq = sigma dS = rho dV = rho dS dx$ e quindi $sigma = rho dx$
Quindi $E = int_0^(2pi/k) ((rho dx)/(2epsilon_0))$ = 0 dato valutando cos(kx) tra 0 e $2pi/k$ ottengo 0.
A questo punto ho che la variazione di energia cinetica è uguale al lavoro della forza tra la carica $q$ e la distribuzione data dal “piano spesso”, ma visto che il campo è nullo anche la velocità mi viene nulla. Questo risultato non mi sembra molto sensato, visto che una particella che parte da ferma non può muoversi se non agisce una forza, e quindi non potrà neanche arrivate all’origine. O mi sbaglio?
Risposte
Qualche suggerimento:
1) Il problema chiede proprio la velocità iniziale da imprimere alla particella. Quindi non parte da ferma.
2) Il problema può essere risolto sia calcolando il campo elettrico in ogni punto dello spazio ( il calcolo che hai fatto non va bene, perchè, anche fatto correttamente, ti direbbe comunque solo il valore del campo per $x=(2pi)/k$ che è nullo perchè la carica totale è nulla), la forza (che varierà con x), il lavoro compiuto sulla particella e quindi usando il T. dell'energia cinetica, oppure sfruttando la conservazione dell'energia totale.
Ma in ogni caso bisogna stare attenti di non impostare subito il calcolo globalmente, ma verificando sulla base del punto più critico da superare.
Per chiarire cosa intendo puoi pensare al seguente equivalente "meccanico" ovvero una pallina che incontra prima una collina e quindi ridiscende alla quota originale. Poichè la variazione di quota è alla fine nulla si potrebbe pensare che qualsiasi velocità iniziale vada bene, ma in realtà servirà la velocità necessaria a superare il picco della collina. Forse non è questo il caso ma comunque la verifica è necessaria ( in altre parole bisogna verificare che non ci siano inversioni di segno del lavoro svolto dal campo).
1) Il problema chiede proprio la velocità iniziale da imprimere alla particella. Quindi non parte da ferma.
2) Il problema può essere risolto sia calcolando il campo elettrico in ogni punto dello spazio ( il calcolo che hai fatto non va bene, perchè, anche fatto correttamente, ti direbbe comunque solo il valore del campo per $x=(2pi)/k$ che è nullo perchè la carica totale è nulla), la forza (che varierà con x), il lavoro compiuto sulla particella e quindi usando il T. dell'energia cinetica, oppure sfruttando la conservazione dell'energia totale.
Ma in ogni caso bisogna stare attenti di non impostare subito il calcolo globalmente, ma verificando sulla base del punto più critico da superare.
Per chiarire cosa intendo puoi pensare al seguente equivalente "meccanico" ovvero una pallina che incontra prima una collina e quindi ridiscende alla quota originale. Poichè la variazione di quota è alla fine nulla si potrebbe pensare che qualsiasi velocità iniziale vada bene, ma in realtà servirà la velocità necessaria a superare il picco della collina. Forse non è questo il caso ma comunque la verifica è necessaria ( in altre parole bisogna verificare che non ci siano inversioni di segno del lavoro svolto dal campo).
Ulteriori suggerimenti:
3) Dimostra anzitutto che il campo è nullo fuori dalla regione carica (applica il T. Gauss prima ad un cilindro fuori dalla regione carica verificando che il campo dovrà essere costante in tale regione e quindi ad un cilindro molto lungo che include la regione carica osservando che, per $abs(x)$ molto grandi, il campo dovrà essere quello di un piano con la carica totale equivalente)
4) Quindi calcola E(x) nella regione carica, applicando il T. di Gauss ad un cilindro con una base posta a sinistra della regione carica e un'altra all'interno della regione e posta a distanza x dall'origine.
3) Dimostra anzitutto che il campo è nullo fuori dalla regione carica (applica il T. Gauss prima ad un cilindro fuori dalla regione carica verificando che il campo dovrà essere costante in tale regione e quindi ad un cilindro molto lungo che include la regione carica osservando che, per $abs(x)$ molto grandi, il campo dovrà essere quello di un piano con la carica totale equivalente)
4) Quindi calcola E(x) nella regione carica, applicando il T. di Gauss ad un cilindro con una base posta a sinistra della regione carica e un'altra all'interno della regione e posta a distanza x dall'origine.
Grazie mille per le indicazioni, ho calcolato campo e forza nei punti dello spazio interni alla regione carica, ma non capisco come impostare il calcolo del punto (3): se considero un cilindro fuori dalla regione carica, con le basi parallele al "piano spesso", il flusso mi viene nullo e quindi anche il campo. Se invece considero un cilindro messo nello stesso modo ma che attraversa la regione carica e con le basi fuori dalla regione carica (una a destra e una a sinistra) il campo non mi viene nullo, ho applicato Gauss così:
$ Q/epsilon_0 = int E*dS$
$rho/epsilon_0 * pir^2*(2pi)/k = 2E * pir^2$
E quindi visto che $ rho =rho_0*(sin(kx))(nC)/m^3 $
$E(x) = rho_0 * sin (kx)/epsilon_0 *(2pi)/k$
Non riesco a capire come mai nella regione esterna, il campo in un caso mi viene nullo e nell'altro mi viene diverso da 0 e dipendente da x, anche se non c'è carica per tutti gli x ma solo per x compresa tra 0 e $(2pi)/k$
$ Q/epsilon_0 = int E*dS$
$rho/epsilon_0 * pir^2*(2pi)/k = 2E * pir^2$
E quindi visto che $ rho =rho_0*(sin(kx))(nC)/m^3 $
$E(x) = rho_0 * sin (kx)/epsilon_0 *(2pi)/k$
Non riesco a capire come mai nella regione esterna, il campo in un caso mi viene nullo e nell'altro mi viene diverso da 0 e dipendente da x, anche se non c'è carica per tutti gli x ma solo per x compresa tra 0 e $(2pi)/k$
"spina3003":
Non riesco a capire come mai nella regione esterna, il campo in un caso mi viene nullo e nell'altro mi viene diverso da 0 e dipendente da x,
Perchè è scorretto il calcolo della carica. Vediamo più in dettaglio i calcoli.
Prendiamo un cilindro completamente fuori dalla zona carica. Supponiamolo, ad esempio a destra con una base di area qualsiasi a distanza $x>(2pi)/k$ dalla zona carica e l'altra a distanza $x+dx$. Risulta
$E(x+dx)-E(x) approx (dE)/(dx)*dx =0$
da cui si conclude che $(dE)/(dx)=0$ ovvero che il campo in ogni regione è costante (ma non per forza nullo).
Prendiamo adesso un cilindro molto lungo, simmetrico rispetto alla zona carica, e che pertanto ingloba anche tutta una porzione della zona stessa. Poichè il cilindro è molto lungo, nella zona dove sono le basi del cilindro la zona carica apparirà come un piano avente una certa carica superficiale, che è quella totale inglobata nel cilindro divisa per la superficie delle basi. Inoltre, per motivi di simmetria, i campi sulle basi del ns. cilindro saranno uguali (questo significa che la costante per il campo a destra della zona e quella per il campo a sinistra della zona sono uguali in modulo), costanti (per quanto visto sopra) e di verso opposto tra loro.
Ma poichè la carica totale sarà data dall'integrale della densità di carica tra $0$ e $(2pi)/k$, integrale che è nullo, si conclude che
$E_1-E_2 = E - (-E) = 2E =0$
Quindi le costanti sono nulle e il campo fuori dalla zona carica è nullo.
Grazie ingres, scusami se faccio una domanda stupida ma non ho capito bene da dove arriva questa approssimazione:
Ora che so che il campo esterno è nullo, per calcolare la velocità mi serve calcolare quello interno, ho fatto un calcolo del campo locale, come mi hai suggerito, in questo modo:
$dE = sigma/(2epsilon_0) = (rhodx)/(2epsilon_0)$
$E(x) = int_0^x rho_0 sin(kx)/(2epsilon_0) dx = rho_0/(2epsilon_0) (1 - cos(kx))/k$
$F(x) = qE(x)$
$Delta E_k = L_(con) => -1/2mv_min^2 = int_(2pi/k)^0 q*rho_0/(2epsilon_0) (1 - cos(kx))/k dx$
E ottengo $v_min = sqrt ((rho*q * 2pi)/(k^2*m*epsilon_0))$
ma il risultato numerico non è corretto... (se moltiplico per 2 sotto radice torna, quindi forse sbaglio l'estremo di integrazione, dovrei sostituire $2pi/k$ con $4pi/k$ ma il campo elettrico è nullo fuori dalla regione carica quindi questo ragionamento non mi torna)
"ingres":
E(x+dx)−E(x)≈dEdx⋅dx=0
Ora che so che il campo esterno è nullo, per calcolare la velocità mi serve calcolare quello interno, ho fatto un calcolo del campo locale, come mi hai suggerito, in questo modo:
$dE = sigma/(2epsilon_0) = (rhodx)/(2epsilon_0)$
$E(x) = int_0^x rho_0 sin(kx)/(2epsilon_0) dx = rho_0/(2epsilon_0) (1 - cos(kx))/k$
$F(x) = qE(x)$
$Delta E_k = L_(con) => -1/2mv_min^2 = int_(2pi/k)^0 q*rho_0/(2epsilon_0) (1 - cos(kx))/k dx$
E ottengo $v_min = sqrt ((rho*q * 2pi)/(k^2*m*epsilon_0))$
ma il risultato numerico non è corretto... (se moltiplico per 2 sotto radice torna, quindi forse sbaglio l'estremo di integrazione, dovrei sostituire $2pi/k$ con $4pi/k$ ma il campo elettrico è nullo fuori dalla regione carica quindi questo ragionamento non mi torna)
"spina3003":
non ho capito bene da dove arriva questa approssimazione
$E(x+dx)-E(x) = (E(x+dx)-E(x) )/dx * dx $
in cui si riconosce il rapporto incrementale, per cui per dx sufficientemente piccolo vale l'approssimazione data.
Oppure in alternativa espandendo in serie $E(x+dx)=E(x) + (dE)/(dx)*dx + ...$ e limitandoci al primo ordine.
"spina3003":
il risultato numerico non è corretto... (se moltiplico per 2 sotto radice torna, quindi forse sbaglio l'estremo di integrazione
No, l'errore è all'inizio ovvero se prendiamo un cilindro con una base a sinistra subito fuori dalla zona carica e una dentro la zona carica a distanza x, il flusso attraverso la base esterna è nullo. E quindi rimarrà il solo flusso nella zona carica:
$E *S = int (sigma*S*dx)/epsilon_0$
ovvero
$dE = (sigma*dx)/epsilon_0$
che come vedi porge un campo doppio rispetto a quello da te calcolato
Grazie mille ingres!! forse i campi elettrici dei piani cominciano a entrarmi in testa...
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo