Campo di induzione magnetica $vecB$

[marco.ceccarelli]

Buonasera. Stavo svolgendo l'esercizio seguente.

I 2 fili molto lunghi e paralleli in figura sono ad una distanza $2a=0,1m$, e percorsi dalla corrente equiversa ed entrante $I=3*10^(-3)A$. Calcolare il massimo valore di $vecB$ sull'asse $z$ in figura.



Dunque io ho considerato un generico punto $P$ sull'asse $z$ e ho visto com'è lì il campo d'induzione magnetica $vecB$. Chiamando $1$ il filo di destra e $2$ quello di sinistra, vedo che, in $P$, il campo $vecB_1$ è diretto verso Nord Est ed il campo $vecB_2$ verso Sud Est, per cui il campo $vecB_(TOT)$ sarà diretto verso Est.

$B_1=mu_0I/(2pir)=mu_0Isinalpha/(2pia)$

$B_(TOT)=2B_1cosalpha=mu_0Isinalphacosalpha/(2pia)$

Poi però non capisco come si debba procedere. La soluzione del Prof. è la seguente.

$B_(TOT)=mu_0Iz/(pi(z^2+a^2)), (delB_(TOT))/(delz)=0, |z|=a, B_(MAX)=mu_0I/(2pia)$

Ora dico una cosa che probabilmente non c'entra niente. Noto che si ha campo $vecB$ massimo per $|z|=a$. Considerando ad esempio la situazione dall'asse $z$ al filo $1$, noto che il triangolo $hat{1OP}$ è retto con gli altri 2 angoli uguali e pari a $45°$. Mi ricorda la situazione cinematica della gittata massima. L'angolo per ottenerla era proprio quello. Una mano?

[mathbells]

"Bubbino1993":

$B_1=mu_0I/(2pir)=mu_0Isinbeta/(2pia)$

$B_(TOT)=2B_1cosalpha=mu_0Isinalphacosalpha/(2pia)$

Poi però non capisco come si debba procedere. La soluzione del Prof. è la seguente.

$B_(TOT)=mu_0Iz/(pi(z^2+a^2)), (delB_(TOT))/(delz)=0, |z|=a, B_(MAX)=mu_0I/(2pia)$

Ora dico una cosa che probabilmente non c'entra niente. Noto che si ha campo $vecB$ massimo per $|z|=a$. Considerando ad esempio la situazione dall'asse $z$ al filo $1$, noto che il triangolo $hat{1OP}$ è retto con gli altri 2 angoli uguali e pari a $45°$. Mi ricorda la situazione cinematica della gittata massima. L'angolo per ottenerla era proprio quello. Una mano?

Non ho ben capito quali siano gli angoli $\alpha$ e $\beta$ che uso nelle tue formule. Comunque non ha importanza. Nella formula per il campo $B_1$ devi mettere, al denominatore, la distanza tra filo e punto P, che è data da

\(\displaystyle r=\sqrt{a^2+z^2} \)

Il campo totale, in base al tuo ragionamento sulle direzioni dei campi (che è corretto), è dato dal doppio della componente orizzontale di $B_1$. Se chiamiamo $\alpha$ l'angolo formato da $B_1$ con l'asse z, si ha

\(\displaystyle B_{tot}=2B_1\sin\alpha=2B_1\frac{z}{r}=\frac{\mu_0 Iz}{\pi(z^2+a^2)} \)

Poi, per trovare il massimo, basta che annulli la derivata prima.

[marco.ceccarelli]

Perfetto. Sì, ho fatto confusione con gli angoli. Grazie.