Campo di forza conservativo, dubbio.
Ho un dubbio sulla risoluzione, non avendo risultato. -.-'
Avendo questo campo di forza:
$f = (alpha *y -beta) i + (beta -alpha*x) j +gamma*k$
il campo è conservativo quando il rotore è nullo: $rot f = nabla x f = 0$
a me viene che facendo le varie derivate parziali, viene nullo il rotore, e deduco che sia conservativo.
La domanda successiva è: dopo aver fatto ciò, mi chiede di trovare l'energia potenziale associata.
Come si calcola? Sul libro che ho non ci sono formule :///
suggerimenti?
Grazie!
Avendo questo campo di forza:
$f = (alpha *y -beta) i + (beta -alpha*x) j +gamma*k$
il campo è conservativo quando il rotore è nullo: $rot f = nabla x f = 0$
a me viene che facendo le varie derivate parziali, viene nullo il rotore, e deduco che sia conservativo.
La domanda successiva è: dopo aver fatto ciò, mi chiede di trovare l'energia potenziale associata.
Come si calcola? Sul libro che ho non ci sono formule :///
suggerimenti?
Grazie!
Risposte
$U_f - U_i = - int _i ^f .F(s) ds$, ad $U_i$ assegni il valore convenzionale che decidi tu (magari zero in un certo punto), calcoli quindi $U_f$ in funzione del vettore posizione $s$
sei sicuro che il rotore venga nullo? a me la componente in k del rotore viene diversa da zero...
Ciao skyluke89, io mi trovo che le derivate parziali vengono la prima $-alpha$ e la seconda $+alpha$
puà essere che ho sbagliato a fare la derivata parziale ma a sto punto non saprei, tu come ti trovi?
grazie.
puà essere che ho sbagliato a fare la derivata parziale ma a sto punto non saprei, tu come ti trovi?
grazie.
se ti chiede l'energia potenziale associata, sicuramente il rotore deve venire nullo. da notare che l'implicazione $rot f = 0 => f$ conservativo, vale solo se il campo f è definito in un dominio semplicemente connesso (come in questo caso), altrimenti l'unica cosa che puoi affermare con certezza è che esiste localmente un potenziale associato. questa è una cosa che i fisici danno per scontata, ma va specificata.
per trovare l'energia potenziale ci sono due modi, ma penso che a te sia richiesto di calcolarti il potenziale come ha suggerito Davvi. si presuppone che qualcuno ti abbia insegnato qualcosa sugli integrali di linea.
per trovare l'energia potenziale ci sono due modi, ma penso che a te sia richiesto di calcolarti il potenziale come ha suggerito Davvi. si presuppone che qualcuno ti abbia insegnato qualcosa sugli integrali di linea.
scusate, ma ribadisco di nuovo,il rotore non è nullo, basta calcolare la componente in k:
$ (del F_y)/(del x) - (del F_x)/(del y) = -a-a = -2a $
se è cosi, allora il campo non ha un potenziale associato...
$ (del F_y)/(del x) - (del F_x)/(del y) = -a-a = -2a $
se è cosi, allora il campo non ha un potenziale associato...
@skyluke89
hai ragione! :// non avevo visto che c'era il $-$ lì mezzo!.
allora si, non è un campo di forze conservativo e non posso farci il potenziale.
A lezione non ci parlarono di derivate parziali e credo che al compito non usciranno, però sul libro ci sono degli esercizi inerenti e mi sembra stupido non farlo solo perchè 'non è nel programma'.
Sul libro ho trovato questo:
$F_x = - (del U)/(del x)$
$F_y = - (del U)/(del y)$
$F_z = - (del U)/(del z)$
e poi
$F= -gradU$
io non so come fare sinceramente, però se avessi un campo di forze come questo:
$f = (a x^2 + by) i +(bx - ay^2) j + cz^2 k$
il cui rotore è nullo, dunque conservativo
per trovare l'energia potenziale lungo i, j, k
dovrei fare:
$int -(a x^2 + by) dx = int dU$
se fosse così (ma ne dubito) lungo i verrebbe tipo: $-a (x^3)/3 -byx = U$
datemi vostri pareri, grazie.
hai ragione! :// non avevo visto che c'era il $-$ lì mezzo!.
allora si, non è un campo di forze conservativo e non posso farci il potenziale.
A lezione non ci parlarono di derivate parziali e credo che al compito non usciranno, però sul libro ci sono degli esercizi inerenti e mi sembra stupido non farlo solo perchè 'non è nel programma'.
Sul libro ho trovato questo:
$F_x = - (del U)/(del x)$
$F_y = - (del U)/(del y)$
$F_z = - (del U)/(del z)$
e poi
$F= -gradU$
io non so come fare sinceramente, però se avessi un campo di forze come questo:
$f = (a x^2 + by) i +(bx - ay^2) j + cz^2 k$
il cui rotore è nullo, dunque conservativo
per trovare l'energia potenziale lungo i, j, k
dovrei fare:
$int -(a x^2 + by) dx = int dU$
se fosse così (ma ne dubito) lungo i verrebbe tipo: $-a (x^3)/3 -byx = U$
datemi vostri pareri, grazie.
stai attento, se derivi rispetto ad x l'energia potenziale, allora cancelli tutti i termini che dipendono unicamente da y e z, cioè una generica funzione C(y,z). quindi cosa ci dovresti aggiungere?
dovrei risrivere quel risultato con la $cost$?
sì, la costante che in realtà è una funzione di y e z
ho fatto i passaggi per ricavare l'energia potenziale, ma non mi trovo con il risultato, ma credo(spero) sarà errore del libro
lungo y:
$U = - int (bx + a y^2) dy = -byx + a(y^3)/3 +cost$
lungo z:
$U = - int (c*z^2) dz = -c*(z^3)/3 + cost$
quindi verrebbe:
$ a(x^3)/3 -2byx + a(y^3)/3 -c*(z^3)/3 + cost$
dovrebbe venire:
$ a(x^3)/3 -byx + a(y^3)/3 -c*(z^3)/3 + cost$
dove è l'errore? ://
lungo y:
$U = - int (bx + a y^2) dy = -byx + a(y^3)/3 +cost$
lungo z:
$U = - int (c*z^2) dz = -c*(z^3)/3 + cost$
quindi verrebbe:
$ a(x^3)/3 -2byx + a(y^3)/3 -c*(z^3)/3 + cost$
dovrebbe venire:
$ a(x^3)/3 -byx + a(y^3)/3 -c*(z^3)/3 + cost$
dove è l'errore? ://
a me viene diverso ancora:
$ U = -ax^3/3 -bxy + ay^3/3 -cz^3/3 + cost. $
che valutando le derivate parziali, mi torna abbastanza col campo iniziale.
Io di solito faccio cosi: prima integri su una variabile, ad es. su y (come hai fatto tu), scrivendo la soluzione con una C(x,z); poi utilizzando $ F_x = - (del U) / (del x) $ e $ F_z = - (del U) / (del z) $ , ti puoi ricavare esplicitamente C(x,z), dato che Fx e Fz le conosci! Non so se è chiaro..
$ U = -ax^3/3 -bxy + ay^3/3 -cz^3/3 + cost. $
che valutando le derivate parziali, mi torna abbastanza col campo iniziale.
Io di solito faccio cosi: prima integri su una variabile, ad es. su y (come hai fatto tu), scrivendo la soluzione con una C(x,z); poi utilizzando $ F_x = - (del U) / (del x) $ e $ F_z = - (del U) / (del z) $ , ti puoi ricavare esplicitamente C(x,z), dato che Fx e Fz le conosci! Non so se è chiaro..
@skyluke89
si mi trovo con te anche sul primo termine cioè $-a(x^3)/3$ ho semplicemente dimenticato di ricopiare il $-$
l'unica cosa che non mi trovo è quel $-bxy$....
Sul resto non ti seguo sinceramente, io ho trovato un modo come ho scritto, potresti mostrarmi il tuo pensiero in formule? grazie.
si mi trovo con te anche sul primo termine cioè $-a(x^3)/3$ ho semplicemente dimenticato di ricopiare il $-$
l'unica cosa che non mi trovo è quel $-bxy$....
Sul resto non ti seguo sinceramente, io ho trovato un modo come ho scritto, potresti mostrarmi il tuo pensiero in formule? grazie.
certo!
Allora, innanzitutto integri come hai fatto tu su una variabile, es su y; cosi ricavi $ U = -bxy + ay^3/3 + G(x,z) $
dove G(x,z) è da calcolare; per trovarla in modo esplicito, usi
$ F_x = -(del U)/(del x) $
Al posto di U inserisci quello che hai ricavato prima, e lo derivi rispetto a x:
$ ax^2 + by = by - (del G(x,z))/(del x) $
Integrando questa equazione differenziale ricavi qual'è la dipendenza di G da x, e rimarrà solo una dipendenza da z:
$ G (x,z) = -ax^3/3 + H(z) $
A questo punto ricavi H(z) con lo stesso procedimento su z, dopodichè avrai trovato il tuo potenziale.
A me hanno insegnato questo metodo!
Allora, innanzitutto integri come hai fatto tu su una variabile, es su y; cosi ricavi $ U = -bxy + ay^3/3 + G(x,z) $
dove G(x,z) è da calcolare; per trovarla in modo esplicito, usi
$ F_x = -(del U)/(del x) $
Al posto di U inserisci quello che hai ricavato prima, e lo derivi rispetto a x:
$ ax^2 + by = by - (del G(x,z))/(del x) $
Integrando questa equazione differenziale ricavi qual'è la dipendenza di G da x, e rimarrà solo una dipendenza da z:
$ G (x,z) = -ax^3/3 + H(z) $
A questo punto ricavi H(z) con lo stesso procedimento su z, dopodichè avrai trovato il tuo potenziale.
A me hanno insegnato questo metodo!
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