Campo di forza conservativo
Ciao a tutti, all'esame di fisica mi è capitato questo esercizio e sono andato in crisi.
Verificare se il campo di forse è conservativo:
$F=-alpha{(2xz+y^2)*i+3y^2*j+(2xy+z^2)*k}$
Uno dei modi di verificare se il campo di forze è conservativo è di appurare che il rotore sia nullo: $rot(F)=nablaxF=0$
quindi $((delFz)/(dely)-(delFy)/(delz))*i+((delFx)/(delz)-(delFz)/(delx))*j+((delFy)/(delx)-(delFx)/(dely))*k=0$
$Fx=-2alphaxz*i-alphay^2*i$, $Fy=-3alphay^2*j$,$Fz=-2alphaxy*k-alphaz^2*k$
$(delFz)/(dely)=-2alphax*k$,$(delFy)/(delz)=0$,$(delFx)/(delz)=-2alphax*i$,$(delFz)/(delx)=-2alphay*k$,$(delFy)/(delx)=0$,$(delFx)/(dely)=-2alphay*j$ per cui :
$rot(f)=(-2alphax*k-0)*i+(-2alphax*i+2alphay*k)*j+(0+2alphay*i)*k$ dove $i,j,k$ sono versori.
in conclusione il rotore è $rot(F)=(-2alphax*k)*i+(-2alphax*i+2alphay*k)*j+(2alphay*i)*k$
poichè i versori $k,j$,$i,j$,$i,k$ sono ortogonali tra loro il prodotto scalare è nullo quindi $rot(F)=0$ per cui il campo è conservativo . E' giusto???
Verificare se il campo di forse è conservativo:
$F=-alpha{(2xz+y^2)*i+3y^2*j+(2xy+z^2)*k}$
Uno dei modi di verificare se il campo di forze è conservativo è di appurare che il rotore sia nullo: $rot(F)=nablaxF=0$
quindi $((delFz)/(dely)-(delFy)/(delz))*i+((delFx)/(delz)-(delFz)/(delx))*j+((delFy)/(delx)-(delFx)/(dely))*k=0$
$Fx=-2alphaxz*i-alphay^2*i$, $Fy=-3alphay^2*j$,$Fz=-2alphaxy*k-alphaz^2*k$
$(delFz)/(dely)=-2alphax*k$,$(delFy)/(delz)=0$,$(delFx)/(delz)=-2alphax*i$,$(delFz)/(delx)=-2alphay*k$,$(delFy)/(delx)=0$,$(delFx)/(dely)=-2alphay*j$ per cui :
$rot(f)=(-2alphax*k-0)*i+(-2alphax*i+2alphay*k)*j+(0+2alphay*i)*k$ dove $i,j,k$ sono versori.
in conclusione il rotore è $rot(F)=(-2alphax*k)*i+(-2alphax*i+2alphay*k)*j+(2alphay*i)*k$
poichè i versori $k,j$,$i,j$,$i,k$ sono ortogonali tra loro il prodotto scalare è nullo quindi $rot(F)=0$ per cui il campo è conservativo . E' giusto???
Risposte
Ciao,
stai facendo un errore: nella formula $((delFz)/(dely)-(delFy)/(delz))*i+((delFx)/(delz)-(delFz)/(delx))*j+((delFy)/(delx)-(delFx)/(dely))*k$ devi considerare le componenti nel seguente modo:
$Fx=-2alphaxz-alphay^2$, $Fy=-3alphay^2$,$Fz=-2alphaxy-alphaz^2$, senza contare i versori $i,j,k$ nella derivazione in quanto ci sono gia' nella formula. Quindi ottieni $(delFz)/(dely)=-2alphax$, $(delFy)/(delz)=0$, $(delFx)/(delz)=-2alphax$, $(delFz)/(delx)=-2alphay$, $(delFy)/(delx)=0$, $(delFx)/(dely)=-2alphay$. Poi vai ad inserirli nella formula e vedi se ti viene il vettore nullo.
stai facendo un errore: nella formula $((delFz)/(dely)-(delFy)/(delz))*i+((delFx)/(delz)-(delFz)/(delx))*j+((delFy)/(delx)-(delFx)/(dely))*k$ devi considerare le componenti nel seguente modo:
$Fx=-2alphaxz-alphay^2$, $Fy=-3alphay^2$,$Fz=-2alphaxy-alphaz^2$, senza contare i versori $i,j,k$ nella derivazione in quanto ci sono gia' nella formula. Quindi ottieni $(delFz)/(dely)=-2alphax$, $(delFy)/(delz)=0$, $(delFx)/(delz)=-2alphax$, $(delFz)/(delx)=-2alphay$, $(delFy)/(delx)=0$, $(delFx)/(dely)=-2alphay$. Poi vai ad inserirli nella formula e vedi se ti viene il vettore nullo.
Nel compito ho fatto così ! Non ho tenuto conto dei versori ma così facendo il campo non è conservativo !
Evidentemente no, si vede che il risultato era quello, ovvero che il campo non è conservativo 
Però non sono molto sicuro perchè l'esercizio chiedeva anche di determinare l'espressione dell'energia potenziale qualora il campo fosse conservativo e siccome la maggior parte degli esercizi che abbiamo fatto durante le esercitazioni aveva un campo conservativo non capisco perchè avrebbe dovuto mettere il campo non conservativo il giorno dell'esame !!
in definitiva rimane $-2alphax*i+(-2alphax+2alphay)*j+2alphay*k$ quindi non si può annullare sto benedetto rotore
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