Campo, capacità e forze su lastre conduttrici
Ciao a tutti, ho parecchi dubbi su come svolgere questo esercizio : http://imageshack.us/photo/my-images/68 ... izio1.jpg/ .
La prima domanda è "calcolare le distribuzioni di carica sulle lastre" : La distribuzione di carica è $ sigma= Q/A $, quindi suppongo che la lastra 2 avrà $ sigma_2= -Q/A $ mentre le altre due lastre che hanno una carica $ +Q $ avranno $ sigma_1= +Q/A $ e $ sigma_3= +Q/A $.
La seconda domanda è " calcolare il campo in tutti i punti dello spazio " : Penso che il campo esterno alla lastra 1 e alla lastra 3 sia $ E=0 $. Mentre sulle facce interne delle lastre 1 e 3 il campo dovrebbe essere ( l'ho trovato semplicemente con Gauss ) $ E*A=Q/epsilon_0 $ da cui $ E=sigma/epsilon_0 $. La lastra 2 dovrebbe inceve avere un campo $ E=-sigma/epsilon_0 $ .
Per ora mi son fermato qui, so già di aver fatto un papocchio, ma ci ho provato..
Illuminatemi!
La prima domanda è "calcolare le distribuzioni di carica sulle lastre" : La distribuzione di carica è $ sigma= Q/A $, quindi suppongo che la lastra 2 avrà $ sigma_2= -Q/A $ mentre le altre due lastre che hanno una carica $ +Q $ avranno $ sigma_1= +Q/A $ e $ sigma_3= +Q/A $.
La seconda domanda è " calcolare il campo in tutti i punti dello spazio " : Penso che il campo esterno alla lastra 1 e alla lastra 3 sia $ E=0 $. Mentre sulle facce interne delle lastre 1 e 3 il campo dovrebbe essere ( l'ho trovato semplicemente con Gauss ) $ E*A=Q/epsilon_0 $ da cui $ E=sigma/epsilon_0 $. La lastra 2 dovrebbe inceve avere un campo $ E=-sigma/epsilon_0 $ .
Per ora mi son fermato qui, so già di aver fatto un papocchio, ma ci ho provato..
Illuminatemi!
Risposte
Il campo tra la lastra $[1]$ e la lastra $[2]$ è diretto verso destra e di modulo $[E_(12)=V_0/x]$, il campo tra la lastra $[2]$ e la lastra $[3]$ è diretto verso sinistra e di modulo $[E_(23)=V_0/(d-x)]$.
Ciao speculor grazie per la risposta. Comunque, so che il campo è diretto in quel modo, ma io devo proprio calcolarlo fuori dalla prima lastra, tra la prima e la seconda, tra la seconda e la terza e infine fuori dalla terza. Se il mio calcolo è sbagliato cosa devo aggiustare?
Il problema è che stai esprimendo il tutto non in funzione dei dati dell'esercizio. In ogni modo, io ho già calcolato il campo nelle zone tra le lastre, prova tu all'esterno.
Ok, ho rivisto meglio sul libro e in effetti bisognava usare la relazione $ deltaV = E*d $ da cui hai trovato il campo all'interno delle lastre. Bè a rigor di logica, usando questa relazione, e sapendo che il campo è diretto dalla lastra 1 alla 2 e dalla 3 alla 2, direi che il campo fuoi dalle lastre 1 e 3 è $ 0 $ no?
La fai troppo semplice. Se anche fosse, dovresti motivarlo. Bisogna utilizzare il principio di sovrapposizione degli effetti. Se non riesci da solo, ti scrivo il procedimento più tardi.
Ti ringrazio, vedo di scervellarmici un po' e ti faro' sapere!
"speculor":
Il campo tra la lastra $[1]$ e la lastra $[2]$ è diretto verso destra e di modulo $[E_(12)=V_0/x]$, il campo tra la lastra $[2]$ e la lastra $[3]$ è diretto verso sinistra e di modulo $[E_(23)=V_0/(d-x)]$.
In base ai risultati precedenti:
$\{([sigma_(1s)=0] ^^ [sigma_(1d)=epsilon_0V_0/x] rarr [sigma_1=sigma_(1s)+sigma_(1d)=epsilon_0V_0/x]),([sigma_(2s)=-epsilon_0V_0/x] ^^ [sigma_(2d)=-epsilon_0V_0/(d-x)] rarr [sigma_2=sigma_(2s)+sigma_(2d)=-epsilon_0(V_0d)/(x(d-x))]),([sigma_(3s)=epsilon_0V_0/(d-x)] ^^ [sigma_(3d)=0] rarr [sigma_3=sigma_(3s)+sigma_(3d)=epsilon_0V_0/(d-x)]):}$
Ho preferito procedere considerando le due superfici di ogni lastra e applicando il teorema di Gauss. Essendo $[sigma_(1s)=0] ^^ [sigma_(3d)=0]$, il campo all'esterno del sistema è nullo. In ogni modo, c'è una certa logica dietro questo procedimento, se sei interessato ne possiamo discutere più tardi.
Grazie per la risposta, ho rifatto da solo i calcoli e mi viene tutto perfettamente come te. Ho usato Gauss per trovare le varie $ sigma $ solo che vorrei chiederti una cosa, tu dici che dalle sigma che trovi deduci che il campo è nullo ma per dire che le $ sigma $ sono nulle all'esterno della prima e della terza piastra non dai prima per assodato che il campo all'esterno di queste due lastre sia $ 0 $ ? Puo' darsi che ho capito male ma chiedere non costa nulla! Faccio questa domanda perchè con Gauss, facendo lo stesso procedimento che fai per tutte le altre $ sigma $ si ha : $ E*A= Q/epsilon_0 $ da cui $ sigma = E* epsilon_0 $ quindi la $ sigma = 0 $ se il campo $ E = 0 $ no? Ma che il campo sia nullo all esterno delle due lastre è ovvio, come hai detto anche tu , per il principio di sovrapposizione degli effetti no?
Detto questo si si sono interessato a capire tutto!
Detto questo si si sono interessato a capire tutto!
Hai ragione, guardando le soluzioni del campo all'esterno del sistema, sembrerebbe un ragionamento circolare. Proprio per questo ti avevo invitato a proseguire il ragionamento. Intanto, quando ho menzionato il principio di sovrapposizione degli effetti, avevo intenzione di procedere diversamente, ma non davo per scontato quel risultato. In ogni modo, si può utilizzare proprio questo principio per concludere in modo rigoroso. Ragionando per assurdo:
$[sigma_(1s)!=0] rarr [sigma_(3d)=-sigma_(1s)]$
in quanto la carica totale deve rimanere nulla. Ma allora, oltre alle densità superficiali di carica già calcolate in modo rigoroso e che risolvono il problema internamente, per il principio di sovrapposizione dovremmo considerare un nuovo campo diretto verso destra se $[sigma_(1s)>0]$, diretto verso sinistra se $[sigma_(1s)<0]$, che inevitabilmente andrebbe a modificare internamente la soluzione corretta. L'unica possibilità è che $[sigma_(1s)=sigma_(3d)=0]$. Per farla breve, una volta compreso che la carica totale che si affaccia sulle $[4]$ superfici interne è nulla, piuttosto semplice da dimostrare come visto nei messaggi precedenti, si può concludere immediatamente che il campo esterno è nullo.
$[sigma_(1s)!=0] rarr [sigma_(3d)=-sigma_(1s)]$
in quanto la carica totale deve rimanere nulla. Ma allora, oltre alle densità superficiali di carica già calcolate in modo rigoroso e che risolvono il problema internamente, per il principio di sovrapposizione dovremmo considerare un nuovo campo diretto verso destra se $[sigma_(1s)>0]$, diretto verso sinistra se $[sigma_(1s)<0]$, che inevitabilmente andrebbe a modificare internamente la soluzione corretta. L'unica possibilità è che $[sigma_(1s)=sigma_(3d)=0]$. Per farla breve, una volta compreso che la carica totale che si affaccia sulle $[4]$ superfici interne è nulla, piuttosto semplice da dimostrare come visto nei messaggi precedenti, si può concludere immediatamente che il campo esterno è nullo.
Grazie mille adesso è tutto chiaro! Domani mattina finirò gli altri 2 punti del problema, se dovessi avere problemi postero' qui lo svolgimento! Grazie ancora e buona serata 
Buondì! Ho fatto l'altro punto del problema, posto il procedimento:
Allora io devo trovare la forza che agisce sulla lastra 2 e la relazione che devo usare è $ F= q*E $ quindi,dato che i due campi li ho già, mi serve la carica della lastra 2. La carica della lastra 2 la trovo dalla $ sigma_2 $ che avevamo già trovato quindi $ Q_2= sigma*A=(-epsilon_0*V_0*d*A)/(x*(d-x)) $. La forza risultante dovrebbe quindi essere $ F= (E_(12)*Q_2)-(E_(32)*Q_2) $ , è giusto così?
Allora io devo trovare la forza che agisce sulla lastra 2 e la relazione che devo usare è $ F= q*E $ quindi,dato che i due campi li ho già, mi serve la carica della lastra 2. La carica della lastra 2 la trovo dalla $ sigma_2 $ che avevamo già trovato quindi $ Q_2= sigma*A=(-epsilon_0*V_0*d*A)/(x*(d-x)) $. La forza risultante dovrebbe quindi essere $ F= (E_(12)*Q_2)-(E_(32)*Q_2) $ , è giusto così?
In teoria, il campo elettrico $[E_(12)=V_0/x]$ a sinistra agisce sulla densità di carica superficiale $[sigma_(2s)=-epsilon_0V_0/x]$ presente sulla faccia di sinistra, il campo elettrico $[E_(23)=V_0/(d-x)]$ a destra agisce sulla densità di carica superficiale $[sigma_(2d)=-epsilon_0V_0/(d-x)]$ presente sulla faccia di destra. Quindi:
$\{(F_(2s)=|sigma_(2s)|AE_(12)=(epsilon_0AV_0^2)/x^2),(F_(2d)=|sigma_(2d)|AE_(23)=(epsilon_0AV_0^2)/(d-x)^2):}$
essendo $[vec(F_(2s))]$ diretta verso sinistra, $[vec(F_(2d))]$ diretta verso destra. In definitiva:
$\{([0
essendo, per $[0il tuo procedimento è equivalente.
$\{(F_(2s)=|sigma_(2s)|AE_(12)=(epsilon_0AV_0^2)/x^2),(F_(2d)=|sigma_(2d)|AE_(23)=(epsilon_0AV_0^2)/(d-x)^2):}$
essendo $[vec(F_(2s))]$ diretta verso sinistra, $[vec(F_(2d))]$ diretta verso destra. In definitiva:
$\{([0
essendo, per $[0
Grazie! Ora avrei una domanda da farti L'ultimo punto del problema è: Calcolare la capacità del sistema. Ora, io so che la capacità è data dalla relazione $ C=Q/(DeltaV) $, quindi per trovare la capacità del sistema formato da queste tre lastre devo sommare la capacità data dalle lastre 1 e 2 con la capacità data dalle lastre 2 e 3? Sò che se i collegamenti sono in parallelo la capacità del sistema è data dalla somma delle varie capacità mentre se sono in serie la capacità totale è data dalle somme del reciproco delle capacità. Qui come devo comportarmi?
L'ultimo punto del problema è: Calcolare la capacità del sistema. Ora, io so che la capacità è data dalla relazione $ C=Q/(DeltaV) $, quindi per trovare la capacità del sistema formato da queste tre lastre devo sommare la capacità data dalle lastre 1 e 2 con la capacità data dalle lastre 2 e 3? Sò che se i collegamenti sono in parallelo la capacità del sistema è data dalla somma delle varie capacità mentre se sono in serie la capacità totale è data dalle somme del reciproco delle capacità. Qui come devo comportarmi?
Puoi considerare il sistema costituito dalle capacità $[epsilon_0A/x]$ e $[epsilon_0A/(d-x)]$ poste in parallelo.
Veramente, in questo caso, il reciproco della capacità totale è la somma dei reciproci delle capacità.
"Pongo":
...mentre se sono in serie la capacità totale è data dalle somme del reciproco delle capacità.
Veramente, in questo caso, il reciproco della capacità totale è la somma dei reciproci delle capacità.
Si hai ragione mi sono impapocchiato! Comunque ho finito, vediamo se va tutto bene :
Allora ho chiamato $ C_(12) $ la capacità tra le prime due lastre e $ C_(23) $ la capacità tra la seconda e la terza.
$ C_(12)= Q_1/V_0= ((V_0/x)*epsilon_0*A)/V_0=epsilon_0*A/x $
$ C_(23)= Q_2/V_0= ((V_0/(d-x))*epsilon_0*A)/V_0=epsilon_0*A/(d-x) $
Quindi $ C= C_(12)+C_(23)= epsilon_0*A (1/x+1/(d-x)) $ . Va tutto bene ?
:Allora ho chiamato $ C_(12) $ la capacità tra le prime due lastre e $ C_(23) $ la capacità tra la seconda e la terza.
$ C_(12)= Q_1/V_0= ((V_0/x)*epsilon_0*A)/V_0=epsilon_0*A/x $
$ C_(23)= Q_2/V_0= ((V_0/(d-x))*epsilon_0*A)/V_0=epsilon_0*A/(d-x) $
Quindi $ C= C_(12)+C_(23)= epsilon_0*A (1/x+1/(d-x)) $ . Va tutto bene ?
Direi proprio di sì. Anche se potevi utilizzare da subito la formula $[C=epsilon_0S/d]$.
Grazie mille, hai chiarito molti miei dubbi. Buona giornata
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