Campo $B$ generato da un conduttore lineare finito.

[Studente Anonimo]

Molti problemi sul campo magnetico sono riconducibili al presente caso che mi sembra utile riportare qui.

Sul piano cartesiano $0xy$ è posto il conduttore rettilineo $\lambda$ di lunghezza $L$ i cui estremi hanno coordinate $(a,b)$ e $(a,b+L)$, $a>0$. Il conduttore è percorso dalla corrente continua $I$ dal basso verso l'alto.

Per la legge di Laplace, il campo magnetico nell'origine è:

$\vec{B}(0)= \frac{\mu I}{4\pi} int_\lambda \frac{\vec{r} \wedge d \vec{s}}{r^3}$,

dove $\vec{r}$ è il raggio vettore che congiunge l'origine degli assi con l'elemento $d\vec{s}$ del conduttore, orientato come la corrente.

Eseguendo il prodotto vettoriale si ottiene:

$\vec{B}(0)= \frac{\mu I}{4\pi} int_\lambda \frac{(x,y,0)\wedge(0,dy,0 )}{r^3}= \frac{\mu I}{4\pi} int_\lambda \frac{x dy \vec{k}}{r^3}= \frac{\mu I a}{4\pi} int_\lambda \frac{dy \vec{k}}{r^3} $.

Passando al modulo, si ha:

$B= \frac{\mu I a}{4\pi} int_\lambda \frac{dy}{r^3} = \frac{\mu I a}{4\pi} int_b^{b+L}(a^2+y^2)^(-3/2)dy$.

Risolvendo, poiché $int (a^2+y^2)^(-3/2) dy = \frac{y}{a^2 \sqrt{y^2+a^2}}+c$, si ottiene infine:

$B(0)=\frac{L+b}{a^2 \sqrt{(L+b)^2+a^2}}- \frac{b}{a^2 \sqrt{b^2+a^2}}$

s.e.e.o.

[***1117]

Fantastico! Chiaro , preciso e conciso.