[Campi E.M.] Interpretazione energetica sovrapposizione onde

[Ahi1]

Ciao a tutti!

Finora ho analizzato nei vari post precedenti:

1) Onde Piane
2) Pacchetto d'onda (ovvero sovrapposizione di onde piane)
3) Propagazione del pacchetto
4) Fenomeno di Spread del pacchetto

in realtà manca un quinto punto:

5) Interpretazione energetica del pacchetto d'onda.

Per poter analizzare questo punto bisogna considerare quello che rappresenta il teorema

dell'energia, ovvero il teorema di poynting nel dominio delle trasformate di Fourier, dove

si è ottenuto che:


$u_(e.m.) = (1/4)*[((delomegaepsilon)/(delomega)|_(omega=omega_0)$ $|vec(E)|^2 +$ $(delomegamu)/(delomega)|_(omega=omega_0)$ $|vec(H)|^2] $

Tale interpretazione energetica del pacchetto vale solo per le bande di trasparenza. Per cui

ricordando il bilancio energetico visto per il teorema di poynting si ha:

$vec(nabla)*vec(S) + (delu)/(delt)$

ma il vettore di Poynting si può riscrivere nel seguente modo:

$vec(S) = (1/2) Re[vec(E) xx vec(H^c)] = (1/2)*[((vec(E) xx vec(H^c))/2) + ((vec(E^c) xx vec(H))/2) ] = (1/4)*[(vec(E) xx vec(H^c)) + (vec(E^c) xx vec(H)]$

con $H^c$ intendo il coniugato di H, con $^c$ da ora intendo il coniugato di una quantità

Tale teorema permette di interpretare la velocità di gruppo come velocità di traslazione del

modulo quadro del pacchetto inteso come energia elettromagnetica. Questo dunque permette di

dare una interpretazione energetica del pacchetto senza la quale non sarebbe possibile

trasportare informazione.
Dalle note relazioni sulle onde piane sappiamo:

$vec(E) = E_x (z,t) hat(x)$
$vec(H) = (1/Z_0) E_x (z,t) hat(y) $

dove $Z_0$ è l'impedenza del mezzo ed è reale nelle bande di trasparenza. Da cui quindi si

può calcolare:

$vec(E^c) xx vec(H) = (vec(E) xx vec(H^c)) = [E_x(z,t) hat(x)]xx[(1/Z_0)*E_x(z,t) hat(y)]^c = (1/Z_0) (|E_x(z,t)|^2) hat(x)xxhat(y) = (1/Z_0) (|E_x(z,t)|^2) hat(z) $

Ma se il pacchetto trasla con una velocità $v_g$ con la stessa velocità a sua volta traslerà

il vettore di Poynting, e infatti in generale abbiamo visto che:

$|E_x(vec(r),t)|^2 = |E_x(z - v_g t, 0)|^2 = |E_x (rho,0)|^2$

dunque sostiduendo

$vec(S) = (1/4)*[(1/Z_0) (|E_x(z,t)|^2) hat(z) + (1/Z_0) (|E_x(z,t)|^2) hat(z)] = (1/4)*[2 ((1/Z_0) (|E_x(z,t)|^2) hat(z))] = (1/2) * (1/Z_0) (|E_x(z,t)|^2) hat(z) $

questo appena ottenuto rappresenta il vettore di Poynting per pacchetti d'onda in mezzi dispersivi. Fin quì è corretto vero?

Grazie sempre, con i vostri preziosi aiuti sto capendo moltissime cose.

[Ahi1]

Continuando il discorso il modulo quadro del pacchetto dipende solo dalla variabile:

$rho = z - v_g*t$

Sostituendo all'interno dell'equazione:

$vec(nabla)vec(S) + (delu)/(delt) = 0$

quindi:

$vec(nabla)vec(S) = (delS_x)/(delx) + (delS_y)/(dely) + (delS_z)/(delz) = (delS_z)/(delz)$

in quando $z$ è l'unica componente che risulta essere diversa da zero

ma $(del)/(delz) = (del)/(delrho)$

questo perché è come se fosse qualcosa del tipo:

$(del f[rho(z)])/(delz) = (delf)/(delrho)*(delrho)/(delz) = (delf)/(delrho)$

(questa proprietà non l'ho capita pensavo stesse facendo la derivata di una funzione composta perché fa così?)
Inoltre è così anche perché

$(delrho)/(delz) = (del(z - v_g*t))/(delz) = 1$

questo perché se ho capito bene $v_g$ è costante e quindi $(delz)/(delz) = 1$

In definitiva:

$vec(nabla)vec(S) = (delS_z)/(delrho) = del/(delrho)((1/2) * (1/Z_0) (|E_x(z,t)|^2))$

a questo punto manca ricare solo la parte restante del bilancio:

$u$ è a sua volta funzione di $rho$ poiché è composta dal modulo quadro del pacchetto d'onda $|E|^2$ dipende dal $rho$ quando il pacchetto non va incontro a dispersioni (perché?)

$u = u(rho)$ se ne si fa la derivata rispetto al tempo:

$(del(u(rho)))/(delt) = ((delu)/(delrho))*((delrho)/(delt))$ come visto precedentemente non capisco cosa fa in questo passaggio continuando comunque:

$(del(u(rho)))/(delt) = ((delu)/(delrho))*((del(z - v_g t)/(delt))) = -v_g*((delu)/(delrho))$

[K.Lomax]

$Z_0$ reale nella banda delle trasparenze... In generale direi che essendo $Z_0=\sqrt(\mu/\epsilon)$, essa è reale se il mezzo è privo di perdite. Forse nella banda delle trasparenze intendi in quel range dove è possibile assumere nulle le perdite del mezzo?
La relazione

$(delf(\rho(z)))/(delz)=(delf)/(del\rho)(del\rho)/(delz)$

è semplicemente la proprietà della derivata di una funzione composta ovvero $D[f(g(x))]=f'(g(x))g'(x)$ esteso alla derivate parziali. La velocità di gruppo non varia con $z$ e dunque $(del\rho)/(delz)=1$. $u=u(\rho)$ perchè c'è il campo che lo è.

P.S.
E' $\nabla*\vecS$ e non $\nabla\vecS$ .

[Ahi1]

"K.Lomax":$Z_0$ reale nella banda delle trasparenze... In generale direi che essendo $Z_0=\sqrt(\mu/\epsilon)$, essa è reale se il mezzo è privo di perdite. Forse nella banda delle trasparenze intendi in quel range dove è possibile assumere nulle le perdite del mezzo?

Sì le bande di trasparenza solo legate alle perdite del mezzo. Se io qualcosa del tipo: $epsilon(omega) = epsilon_1(omega) - jepsilon_2(omega)$ avrò un mezzo senza perdite se $epsilon_2(omega) = 0$ e quindi posso introdurre anche le bande di trasparenza.

"K.Lomax":La relazione

$(delf(\rho(z)))/(delz)=(delf)/(del\rho)(del\rho)/(delz)$

è semplicemente la proprietà della derivata di una funzione composta ovvero $D[f(g(x))]=f'(g(x))g'(x)$ esteso alla derivate parziali. La velocità di gruppo non varia con $z$ e dunque $(del\rho)/(delz)=1$. $u=u(\rho)$ perchè c'è il campo che lo è.

Di questo me ne sono reso conto dopo con maggiore attezione...