[Campi Elettromagnetici] Sovrapposizione di onde piane.
Ciao a tutti!
Nel post precedente ho introdotto quelle che sono le onde piane (https://www.matematicamente.it/forum/inv ... 45079.html), quello che voglio fare ora è capire se effettivamente il mio ragionamente per quanto riguarda la sovrapposizione di onde piane (cosidetto pacchetto d'onda) è corretto e se quindi effettivamente ho capito ciò che ho studiato.
Ho capito che l'onda piana è definita in tutto lo spazio, ed inoltre è una soluzione strettamente monocromatica, per questi motivi non è realizzabile. In generale, non è detto che la relazione tra $vec(K)$ ed $omega$ sia semplice. In mezzi con relazioni costitutive diverse da $D=epsilonE$ e $B=uH$ si ha una certa relazione di dispersione $omega = omega(k)$ che deve essere verifica affinché si propaghino gli inviluppi complessi.
Per semplicità considero:
$vec(k) = K_zhat(z)$ e $vec(E_0) = E_(0x)hat(x)$
per cui l'inviluppo complesso potrà essere riscritto, tenendo presente anche la relazione di dispersione, come:
$vec(E_x)(vec(r), t) = E_(0x)e^(-j(K_zhat(z) - omega(K_z)t)) hat(x)$
Si può costruire il pacchetto per sovrapposizione di soluzione semplici considerando la relazione di dispersione:
$omega_i = omega(k_(zi))$
allora
$vec(E_x)(vec(r), t) = \sum_{k=1}^N E_(0x) (k_(zi))e^(-j(K_(zi)hat(z) - omega(K_(zi))t)) hat(x)$
passando al limite
$vec(E_x)(vec(r), t) = \int_{-oo}^{+oo} E_(0x) (k_(z))e^(-j(K_(z)hat(z) - omega(K_(z))t))hat(x) dx$
Questo altro non è che l'inviluppo complesso del pacchetto d'onda. L'onda piana è una soluzione particolare del pacchetto d'onda se:
$E_(0x) (eta) = E_(0x)*delta(eta - k_z)$
sostituendo nell'integrale:
$vec(E_x)(vec(r), t) = \int_{-oo}^{+oo} E_(0x)delta(eta - k_z)e^(-j(etahat(z) - omega(eta)t)) d etahat(x) =$ $E_(0x)e^(-j(K_zhat(z) - omega(K_z)t))hat(x)$
Ciò che ho scritto è effettivamente corretto e ho capito, oppure vi sono degli errori?
Come sempre ringrazio tutti coloro che mi risponderanno.
Nel post precedente ho introdotto quelle che sono le onde piane (https://www.matematicamente.it/forum/inv ... 45079.html), quello che voglio fare ora è capire se effettivamente il mio ragionamente per quanto riguarda la sovrapposizione di onde piane (cosidetto pacchetto d'onda) è corretto e se quindi effettivamente ho capito ciò che ho studiato.
Ho capito che l'onda piana è definita in tutto lo spazio, ed inoltre è una soluzione strettamente monocromatica, per questi motivi non è realizzabile. In generale, non è detto che la relazione tra $vec(K)$ ed $omega$ sia semplice. In mezzi con relazioni costitutive diverse da $D=epsilonE$ e $B=uH$ si ha una certa relazione di dispersione $omega = omega(k)$ che deve essere verifica affinché si propaghino gli inviluppi complessi.
Per semplicità considero:
$vec(k) = K_zhat(z)$ e $vec(E_0) = E_(0x)hat(x)$
per cui l'inviluppo complesso potrà essere riscritto, tenendo presente anche la relazione di dispersione, come:
$vec(E_x)(vec(r), t) = E_(0x)e^(-j(K_zhat(z) - omega(K_z)t)) hat(x)$
Si può costruire il pacchetto per sovrapposizione di soluzione semplici considerando la relazione di dispersione:
$omega_i = omega(k_(zi))$
allora
$vec(E_x)(vec(r), t) = \sum_{k=1}^N E_(0x) (k_(zi))e^(-j(K_(zi)hat(z) - omega(K_(zi))t)) hat(x)$
passando al limite
$vec(E_x)(vec(r), t) = \int_{-oo}^{+oo} E_(0x) (k_(z))e^(-j(K_(z)hat(z) - omega(K_(z))t))hat(x) dx$
Questo altro non è che l'inviluppo complesso del pacchetto d'onda. L'onda piana è una soluzione particolare del pacchetto d'onda se:
$E_(0x) (eta) = E_(0x)*delta(eta - k_z)$
sostituendo nell'integrale:
$vec(E_x)(vec(r), t) = \int_{-oo}^{+oo} E_(0x)delta(eta - k_z)e^(-j(etahat(z) - omega(eta)t)) d etahat(x) =$ $E_(0x)e^(-j(K_zhat(z) - omega(K_z)t))hat(x)$
Ciò che ho scritto è effettivamente corretto e ho capito, oppure vi sono degli errori?
Come sempre ringrazio tutti coloro che mi risponderanno.
Risposte
Ci sono alcuni errori di notazione/calcolo. La quantità $\veck*\vecr$, supposta la propagazione lungo l'asse $z$, si scrive come $k_zz$ e non $\k_z\hatz$. Quando sovrapponi le diverse onde piane l'integrale è ovviamente in $dk_z$ e non in $dx$. Il risultato mi sembra coerente.
Correggo per gli altri visitatori...e per me e continuo con la dimostrazione...
Per non appesantire la notazione non porto più $hat(x)$
$vec(E_x)(vec(r), t) = \int_{-oo}^{+oo} E_(0x) (K_(z))*e^(-j(K_(z)z - omega(K_(z))t)) dk_z$
Il moto del pacchetto è completamente determinato dalla distribuzione iniziale del campo, dunque per $t=0$ sarà:
$vec(E_x)(vec(r), 0) = \int_{-oo}^{+oo} E_(0x) (K_(z))*e^(-j(K_(z)z)) dK_z$
altro non è che una trasformata di Fourier Spaziale quindi può essere invertita per ricavare l'inviluppo complesso:
$vec(E_x)(K_z) = 1/(2*pi) \int_{-oo}^{+oo} E(z,0)*e^(j(K_(z)z)) dk_z$
Così si può calcolare tutto lo sviluppo del pacchetto per $t>0$ (prima proprietà). Da quì è possibile ricavare un'altra proprietà, per tutti i segnali per i quali vale una relazione di tipo trasformata di Fourier vale il principio di indeterminazione, infatti l'integrale visto in precedenza è del tipo
$vec(f(t)) = 1/(2*pi) \int_{-oo}^{+oo} f(omega)*e^(j(K_(z)z) dk_z$
dove le due funzioni $f(t)$ e $f(omega)$ non sono indipendenti tra di loro, ma coniugate tra di loro, ossia posso ricavare una dall'altra. Considerando il valore medio:
$ = \int_{-oo}^{+oo} (z|E(z,0)|^2)/N dz$
dove $N = \int_{-oo}^{+oo} |E_(x(z,0))|^2 dz$ rappresenta l'energia, rinominando $P(z) = (|E(z,0)|^2)/N$ si riscrive l'integrale:
$ = \int_{-oo}^{+oo} zP(z) dz$
lo scarto quadratico medio sarà:
$Deltaz = <(z-)^2> = \int_{-oo}^{+oo} (z - )^2 P(z) dz$
discussioni analoghe si possono fare per il dominio di $k$ coniugato, da cui si ricava in definitiva il principio di indeterminazione di Heisberg.:
$Deltaz*DeltaK_z >= 2pi $
Dove $DeltaK_z$ è l'errore che si commente nel posizionamente spettrale del pacchetto, mentre, $Deltaz$ l'errore che si commette nel posizionamento del pacchetto. Ma perché deve proprio essere maggiore o uguare di $2pi$. Fin quì è corretto? Beh c'è un problema perché sugli appunti di anni differenti e anche sui libri ognuno porta un principio differente? Ho trovato anche relazioni del tipo $Deltaz*DeltaK_z >= 1 $
e continuo con la dimostrazione..."Ahi":
$vec(k) = K_zz$ e $vec(E_0) = E_(0x)hat(x)$
per cui l'inviluppo complesso potrà essere riscritto, tenendo presente anche la relazione di dispersione, come:
$vec(E_x)(vec(r), t) = E_(0x)e^(-j(K_zz - omega(K_z)t)) hat(x)$
Si può costruire il pacchetto per sovrapposizione di soluzione semplici considerando la relazione di dispersione:
$omega_i = omega(k_(zi))$
allora
$vec(E_x)(vec(r), t) = \sum_{k=1}^N E_(0x) (k_(zi))e^(-j(K_(zi)z - omega(K_(zi))t)) hat(x)$
passando al limite
$vec(E_x)(vec(r), t) = \int_{-oo}^{+oo} E_(0x) (k_(z))e^(-j(K_(z)z - omega(K_(z))t))hat(x) dk_z$
Questo altro non è che l'inviluppo complesso del pacchetto d'onda. L'onda piana è una soluzione particolare del pacchetto d'onda se:
$E_(0x) (eta) = E_(0x)*delta(eta - k_z)$
sostituendo nell'integrale:
$vec(E_x)(vec(r), t) = \int_{-oo}^{+oo} E_(0x)delta(eta - k_z)e^(-j(etaz - omega(eta)t)) d etahat(x) =$ $E_(0x)e^(-j(K_zhat(z) - omega(K_z)t))hat(x)$
Per non appesantire la notazione non porto più $hat(x)$
$vec(E_x)(vec(r), t) = \int_{-oo}^{+oo} E_(0x) (K_(z))*e^(-j(K_(z)z - omega(K_(z))t)) dk_z$
Il moto del pacchetto è completamente determinato dalla distribuzione iniziale del campo, dunque per $t=0$ sarà:
$vec(E_x)(vec(r), 0) = \int_{-oo}^{+oo} E_(0x) (K_(z))*e^(-j(K_(z)z)) dK_z$
altro non è che una trasformata di Fourier Spaziale quindi può essere invertita per ricavare l'inviluppo complesso:
$vec(E_x)(K_z) = 1/(2*pi) \int_{-oo}^{+oo} E(z,0)*e^(j(K_(z)z)) dk_z$
Così si può calcolare tutto lo sviluppo del pacchetto per $t>0$ (prima proprietà). Da quì è possibile ricavare un'altra proprietà, per tutti i segnali per i quali vale una relazione di tipo trasformata di Fourier vale il principio di indeterminazione, infatti l'integrale visto in precedenza è del tipo
$vec(f(t)) = 1/(2*pi) \int_{-oo}^{+oo} f(omega)*e^(j(K_(z)z) dk_z$
dove le due funzioni $f(t)$ e $f(omega)$ non sono indipendenti tra di loro, ma coniugate tra di loro, ossia posso ricavare una dall'altra. Considerando il valore medio:
$
dove $N = \int_{-oo}^{+oo} |E_(x(z,0))|^2 dz$ rappresenta l'energia, rinominando $P(z) = (|E(z,0)|^2)/N$ si riscrive l'integrale:
$
lo scarto quadratico medio sarà:
$Deltaz = <(z-
discussioni analoghe si possono fare per il dominio di $k$ coniugato, da cui si ricava in definitiva il principio di indeterminazione di Heisberg.:
$Deltaz*DeltaK_z >= 2pi $
Dove $DeltaK_z$ è l'errore che si commente nel posizionamente spettrale del pacchetto, mentre, $Deltaz$ l'errore che si commette nel posizionamento del pacchetto. Ma perché deve proprio essere maggiore o uguare di $2pi$. Fin quì è corretto? Beh c'è un problema perché sugli appunti di anni differenti e anche sui libri ognuno porta un principio differente? Ho trovato anche relazioni del tipo $Deltaz*DeltaK_z >= 1 $
Non ho capito nel primo post la sostituzione:
$E_(0x) (k_(z))=E_(0x) (eta) = E_(0x)*delta(eta - k_z)$
Il resto del post penso di averlo capito.
Riguardo al secondo post ho diversi dubbi dovuti soprattutto alla non conoscenza degli argomenti.
L'ultima domanda che hai fatto per esempio mi lascia perplesso: fin dall'inizio del post si è parlato di una ben precisa sovrapposizione di onde, mentre alla fine si parla di errori commessi nel posizionemento e nel posizionamento spettrale del pacchetto, non ho capito il passaggio.
Se quello che si ottiene si tratta di una distribuzione di probabilità, non dovrebbe essere anche definita la probabilità con cui l'errore rientra entro il valore ricavato?
$E_(0x) (k_(z))=E_(0x) (eta) = E_(0x)*delta(eta - k_z)$
Il resto del post penso di averlo capito.
Riguardo al secondo post ho diversi dubbi dovuti soprattutto alla non conoscenza degli argomenti.
L'ultima domanda che hai fatto per esempio mi lascia perplesso: fin dall'inizio del post si è parlato di una ben precisa sovrapposizione di onde, mentre alla fine si parla di errori commessi nel posizionemento e nel posizionamento spettrale del pacchetto, non ho capito il passaggio.
Se quello che si ottiene si tratta di una distribuzione di probabilità, non dovrebbe essere anche definita la probabilità con cui l'errore rientra entro il valore ricavato?
In riferimento all'ultimo post di Ahi:
1)Se non vuoi portare appresso $\hatx$ non puoi scrivere $\vecE(\vecr,t)=....$.
2)Quando cominci a definire $\vecf(t)=...$ sbagli se intendi per $t$ la variabile tempo e poi all'interno dell'integrale $\omega$ la variabile pulsazione. Stiamo parlando di trasformate spaziali e non temporali. Dici, inoltre, che le due funzioni sono coniugate tra loro, non so cosa tu voglia intendere.
3) Il simbolo $$ non vuol dire nulla. Puoi scrivere $<|E_x(z,0)|^2>$, ovvero la media di questa funzione.
4) L'esatto valore della costante che determina l'inversa proporzionalità tra l'occupazione in banda (spaziale) $\DeltaK_z$ e nello spazio $\Deltaz$ dipende da come definisci queste ultime. Il suo preciso valore è di scarsa importanza. Quello che è invece importante è il significato. Essa ti dice che tali occupazioni non si possono rendere arbitrariamente piccole, se così fosse, infatti, potrei avere perfetta localizzazione sia nello spazio che in banda e ciò non è possibile. La trasformata di Fourier, ad esempio, è perfettamente locale in frequenza ma è totalmente dispersiva nello spazio. Nota che l'eguaglianza si ha in presenza di campi gaussiani.
@nonsoxke
Sebbene le definizioni risultano simili non stiamo parlando di distribuzioni di probabilità. Posso definire un momento anche se la funzione all'interno non è una distribuzione di probabilità.
1)Se non vuoi portare appresso $\hatx$ non puoi scrivere $\vecE(\vecr,t)=....$.
2)Quando cominci a definire $\vecf(t)=...$ sbagli se intendi per $t$ la variabile tempo e poi all'interno dell'integrale $\omega$ la variabile pulsazione. Stiamo parlando di trasformate spaziali e non temporali. Dici, inoltre, che le due funzioni sono coniugate tra loro, non so cosa tu voglia intendere.
3) Il simbolo $
4) L'esatto valore della costante che determina l'inversa proporzionalità tra l'occupazione in banda (spaziale) $\DeltaK_z$ e nello spazio $\Deltaz$ dipende da come definisci queste ultime. Il suo preciso valore è di scarsa importanza. Quello che è invece importante è il significato. Essa ti dice che tali occupazioni non si possono rendere arbitrariamente piccole, se così fosse, infatti, potrei avere perfetta localizzazione sia nello spazio che in banda e ciò non è possibile. La trasformata di Fourier, ad esempio, è perfettamente locale in frequenza ma è totalmente dispersiva nello spazio. Nota che l'eguaglianza si ha in presenza di campi gaussiani.
@nonsoxke
Sebbene le definizioni risultano simili non stiamo parlando di distribuzioni di probabilità. Posso definire un momento anche se la funzione all'interno non è una distribuzione di probabilità.
"K.Lomax":
1)Se non vuoi portare appresso $\hatx$ non puoi scrivere $\vecE(\vecr,t)=....$.
Dovrei fare così se ho capito vero:
Per non appesantire la notazione non porto più $hat(x)$
$vec(E_x)(z, t) = \int_{-oo}^{+oo} E_(0x) (K_(z))*e^(-j(K_(z)z - omega(K_(z))t)) dk_z$
Il moto del pacchetto è completamente determinato dalla distribuzione iniziale del campo, dunque per $t=0$ sarà:
$vec(E_x)(z, 0) = \int_{-oo}^{+oo} E_(0x) (K_(z))*e^(-j(K_(z)z)) dK_z$
"K.Lomax":
2)Quando cominci a definire $\vecf(t)=...$ sbagli se intendi per $t$ la variabile tempo e poi all'interno dell'integrale $\omega$ la variabile pulsazione. Stiamo parlando di trasformate spaziali e non temporali. Dici, inoltre, che le due funzioni sono coniugate tra loro, non so cosa tu voglia intendere.
Il professore tutti gli anni, l'ho visto sui vari appunti di diversi anni che ho, scrive questa cosa, e lo fa come introduzione a quello che viene dopo. E dice che sono l'una il coniugato dell'altro, ovvero l'una vive nel dominio coniugata dell'altra, per intenderci l'una è la trasformata di Fourier dell'altra. E credo sia una formula del tutto generale alla fine.
"K.Lomax":
3) Il simbolo $$ non vuol dire nulla. Puoi scrivere $<|E_x(z,0)|^2>$, ovvero la media di questa funzione.
Effettivamente avrei dovuto scrivere così: $
Per il 4) credo sia meglio approfondire da parte mia lo studio. Poi posterò quello che ho capito.
"nnsoxke":
Non ho capito nel primo post la sostituzione:
$E_(0x) (k_(z))=E_(0x) (eta) = E_(0x)*delta(eta - k_z)$
In un post precedente, come hai visto, ho introdotto l'onda piana, e questo è stata una premessa per introdurre la sovrapposizione dell'onde piane. Ora definita questa sovrapposizione di onde piane (o se preferisci pacchetto d'onda) ho mostrato come, introducendo un impulso di dirac e applicando il principio di localizzazione della delta e sostituendo questa nella definizione del pacchetto d'onda ottenuta, è possibile ricavare l'inviluppo complesso di un onda piana.
Una volta tolto il versore non puoi considerare quella quantità vettoriale. Puoi anche scrivere come il tuo prof, ma tenendo conto che è, a parer mio, un abuso di notazione.
In genere quando si parla di coniugazione, si intende la ben nota operazione nel campo complesso. Comunque, se intendi che sono legate tra loro da un'operazione di trasformata sono d'accordo.
In genere quando si parla di coniugazione, si intende la ben nota operazione nel campo complesso. Comunque, se intendi che sono legate tra loro da un'operazione di trasformata sono d'accordo.
"K.Lomax":
Una volta tolto il versore non puoi considerare quella quantità vettoriale. Puoi anche scrivere come il tuo prof, ma tenendo conto che è, a parer mio, un abuso di notazione.
In genere quando si parla di coniugazione, si intende la ben nota operazione nel campo complesso. Comunque, se intendi che sono legate tra loro da un'operazione di trasformata sono d'accordo.
Correggo per i visitatori del post:
Credo proprio tu abbia ragione, lui toglie la $hat(x)$ ma comunque va tolto il il simbolo di vettore dato che non lo è più e quindi considerare:
$E_x(vec(r), t) = \int_{-oo}^{+oo} E_(0x) (K_(z))*e^(-j(K_(z)*hat(z) - omega(K_(z))*t) dx$
Il moto del pacchetto è completamente determinato dalla distribuzione iniziale del campo, dunque per $t=0$ sarà:
$E_x(vec(r), 0) = \int_{-oo}^{+oo} E_(0x) (K_(z))*e^(-j(K_(z)*hat(z)) dx$
un piccola nota va fatta che questa relazione appena scritta sopra dipende solo da z per cui si può scrivere anche come:
$E_x(z,0) = E_x(vec(r), 0) = \int_{-oo}^{+oo} E_(0x) (K_(z))*e^(-j(K_(z)*hat(z)) dx$
e poi la trasformata di Fourier
$E_x(K_z) = 1/(2*pi) \int_{-oo}^{+oo} E_(z,0)*e^(j(K_(z)*hat(z))) dz$ prima avevo sbagliato il differenziale di questo integrale...
così vero?
Si ma ancora una volta ti ricordo che $\veck*\vecr=k_zz$ e non $\k_z*\hatz$. Gli integrali corretti sono:
$E_x(z,0)=\int_(-\infty)^(+\infty)E_(x)(k_z,0)e^(-jk_zz)dk_z$
e trasformata
$E_x(k_z,0)=1/(2\pi)\int_(-\infty)^(+\infty)E_x(z,0)e^(jk_zz)dz$
$E_x(z,0)=\int_(-\infty)^(+\infty)E_(x)(k_z,0)e^(-jk_zz)dk_z$
e trasformata
$E_x(k_z,0)=1/(2\pi)\int_(-\infty)^(+\infty)E_x(z,0)e^(jk_zz)dz$
Si per fare copia incolla ho copiato anche i vecchi errori. Comunque ho analizzato di più il principio di indeterminazione.
Da quello che ho capito:
Dalla relazione ottenuta precedente è possibile ricavare un'altra proprietà, per tutti i segnali per i quali vale una relazione di tipo trasformata di Fourier vale il principio di indeterminazione, infatti l'integrale visto in precedenza è del tipo
$f(t) = \int_{-oo}^{+oo} f(omega)*e^(-j(K_(z)z)) dk_z$ (prima ho sbagliato mettendo il vettore a $f(t)$)
e quello che si nota che le due funzioni vivono ognuna nel dominio coniugata dell'altra ossia si può ricavare l'una dall'altra (non risultano indipendenti tra di loro in sostanza). Quindi per coppie coniugate fra di loro è possibile dimostrare il teorema di indeterminazione. Ora considerando un pacchetto d'onda a supporto compatto (ovvero occupa uno spazio limitato), un qualcosa del genere in figura:
calcolo il valore medio di tale pacchetto:
$$ $= <|E_(0x)(z,0)|^2>$ $= \int_{-oo}^{+oo} (z|E(z,0)|^2)/N dz$
dove $N = \int_{-oo}^{+oo} |E_(x(z,0))|^2 dz$ rappresenta l'energia, rinominando
$P(z) = (|E(z,0)|^2)/N$ l'integrale si riscrive come:
$$ $=$ $<|E_(0x)(z,0)|^2>$ $= \int_{-oo}^{+oo} zP(z) dz$
lo scarto quadratico medio sarà:
$Deltaz = <(z -)^2> = \int_{-oo}^{+oo} (z - )^2 P(z) dz$
però una cosa che non capisco perché da qui il professore dice che il pacchetto sarà del tipo:
$ \pm 3Deltaz$ cosa intende? e perché proprio quel 3 da dove lo prende?
discussioni analoghe si possono fare per il dominio di $k$, da cui si può ottenere quindi:
media: $$ $=$ $<|E_(0x)(k_z)|^2>$ $= \int_{-oo}^{+oo} (k|E_(0x)(k,z)|^2)/N dk$
energia: $N = \int_{-oo}^{+oo} |E_(0x)(k_z))|^2 dk$ rappresenta l'energia
rinominare $Q(k) = (|E(z,0)|^2)/N$ l'integrale si riscrive come
media: $$ $=$ $<|E_(0x)(k_z)|^2>$ $= \int_{-oo}^{+oo} (kQ(k)) dk$
scarto quadratico medio: $Deltak = <(k -)^2> = \int_{-oo}^{+oo} (k - )^2 Q(k) dk$
e $ \pm 3Deltak$ cosa intende? e perché proprio quel 3 da dove lo prende?
(se non sbaglio ho fatto bene fin quì?)
definitiva il principio di indeterminazione:
$Deltaz*DeltaK_z >= 2pi $ analogamente nel dominio del tempo si riscrive $Deltat*Deltaomega >= 2pi $
fin quì ha un senso? ci sono errori?
Da quello che ho capito:
Dalla relazione ottenuta precedente è possibile ricavare un'altra proprietà, per tutti i segnali per i quali vale una relazione di tipo trasformata di Fourier vale il principio di indeterminazione, infatti l'integrale visto in precedenza è del tipo
$f(t) = \int_{-oo}^{+oo} f(omega)*e^(-j(K_(z)z)) dk_z$ (prima ho sbagliato mettendo il vettore a $f(t)$)
e quello che si nota che le due funzioni vivono ognuna nel dominio coniugata dell'altra ossia si può ricavare l'una dall'altra (non risultano indipendenti tra di loro in sostanza). Quindi per coppie coniugate fra di loro è possibile dimostrare il teorema di indeterminazione. Ora considerando un pacchetto d'onda a supporto compatto (ovvero occupa uno spazio limitato), un qualcosa del genere in figura:
calcolo il valore medio di tale pacchetto:
$
dove $N = \int_{-oo}^{+oo} |E_(x(z,0))|^2 dz$ rappresenta l'energia, rinominando
$P(z) = (|E(z,0)|^2)/N$ l'integrale si riscrive come:
$
lo scarto quadratico medio sarà:
$Deltaz = <(z -
però una cosa che non capisco perché da qui il professore dice che il pacchetto sarà del tipo:
$
discussioni analoghe si possono fare per il dominio di $k$, da cui si può ottenere quindi:
media: $
energia: $N = \int_{-oo}^{+oo} |E_(0x)(k_z))|^2 dk$ rappresenta l'energia
rinominare $Q(k) = (|E(z,0)|^2)/N$ l'integrale si riscrive come
media: $
scarto quadratico medio: $Deltak = <(k -
e $
(se non sbaglio ho fatto bene fin quì?)
definitiva il principio di indeterminazione:
$Deltaz*DeltaK_z >= 2pi $ analogamente nel dominio del tempo si riscrive $Deltat*Deltaomega >= 2pi $
fin quì ha un senso? ci sono errori?
A meno di qualche "segnaccio" saltato qui è lì le definizioni da te date mi sembrano coerenti. C'è ancora una cosa che non capisco e che continui a scrivere:
$f(t)=\int_(-\infty)^(+\infty)f(\omega)e^(-jk_zz)dk_z$
Qui mischi la dipendenza temporale con quella spaziale. In questa fase si sta parlando di trasformata spaziale, quindi non ha senso una cosa del genere.
Per quanto riguarda $\+-3\Deltak_z$ (e l'analogo su $z$) mi sembra qualcosa di molto simile alla legge dei 3-sigma valida però per una distribuzione gaussiana. Questa legge dice che se hai una distribuzione gaussiana la banda spaziale è contenuta in un range di frequenza pari a $6\Deltak_z$ intorno al punto medio. Nel tuo caso, dunque, $+3\Deltak_z$ indicherebbe la banda spaziale intorno alla frequenza centrale $k_z$. Ad ogni modo mi sembra che non si stia parlando di distribuzione gaussiana quindi, scritta così, non saprei dartene una giustificazione.
P.S: nel disegno stai considerando il dominio spaziale, quindi dovresti scrivere $E_0(z)$.
$f(t)=\int_(-\infty)^(+\infty)f(\omega)e^(-jk_zz)dk_z$
Qui mischi la dipendenza temporale con quella spaziale. In questa fase si sta parlando di trasformata spaziale, quindi non ha senso una cosa del genere.
Per quanto riguarda $
P.S: nel disegno stai considerando il dominio spaziale, quindi dovresti scrivere $E_0(z)$.
"K.Lomax":
A meno di qualche "segnaccio" saltato qui è lì le definizioni da te date mi sembrano coerenti. C'è ancora una cosa che non capisco e che continui a scrivere:
$f(t)=\int_(-\infty)^(+\infty)f(\omega)e^(-jk_zz)dk_z$
Qui mischi la dipendenza temporale con quella spaziale. In questa fase si sta parlando di trasformata spaziale, quindi non ha senso una cosa del genere.
Ma la definizione di trasformata di fourier non è la seguente:
$F(A(t))=$$\int_(-\infty)^(+\infty) A(t)e^(-jomegat)dt = A(omega)$
mentre per quanto riguarda l'antitrasformata è:
$F(A(omega))=(1/(2pi)) \int_(-\infty)^(+\infty) A(\omega)e^(jomegat)domega = A(t)$ ?
Forse il mio professore ha voluto ricavare una formula generale considerando il caso del pacchetto, non so così avrebbe più senso?
Si ma non ha senso "mischiare" i domini tempo-frequenza $t,\omega$ con i domini spazio-frequenza spaziale $z,k_z$ (mentre è possibile effettuare una trasformata di Fourier temporale e poi successivamente una spaziale, vedi eq. di Maxwell nel dominio del vettore d'onda dove c'è una dipendenza $(k,\omega)$). Ha senso
$F(\omega)=\int_(-\infty)^(+\infty)f(t)e^(-j\omegat)dt$
o
$F(k_z)=\int_(-\infty)^(+\infty)f(z)e^(-jk_zz)dk_z$
ma non
$f(t)=\int_(-\infty)^(+\infty)f(\omega)e^(-jk_zz)dk_z$
Questo è quello che intendo dire.
$F(\omega)=\int_(-\infty)^(+\infty)f(t)e^(-j\omegat)dt$
o
$F(k_z)=\int_(-\infty)^(+\infty)f(z)e^(-jk_zz)dk_z$
ma non
$f(t)=\int_(-\infty)^(+\infty)f(\omega)e^(-jk_zz)dk_z$
Questo è quello che intendo dire.
Ti ringrazio per tutto l'aiuto che gentilmente mi stai offrendo.
Per concludere il discorso sul principio di indeterminazione ci sono delle cose che devo ancora chiarire, perché mi interessano e quindi calcolo la media e gli scarti? Inoltre perché deve essere proprio $>=2pi$.
Quello che ho "quotato" sopra e che mi hai scritto è in pratica a cosa serve il principio di indeterminazione, solo che non ho capito cosa intendi per occupazioni. Inoltre giusto per conferma:
$Deltaz$ è l'errore che si commette nel posizionamente del pacchetto oppure la lunghezza del pcchetto come nel grafico?
$Deltak_z$ l'errore che si commette nel posizionamento spettrale? Ma cosa si intende per posizionamente spettrale?
Forse mi posso aiutare con il disegno che credo dovrebbe essere così:
Forse $Deltaz$ rappresenta la lunghezza del pacchetto d'onda, mentre $Deltak_z$ la larghezza dello spettro del pacchetto d'onda?
"K.Lomax":
Essa ti dice che tali occupazioni non si possono rendere arbitrariamente piccole, se così fosse, infatti, potrei avere perfetta localizzazione sia nello spazio che in banda e ciò non è possibile. La trasformata di Fourier, ad esempio, è perfettamente locale in frequenza ma è totalmente dispersiva nello spazio. Nota che l'eguaglianza si ha in presenza di campi gaussiani.
Per concludere il discorso sul principio di indeterminazione ci sono delle cose che devo ancora chiarire, perché mi interessano e quindi calcolo la media e gli scarti? Inoltre perché deve essere proprio $>=2pi$.
Quello che ho "quotato" sopra e che mi hai scritto è in pratica a cosa serve il principio di indeterminazione, solo che non ho capito cosa intendi per occupazioni. Inoltre giusto per conferma:
$Deltaz$ è l'errore che si commette nel posizionamente del pacchetto oppure la lunghezza del pcchetto come nel grafico?
$Deltak_z$ l'errore che si commette nel posizionamento spettrale? Ma cosa si intende per posizionamente spettrale?
Forse mi posso aiutare con il disegno che credo dovrebbe essere così:
Forse $Deltaz$ rappresenta la lunghezza del pacchetto d'onda, mentre $Deltak_z$ la larghezza dello spettro del pacchetto d'onda?
Calcoli la media e gli scarti perchè ti interessa valutare la quantità $\int(z-$$)^2f(z)dz$ che è definita come occupazione spaziale (analogamente nell'altro dominio, occupazione in banda) e ad essa puoi dare la medesima lettura che ne dai della varianza per variabili aleatorie (nota che il tuo prof ti ha fatto considerare la funzione $Q(z)$ che corrisponde al modulo del campo al quadrato normalizzato alla sua energia, il che implica che può assumere valori inferiori all'unità, proprio come una v.a.). In pratica puoi considerare il segnale centrato sul valore medio $$ con tutta la sua energia in un intorno individuato da $\Deltaz$.
Perchè deve essere proprio $2\pi$ lo puoi capire dalla dimostrazione, che trovi in rete. Come, però, ti ho detto nel precedente post, questo valore dipende molto dalla definizione iniziale (spesso sono simili, ovvero ne puoi dare la stessa lettura, ma cambiano solo per il valore della costante). Quel che più importa è la sua interpretazione, ovvero non puoi avere una perfetta localizzazione (impulso) nello spazio e in banda. Se diminuisci l'occupazione in un dominio aumenta subito quella nell'altro ($\Deltaz>=(2\pi)/(\Deltak_z)$ o viceversa).
Errore nel posizionamento o lunghezza è praticamente la stessa cosa, dipende come vuoi leggere la cosa. Se pensi di centrare il pacchetto in corrispondeza del valore medio esso sarà praticamente tutto contenuto in un range pari a $\Deltaz$ intorno a tale punto (quindi la leggi come lunghezza); oppure, se pensi alla perfetta localizzazione sul punto medio (cioè dovrebbe essere tutto centrato lì ma non lo è nella pratica e quindi commetti un errore), quest'ultimo è un errore di posizionamento.
Ad occhio i disegni non mi sembrano coerenti. Infatti, un segnale e la sua trasformata non posso essere entrambi illimitati. Se in un dominio hai un segnale illimitato nell'altro sicuramente sarà limitato (prova a farci caso con altri esempi
). Se ricordo bene, i disegni (che io non posso fare) li trovi sul Franceschetti.
Perchè deve essere proprio $2\pi$ lo puoi capire dalla dimostrazione, che trovi in rete. Come, però, ti ho detto nel precedente post, questo valore dipende molto dalla definizione iniziale (spesso sono simili, ovvero ne puoi dare la stessa lettura, ma cambiano solo per il valore della costante). Quel che più importa è la sua interpretazione, ovvero non puoi avere una perfetta localizzazione (impulso) nello spazio e in banda. Se diminuisci l'occupazione in un dominio aumenta subito quella nell'altro ($\Deltaz>=(2\pi)/(\Deltak_z)$ o viceversa).
Errore nel posizionamento o lunghezza è praticamente la stessa cosa, dipende come vuoi leggere la cosa. Se pensi di centrare il pacchetto in corrispondeza del valore medio esso sarà praticamente tutto contenuto in un range pari a $\Deltaz$ intorno a tale punto (quindi la leggi come lunghezza); oppure, se pensi alla perfetta localizzazione sul punto medio (cioè dovrebbe essere tutto centrato lì ma non lo è nella pratica e quindi commetti un errore), quest'ultimo è un errore di posizionamento.
Ad occhio i disegni non mi sembrano coerenti. Infatti, un segnale e la sua trasformata non posso essere entrambi illimitati. Se in un dominio hai un segnale illimitato nell'altro sicuramente sarà limitato (prova a farci caso con altri esempi
). Se ricordo bene, i disegni (che io non posso fare) li trovi sul Franceschetti.
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