[Campi Elettromagnetici] Propagazione sovrapposizione onde

[Ahi1]

Ciao a tutti, in questo forum sto cercando di capire, in tutti i suoi punti, il pacchetto

d'onda (ovvero la sovrapposizione di più onde) e per fare ciò ho prima introdotto l'onda

piana (https://www.matematicamente.it/forum/inv ... 45079.html), poi

ho definito il pacchetto d'onda

(https://www.matematicamente.it/forum/sov ... =8ba67cfa9

0c888c2f8448d833cdfaf5d). Ora quello che voglio fare in questo nuovo post è discutere la

propagazione di un pacchetto d'onda a banda stretta.

Un pacchetto si definisce a banda frazionale stretta se:


$E_(0x)(K_z)$ = ${( E_(0x)(K_z) se K_z in [k_0 - DeltaK, K_0 + Deltak]) ,(0 se K_z notin [k_0 - DeltaK, K_0 + Deltak]):}$

inoltre per avere un pacchetto di questo tipo bisogna che $DeltaK$ sia molto piccolo

rispetto $K_0$:

$(DeltaK)/K_0<<1$

Poiché la banda è per ipotesi stretta è possibile fare delle semplificazioni.

L'integrale risulta limitato infatti:

$vec(E_x)(z, t) = \int_{K_0 - DeltaK}^{K_0 + DeltaK} E_(0x) (K_(z))*e^(-j(K_(z)z - omega(K_(z))t)) dk_z$

supponiamo $omega(K_(z)$ regolare, differenziabile e sviluppabile in serie di taylor quindi:

$omega(K_(z)) = omega(K_(0)) + (delomega)/(delK_z) |_(K_0)) (K_z - K_0) + (1/2)(delomega^2)/(del^2K_z)|_(K_0) + (K_z - K_0)^2 + 0$

sostituendo nell'integrale precedente e portando fuori ciò che non dipende da k si ottiene:

$vec(E_x)(z, t) = \int_{K_0 - DeltaK}^{K_0 + DeltaK} E_(0x) (K_(z))*e^(-j((K_(z)z - omega(K_(0))*t - (delomega)/(delK_z)|_(K_0) (K_z - K_0) t) - (1/2)(delomega^2)/(del^2K_z)|_(K_0) (K_z - K_0)^2 t) dk_z$


fin quì è corretto?

[K.Lomax]

Ho trovato un po' di tempo per scrivere qualcosina. Allora lo sviluppo intorno a $k_0$ di $\omega(k_z)$ è:

$\omega(k_z)=\omega(k_0)+(del\omega(k_z))/(delk_z)|_(k_0)(k_z-k_0)+1/2(del^2\omega(k_z))/(delk_z^2)|_(k_0)(k_z-k_0)^2$

Quindi, derivando rispetto a $k_z$, si ha:

$(del\omega(k_z))/(delk_z)=(del\omega(k_z))/(delk_z)|_(k_0)+(del^2\omega(k_z))/(delk_z^2)|_(k_0)(k_z-k_0)

Di conseguenza, per $k_z=k_0-\Deltak'$ e $k_z=k_0+\Deltak'$, si avrà:

$v_(g1)=(del\omega(k_0-\Deltak'))/(delk_z)=(del\omega(k_z))/(delk_z)|_(k_0)-(del^2\omega(k_z))/(delk_z^2)|_(k_0)\Deltak'=v_g-(del^2\omega(k_z))/(delk_z^2)|_(k_0)\Deltak'
$v_(g2)=(del\omega(k_0+\Deltak'))/(delk_z)=(del\omega(k_z))/(delk_z)|_(k_0)+(del^2\omega(k_z))/(delk_z^2)|_(k_0)\Deltak'=v_g+(del^2\omega(k_z))/(delk_z^2)|_(k_0)\Deltak'

e quindi

$\Deltav_g=v_(g2)-v_(g1)=2(del^2\omega(k_z))/(delk_z^2)|_(k_0)\Deltak'

Se non ho sbagliato qualche passaggio, il fattore che viene qui non dovrebbe essere nè $1$ nè $1/2$ ma $2$.

[Ahi1]

Poi dal risultato che hai corretto ed effettuando dei passaggi che già avevo scritto, si valuta l'allargamento del pacchetto ossia (sto correggendo uno dei post precedenti):

$DeltaL ~~ DeltaV_g t$

Dunque sostituendo in questa relazione la $DeltaV_g$ ricavata in precedenza si ha:

$DeltaL ~~ ((del^2\omega)/(delk_z^2))|k_(0) DeltaK' t$

ma per il principio di indeterminazione $L*DeltaK_0 ~~ 2pi$ da cui si ricava che $DeltaK_0 = (2pi)/(L(0))$

dove $L(0)$ è la lunghezza all'istante $t=0$ del pacchetto mentre $K_0$ è il centro del pacchetto.

in definitiva si ottiene:

$DeltaL ~~ (4pi)((del^2\omega)/(delk_z^2))|k_(0) (t/(L(0)))$

ora quando

$((del^2\omega)/(delk_z^2))|k_(0)> 0$ si ha che $DeltaL>0$ il pacchetto si allarga al trascorrere del tempo. In frequenza si ha una diminuzione della banda. (perdita di informazione)

$((del^2\omega)/(delk_z^2))|k_(0)< 0$ si ha che $DeltaL<0$ il è pacchetto tende a restringersi e si ha una dispersione anomala (rumore)

se $(del^2\omega)/(delk_z^2)|k_(0)= 0$ non si ha dispersione.

inoltre se ho capito l'allargamento del pacchetto è legato al concetto di dispersione. Inoltre per sparpagliamento e allargamento del pacchetto si intende la stessa cosa...

[Sk_Anonymous]

Forse si tratta solo di una incomprensione sulla notazione, ma non riesco a capire come mai il principio di indeterminazione si apllica a $Deltak_0$, non si dovrebbe applicare all'ampiezza del pacchetto in $k_z$? Per $k_0$ se ho capito bene si intende il centro del pacchetto d'onda in $k_z$ e quello che non riesco a capire è come varia nel tempo la posizione di questo centro su $k_z$, rimane costante?
A parità di variazione dell'ampiezza $Deltak$ e a parità di funzione $omega(k_z)$ la variazione di energia in un mezzo dispersivo associata al solo campo elettrico dipende anche da come varia (se varia) $k_0$?

[K.Lomax]

Il valore di $k_0$ è costante. Esso è la frequenza spaziale centrale del pacchetto d'onda. Cioè, supposta una certa banda spaziale $\Deltak$, $k_0$ è la frequenza centrale. In genere, l'energia associata ad un campo elettromagnetico dipende da $k$.

@Ahi

Il ragionamento mi sembra corretto. Solo una cosa: ad un certo punto sostituisci a $\Deltak'$, $\Deltak_0$. Non credo siano la stessa cosa...

[Sk_Anonymous]

Ho degli appunti di fisica, si tratta solo di appunti di ingegneria, i fenomeni non sono spiegati in maniera così approfondita.
Comunque ho trovato scritto che la velocità di gruppo del pacchetto d'onda è pari alla velocità della luce e che quindi in un mezzo dispersivo alcune componenti hanno velocità di fase maggiore rispetto alla velocità della luce e altre minore.
So inoltre che la velocità della luce nel vuoto è massima, quindi in altri mezzi è minore.
Cosa succede ad un pacchetto d'onda che si trova a passare dal vuoto ad un mezzo diverso? In cosa consiste il cambiamento di velocità, si ha una variazione di $k_0$ e o di $omega(k_z)$?
Vorrei sapere anche se anche per il pacchetto d'onda vale il fatto che la radiazione assorbita dai corpi segue un preciso spettro di assorbimento dipendente da come sono fatti e come questo influisce sulla differente velocità della luce in questi presente. Spero che sia una domanda sensata.

[K.Lomax]

Nel passare dal vuoto ad un mezzo dispersivo sicuramente cambierà la relazione che intercorre tra $\omega$ e $k_z$ e questo provocherà uno "sparpagliamento". Il fenomeno della dispersione è più direttamente intuibile se si fa riferimento all'ottica. Un'onda piana che incide, ad esempio, su di un prisma, nel passare dal vuoto all'interno del prisma si dividerà in tante componenti frequenziali. Questo è dovuto al fatto che che l'indice di rifrazione $n$, in un mezzo dispersivo, dipende in maniera non lineare dalla lunghezza d'onda (vedi Equazione di Sellmeier. E' facile vedere che è lo stesso discorso $\omega,k_z$) e quindi ognuna di queste componenti vedrà un mezzo differente, ovvero avrà un'angolo di rifrazione differente. E' classico il disegno della luce bianca che incide sul prisma e al suo interno si vedono tutte le componenti dell'iride .
A proposito di superamento della velocità della luce, sembrerebbe possibile che la velocità di gruppo, in alcune situazioni, possa essere superiore a quella della luce. In realtà, a causa di fenomeni distorsione e assorbimento essa rimane comunque inferiore.

[Ahi1]

La velocità della luce è un limite fisico per cui in generale:

$(v_g) <= c$

al massimo può essere uguale ma non superiore.

[alle.fabbri]

Ciao a tutti!!
Grazie per il thread. Data la mia carenza di studi sull'argomento pacchetti....me lo sto proprio godendo!!!

@K.Lomax
Siamo daccordo che $c$ sia un limite invalicabile. Però mi pare di ricordare, ma si parla di qualche anno fa quindi prendilo con le pinze, che a lezione il prof parlando proprio di questa apparente contraddizione ci disse che a essere limitata era la velocità con cui poteva essere trasmessa una "informazione". Nel caso di pacchetti con velocità di gruppo superiore a $c$ ci disse che non potevano essere usati per tale fine, cioè la trasmissione di informazione. I miei studi successivi mi hanno indotto a credere che il significato di questo discorso stia nella relazione di causalità che sussiste tra due punti dello spaziotempo e la propagazione del pacchetto, forse proprio in virtù dell'allargamento del pacchetto. Ti suona assurdo?