[Campi Elettromagnetici] Propagazione sovrapposizione onde

[Ahi1]

Ciao a tutti, in questo forum sto cercando di capire, in tutti i suoi punti, il pacchetto

d'onda (ovvero la sovrapposizione di più onde) e per fare ciò ho prima introdotto l'onda

piana (https://www.matematicamente.it/forum/inv ... 45079.html), poi

ho definito il pacchetto d'onda

(https://www.matematicamente.it/forum/sov ... =8ba67cfa9

0c888c2f8448d833cdfaf5d). Ora quello che voglio fare in questo nuovo post è discutere la

propagazione di un pacchetto d'onda a banda stretta.

Un pacchetto si definisce a banda frazionale stretta se:


$E_(0x)(K_z)$ = ${( E_(0x)(K_z) se K_z in [k_0 - DeltaK, K_0 + Deltak]) ,(0 se K_z notin [k_0 - DeltaK, K_0 + Deltak]):}$

inoltre per avere un pacchetto di questo tipo bisogna che $DeltaK$ sia molto piccolo

rispetto $K_0$:

$(DeltaK)/K_0<<1$

Poiché la banda è per ipotesi stretta è possibile fare delle semplificazioni.

L'integrale risulta limitato infatti:

$vec(E_x)(z, t) = \int_{K_0 - DeltaK}^{K_0 + DeltaK} E_(0x) (K_(z))*e^(-j(K_(z)z - omega(K_(z))t)) dk_z$

supponiamo $omega(K_(z)$ regolare, differenziabile e sviluppabile in serie di taylor quindi:

$omega(K_(z)) = omega(K_(0)) + (delomega)/(delK_z) |_(K_0)) (K_z - K_0) + (1/2)(delomega^2)/(del^2K_z)|_(K_0) + (K_z - K_0)^2 + 0$

sostituendo nell'integrale precedente e portando fuori ciò che non dipende da k si ottiene:

$vec(E_x)(z, t) = \int_{K_0 - DeltaK}^{K_0 + DeltaK} E_(0x) (K_(z))*e^(-j((K_(z)z - omega(K_(0))*t - (delomega)/(delK_z)|_(K_0) (K_z - K_0) t) - (1/2)(delomega^2)/(del^2K_z)|_(K_0) (K_z - K_0)^2 t) dk_z$


fin quì è corretto?

[K.Lomax]

Ok. Nell'ultimo termine della serie di taylor che hai posto a zero è più corretto scrivere $o((K_z-K_0)^2)$ dove con $o(x)$ indica la funzione "o" piccolo, ovvero termini di ordine superiore (nel tuo caso) al secondo.
Non ponendo il versore all'esterno dell'integrale ti ricordo che non è corretto considerare $\vecE(z,t)$ un vettore.

[Ahi1]

"K.Lomax":Ok. Nell'ultimo termine della serie di taylor che hai posto a zero è più corretto scrivere $o((K_z-K_0)^2)$ dove con $o(x)$ indica la funzione "o" piccolo, ovvero termini di ordine superiore (nel tuo caso) al secondo.
Non ponendo il versore all'esterno dell'integrale ti ricordo che non è corretto considerare $\vecE(z,t)$ un vettore.

E' quel maledetto copia incolla che mi frega con il vettore, perché l'integrale l'ho preso dal vecchio post, da quì portando fuori ciò che non dipende da $K_z$ si ha:

$(E_x)(z, t) = (e^(-jt((omega(K_(0)) + (delomega)/(delK_z)|_(K_0) K_0)))) *\int_{K_0 - DeltaK}^{K_0 + DeltaK} E_(0x) (K_(z))*e^(-j((K_(z)z - (delomega)/(delK_z)|_(K_0) (K_z) t) - (1/2)(delomega^2)/(del^2K_z)|_(K_0) (K_z - K_0)^2 t) dk_z$

dove ciò che si trova fuori se ho capito bene è un fasore a modulo unitario a variare del tempo, varia solo la fase.

ps: sei un professore di campi? Come fai a sapere tutte queste cose e a ricordatele?

[K.Lomax]

Mi sembra che qualche segno sia errato, ricontrollali con attenzione. Per il resto ok. Il fattore esterno è un esponenziale complesso quindi incide solo sulla fase.
Non sono un prof, sono laureato e dunque sono un'appassionato.

[Ahi1]

"K.Lomax":Mi sembra che qualche segno sia errato, ricontrollali con attenzione. Per il resto ok. Il fattore esterno è un esponenziale complesso quindi incide solo sulla fase.
Non sono un prof, sono laureato e dunque sono un'appassionato.

Sì, il segno errato è nell'esponenziale fuori l'integrale, infatti deve essere:

$(E_x)(z, t) = ((e^(-jt((- omega(K_(0)) + (delomega)/(delK_z)|_(K_0) K_0)))) *\int_{K_0 - DeltaK}^{K_0 + DeltaK} E_(0x) (K_(z))*e^(-j((K_(z)z - (delomega)/(delK_z)|_(K_0) (K_z) t) - (1/2)(delomega^2)/(del^2K_z)|_(K_0) (K_z - K_0)^2 t)) dk_z$

Gli altri segni dovrebbero essere corretti (uso il condizionale che non si sa mai )

Quello che mi manca è giungere alla velocità di gruppo, che poi altro non è l'obiettivo di questo post. Per fare ciò è necessaria una ulteriore approssimazione:

$(1/2)(delomega^2)/(del^2K_z)|_(K_0) (K_z - K_0)^2 t)$

Questo termine è responsabile dell'allargamento (o sparpagliamento è la stessa cosa vero?) del pacchetto, ma perché è responsabile questo termine da cosa lo si nota? Per poter trascurare questo fattore di fase non è sufficiente che tale oggetto sia piccolo, ma c'è bisogno che sia piccolo rispetto a $2pi$ quindi:

$(1/2)(delomega^2)/(del^2K_z)|_(K_0) (K_z - K_0)^2 t)$ << $2pi$

questo rappresenta il criterio di validità dell'espansione. E si interpreta dicendo che la relazione di dispersione è trascurabile nel tempo di evoluzione del pacchetto poiché t è minore di una certa quantità ovvero:

$t <= (2pi)/((1/2)*(delomega^2)/(del^2K_z)|_(K_0) Delta^2K_z))$

se è vera questa relazione il pacchetto non si disperde e quindi:

$e^(-j((1/2)(delomega^2)/(del^2K_z)|_(K_0) (Delta)^2K_z t)) ~= 1$

per cui l'integrale diviene:

$E_x (z, t) = ((e^(-jt((- omega(K_(0)) + (delomega)/(delK_z)|_(K_0) K_0)))) *\int_{K_0 - DeltaK}^{K_0 + DeltaK} E_(0x) (K_(z))*e^(-j((K_(z)z - (delomega)/(delK_z)|_(K_0) (K_z) t))) dk_z$

il termine fuori dall'integrale come già accenato in un post mio precedente è un puro termine di fase, non altera l'ampiezza del pacchetto ma ne modifica solo la fase e per $t=0$ l'inviluppo del pacchetto è

$(E_x)(z, t) = (\int_{K_0 - DeltaK}^{K_0 + DeltaK} E_(0x) (K_(z))*e^(-j((K_(z)z))) dk_z$

se confrontiamo quest'ultima relazione ottenuta con $E(r,t)$ si nota che il secondo termine dell'espansione del pacchetto altro non è che l'inviluppo iniziale valutato in:

$z'=z - (delomega)/(delK_z)|_(K_0) K_0 t$

cioè:

$E_x (z, t) = (e^(-jt((- omega(K_(0)) + (delomega)/(delK_z)|_(K_0) K_0)))) E_x (z - (delomega)/(delK_z)|_(K_0) K_0 t, 0)$

prima di giungere alla velocità di gruppo anche se ormai penso manca poco per ricavarla, non ho capito come si arriva a questa relazione, come ha tolto l'integrale?

Grazie.

[K.Lomax]

Il termine di secondo grado è un'ulteriore (ma non l'unico) termine che tiene conto della dispersione delle compomenti in frequenza. Non capisco perchè questo deve essere più piccolo di $2\pi$. Basta imporre che sia molto inferiore all'unità ( fase vicina a zero implica l'esponenziale complesso unitario). Nell'ultima espressione ha semplicemente scritto il campo generale come quello particolare calcolato per $t=0$ e in $z'$ a meno del fattore di fase iniziale.

[Ahi1]

"K.Lomax":Non capisco perchè questo deve essere più piccolo di $2\pi$. Basta imporre che sia molto inferiore all'unità ( fase vicina a zero implica l'esponenziale complesso unitario).

Io credo, provo ad interpretare quello che ha detto il prof a lezione pensando che comunque io ho una espressione del tipo:

$e^j(x+deltax)$

a prescindere dai segni e da altre cose non basta che sia $delta x$ piccolo rispetto a $x$ per poterlo trascurare ma è necessario che sia $delta x$<<$2pi$ forse considera tutto l'esponenziale...

[K.Lomax]

Alla fine credo che fintantoché deve essere $<<$ non faccia molta differenza. Eventualmente chiarisci meglio questo punto chiedendo al tuo prof.

[Ahi1]

Allora deve essere molto minore di $2*pi$ perché l'esponenziale è periodico di tale quantità. Quindi se voglio semplificare l'espressione del pacchetto è necessaria questa considerazione. Per concludere e giungere alla velocità di gruppo del pacchetto va detto che nel lasso di tempo in cui la relazione di dispersione è trascurabile il modulo del pacchetto trasla rigidamente, ovvero:

$|E_x (z,t)| ~~ |E_x (z - ((delomega)/(delK_z))|_(K_0),0)|=|E_x(z - v_g t,0)|$

con una velocità pari a:

$v_g = ((delomega)/(delK_z))|_(K_0)$

detta velocità di gruppo, ossia la velocità di traslazione del pacchetto d'onda.

priima che me ne dimentichi, questa velocità non può essere arbitraria, rappresenta la velocità dell'energia ed ha un limite fisico, ovvero non può superare la velocità della luce. Giusto? Ma perché la velocità di fase non ha un senso fisico?

[K.Lomax]

Avevo pensato che quel $2\pi$ fosse legato alla periodicità, ma poi ho anche pensato che se per $<$$<$ si intende un fattore $1/2$ o $1/3$ si commetterebbe un tragico errore, in quanto il fattore che andremmo a trascurare avrebbe introdotto uno sfasamento rispettivamente di $\pi$ o $2/3\pi$, certamente non trascurabile. Questa cosa non sarebbe accaduta se avessi utilizzato $1$ come fattore di confronto.
In realtà, proprio perchè con $<$$<$ si considera un fattore molto minore (una decina di volte), le due condizioni sono praticamente equivalenti. Tra l'altro precedentemente hai scritto $<=$ e questo sicuramente non può esserlo altrimenti si incorre nei problemi appena detti.
Ordiniamo un attimino:

$E_x(z,t)=e^(-j(-\omega(k_0)+(del\omega)/(delk_z)|_(k_0))t)E_x(z-(del\omega)/(delk_z)|_(k_0)t,0)$

(ti consiglierei di controllare i vari segni. Ho preso la tua espressione). Adesso supponi di poter trascurare il fattore di fase, ovvero di stare ad una velocità tale da poterlo considerare costante e dunque avrai:

$E_x(z,t)=E_x(z-(del\omega)/(delk_z)|_(k_0)t,0)=E_x(z-v_g$$t,0)$

avendo posto appunto $v_g=((del\omega)/(delk_z))|k_(0)$
Quindi in campo si sposta lungo $z$ con una velocità pari a quella di gruppo che dunque, essendo una velocità fisica, non può essere superiore a quella della luce. Per la lettura della velocità di fase ti consigliere di guarda l'antitrasformata del segnale. Così facendo vedresti che essa è la velocità con la quale si muovono gli zeri del campo stesso lungo $z$, ovvero solo la fase.

[Sk_Anonymous]

Scusate la nuova intromissione.
Mi sorge una domanda a questo punto, che forse va un po' fuori dall'argomento che viene trattato, forse perchè non vengono considerate solo onde piane.
Mi chiedo come vengano trattati a livello di pacchetto d'onda, fenomeni come rifrazione, riflessione e diffrazione.
In particolare che cosa implica che la velocità di gruppo rimanga costante, tenendo presente che (a quanto ho capito) questa è definita dalla funzione $omega(k_z)$ e dal particolare valore della componente $k_z$ nell'istante iniziale.

[K.Lomax]

Tralasciando il fenomeno della diffrazione che è un po' più complicato da considerare e per il quale non è possiblile restringere l'attenzione alle sole onde piane (onde sferiche, vedi principio di Huygens), i fenomeni di rifrazione e riflessione da una superficie di separazione tra due mezzi di solito si studiano considerando la velocità di gruppo pari a quella di fase ovvero $v_f=v_g=\omega/k_z$. In questo caso dunque non vi è dispersione.

[Ahi1]

Sono contento di aver scaturito un po' di interesse nell'argomento da parte di qualche utente. Comunque siamo quasi verso la fine sulla discussione del pacchetto d'onda, che a quanto dice il mio professore di campi è l'apice di difficoltà di questo esame, capito questo poi la strada è tutta in discesa...almeno in teoria, l'unico vero problema di questo esame che è molto vasto, ricco di dimostrazioni, teoremi ecc. e richiede almeno una sufficiente preparazione di base...che mi sto creando mano mano, maledetto ordinamento 3+2. Comunque chiusa questa parentesi il professore ha fatto notare una cosa, che però non ho capito a cosa serve...lui dice che la relazione che abbiamo ottenuto:

$|E_x (z,t)| = |E_x (z - v_g t, 0)|$

(domanda, tu hai tolto il modulo, perché? O comunque lo hai solo omesso ma lo consideri sempre?)

e ha detto che tale relazione di approssimazione/uguaglianza è tanto più vera quanto più la derivata è prossima a zero, e nel caso particolare in cui ciò avvenga si ha un caso particolare in cui non c'è dispersione:

$((delomega^2)/(delK^2))|_(K_0) = 0$ $=>$ (penso che stia integrando da qui in poi) $((delomega)/(delK))|_(K_0) = cost. = A$

ovvero la velocità di gruppo è costante, questo vale a dire che $K_z$ è lineare rispetto $K_z$ e vale $omega = Az_k + B$

ah beh ho capito mentre scrivevo, ciò significa che c'è un legame lineare tra $omega$ e $K_z$ se la velocità di gruppo è costante. E se c'è tale legame non c'è nemmeno dispersione. Giusto?

[K.Lomax]

Si è corretto e ripeti quanto ho accennato nel precedente post di risposta a nnsoxke. Nel caso in cui la velocità di gruppo risulti una costante si avrebbe $\omega=v_g*k_z$ e quindi questa coinciderebbe con la velocità di fase. Dunque non vi è dispersione.

[Sk_Anonymous]

"Ahi":ciò significa che c'è un legame lineare tra $omega$ e $K_z$ se la velocità di gruppo è costante. E se c'è tale legame non c'è nemmeno dispersione. Giusto?

Questa osservazione non mi sembra proprio corretta, a quanto ho capito, per come viene definita (a meno che la sua definizione non sia stata data a meno di un errore), la velocità di gruppo non dipende da $k_z$ ma dal particolare valore che questo assume al "centro" del pacchetto in banda stretta $k_0$.
Velocità di gruppo costante qundi non significa necessariamente che c'è un legame lineare tra $omega$ e $k_z$, significa che la velocità di gruppo è costante al variare di altri parametri, per esempio il tempo, la posizione, o $k_0$.

Proprio in relazione a questo Klomax avevo fatto la domanda precedente.
Mettiamo di avere un pacchetto d'onda con velocità di gruppo data, che subisce il fenomeno della rifrazione, dall'ottica so che l'angolo di rifrazione dipende dalla frequenza dell'onda.
Le diverse onde piane che compongono il pacchetto hanno differenti velocità di fase, considerate singolarmente, che sono diverse dalla velocità di gruppo prima della rifrazione, se la velocità di fase rimane inalterata, cioè se $omega$ e $k_z$ di ogni singola onda piana che compone il pacchetto rimangono costanti.

[K.Lomax]

C'è dispersione se la velocità di fase non è uguale a quella di gruppo. Se il legame tra $\omega$ e $k_z$ non fosse lineare la sua derivata (quindi la velocità di gruppo) non potrebbe mai essere costante (rispetto a $k$) e quindi vi sarebbe dispersione.

[Ahi1]

Sì avevo letto, solo che per avere più fiducia in quello che ho capito ho preferito postarlo, alla fine anche per chi viene a leggere questo post.
Ormai siamo giunti quasi verso la fine, infatti ciò che voglio postare oggi è sullo spread del pacchetto (ovvero il fenomeno di sparpagliamento del pacchetto).

Precedentemente quando ho effettuato lo sviluppo in serie di Taylor ho trascurato i termini superiori al primo grado. Ora Se la banda cresce non si possono trascurare i termini di $omega(K_z)$ con ordine superiore al primo ed inoltre il pacchetto, per tale motivo, andrà incontro a distorsioni. Nel caso in cui però le relazioni di dispersione siano lineari il pacchetto a banda comunque estesa non sarà distorto. Tuttavia compare il fenomeno di dispersione che allarga la banda del pacchetto e fa perdere informazioni. Quello che voglio studiare adesso è come questo fenomeno di dispersione di collega allargamento.
Per fare ciò suppongo di dividere il pacchetto in due sottopacchetti entrambi a banda stretta uno concentrato in $K_0 - DeltaK'$ e l'altro in $K_0 + DeltaK'$ per ognuno dei quali è possibile definire una velocità di gruppo:

$v_g = ((del\omega)/(delk_z))|k_(0) - DeltaK'$

$v_g = ((del\omega)/(delk_z))|k_(0) + DeltaK'$

queste relazione valgono se $DeltaK
in modo analogo a quanto fatto in precedenza possiamo sviluppare in serie di taylor:

$((del\omega(k))/(delk_z))=((del\omega)/(delk_z))|k_(0)+(1/2)((del^2\omega)/(delk_z^2))|k_(0) (k-k_0)$

ma questo sviluppo in serie è composto da due pezzi il primo pezzo che rappresenta la velocità iniziale $v_g$ del pacchetto ed un secondo pezzo che risulta essere una sorta di termine di correzione.
Dunque i due pacchetti hanno una $v_g$ vicina a quella iniziale ma spostata di una certa quantità, quindi cerchiamo di ricavare tale spostamento, nel seguente modo:


$((del\omega(k_0-DeltaK'))/(delk_z)) = ((del\omega)/(delk_z))|k_(0) - (1/2)((del^2\omega)/(delk_z^2))|k_(0) DeltaK'$ $=>$ $v_g1 = v_g - (1/2)((del^2\omega)/(delk_z^2))|k_(0) DeltaK'$

questo per il primo pacchetto, mentre per l'altro pacchetto:

$((del\omega(k_0+DeltaK'))/(delk_z)) = ((del\omega)/(delk_z))|k_(0)+(1/2)((del^2\omega)/(delk_z^2))|k_(0) DeltaK'$ $=>$ $v_g2 = v_g + (1/2)((del^2\omega)/(delk_z^2))|k_(0) DeltaK'$

effettuandone la differenza

$DeltaV_g = V_g2 - V_g1 = ((del^2\omega)/(delk_z^2))|k_(0) DeltaK' $

questo rappresenta l'errore della velocità di gruppo, se $Deltav_g$ fosse nullo non si avrebbe sparpagliamento o spread. Però mi fermo un attimo perché non mi trovo. Il professore si trova così


$DeltaV_g=V_g2 - V_g1 = (1/2)((del^2\omega)/(delk_z^2))|k_(0) DeltaK'$

dove perdo quel termine $(1/2)$???

[K.Lomax]

Non si capisce granchè

[Ahi1]

"K.Lomax":Non si capisce granchè

Ho provato a migliore ciò che ho scritto modificandolo. Si tratta in un certo senso dell'ultima parte relativa al pacchetto d'onda ossia, determinare quello che è il fenomeno di spread, lo sparpagliamento del pacchetto. Quindi si parte da un certo pacchetto e si suddivide tale pacchetto in due "sottopacchetti" che viaggiano con due velocità di gruppo differenti ovviamente...forse continuando la dimostrazione si capirà cosa voglio dimostrare. Nel post precedente sono giunto a dire che:

$DeltaV_g) = V_g2 - V_g1 = ((del^2\omega)/(delk_z^2))|k_(0) DeltaK' $

da tale relazione possiamo valutare l'allargamento del pacchetto ossia:

$DeltaL ~~ DeltaV_g t$

Dunque sostituendo in questa relazione la $DeltaV_g$ ricavata in precedenza si ha:

$DeltaL ~~ ((del^2\omega)/(delk_z^2))|k_(0) DeltaK' t$

ma per il principio di indeterminazione $L*DeltaK_0 ~~ 2pi$ da cui si ricava che $DeltaK_0 = (2pi)/(L(0))$

dove $L(0)$ è la lunghezza all'istante $t=0$ del pacchetto mentre $K_0$ è il centro del pacchetto.

in definitiva si ottiene:

$DeltaL ~~ (2pi)((del^2\omega)/(delk_z^2))|k_(0) (t/(L(0)))$

ora quando

$((del^2\omega)/(delk_z^2))|k_(0)> 0$ si ha che $DeltaL>0$ il pacchetto si allarga al trascorrere del tempo. In frequenza si ha una diminuzione della banda.

$((del^2\omega)/(delk_z^2))|k_(0)< 0$ si ha che $DeltaL<0$ il è pacchetto tende a restringersi e si ha una dispersione anomalea

se $(del^2\omega)/(delk_z^2)|k_(0)= 0$ non si ha dispersione.

così è più chiaro ciò che volevo dimostrare?

[K.Lomax]

Ciò che volevi dimostrare era chiaro, solo che quando l'ho letto non si capivano i simboli matematici. Ad ogni modo, per darti una risposta dovrei rifare i calcoli perchè ad occhio e croce c'è qualcosa che non mi torna. Ora non ho il tempo, proverò nel fine settimana.

[Sk_Anonymous]

Non ho ben capito quello che hai scritto, mi sono venuti dei dubbi.
Praticamente hai calcolato la differenza tra la velocità di gruppo delle due metà di pacchetto ed hai applicato il principio di indeterminazione.
Se dato un paccheto definito questo si allarga in $k_z$ mantenendo costante il suo centro $k_0$, si può dire che la velocità di gruppo del pacchetto rimane costante? Nel tempo, nella posizione?
Se la funzione $omega(k_z)$ rimane invariata, cioè se non dipende dal tempo o dalla posizione direi di si, visto che la derivata di questa funzione nello stesso punto $k_0$ è la stessa e che la velocità di gruppo, per come è definita, dipende da questa.
Quello che vorrei capire è se quello che vedo come grado di libertà in più, cioè lo spostamento di $k_0$, lo è effettivamente o mi sto sbagliando, c'è qualcosa che non considero.
Non so se magari questo va contro a principi di conservazione... lascio la parola a chi è più esperto.

Una domanda: in fisica si considerano solo pacchetti d'onda senza dispersione, o questa ha anche un significato fisico?