[Campi Elettromagnetici] Inviluppo complesso onda piana
Ciao a tutti,
giusto per capire se ho capito...
L'onda piana, dato il seguente inviluppo complesso:
$vec(E)(vec(r), t)=vec(E_0)*e^(jvec(k)vec(r))*e^(jomegat)$ (k è il vettore di propagazione)
è definita come:
$vec(e)(vec(r),t)=Re[vec(E)(vec(r), t)]$
giusto? E' corretta come definizione, ho capito bene?
Grazie...
giusto per capire se ho capito...
L'onda piana, dato il seguente inviluppo complesso:
$vec(E)(vec(r), t)=vec(E_0)*e^(jvec(k)vec(r))*e^(jomegat)$ (k è il vettore di propagazione)
è definita come:
$vec(e)(vec(r),t)=Re[vec(E)(vec(r), t)]$
giusto? E' corretta come definizione, ho capito bene?
Grazie...
Risposte
Si è così definita (soluzione dell'equazione delle onde) sebbene l'accezione "piana" sia legata alla propagazione. Infatti, per onda piana si intende un'onda il cui fronte è costituito da una superficie piana. In pratica, indicato con $\veck=\vec\beta-j\vec\alpha$, le superfici a $\vec\beta$ costante (quindi a fase costante) che descrive l'onda nel propagarsi nel senso positivo dell'asse di movimento, sono dei piani. Questa proprietà è legata alla sola variazione spaziale e non temporale del campo, ovvero al fattore $e^(j\veck*\vecr)$.
Grazie, ma da un punto di vista fisico cosa rappresenta l'inviluppo complesso di un onda piana? Non in formule
Fisicamente una quantità complessa non significa proprio nulla. La quantità che ha evidente significato fisico è
$\vece(\vecr,t)=Re{\vecE(\vecr,t)}=\vecE(\vecr)cos(\omegat-\veck*\vecr)$
supposto $\vecE(\vecr)$ reale.
$\vece(\vecr,t)=Re{\vecE(\vecr,t)}=\vecE(\vecr)cos(\omegat-\veck*\vecr)$
supposto $\vecE(\vecr)$ reale.
"K.Lomax":
Fisicamente una quantità complessa non significa proprio nulla. La quantità che ha evidente significato fisico è
$\vece(\vecr,t)=Re{\vecE(\vecr,t)}=\vecE(\vecr)cos(\omegat-\veck*\vecr)$
supposto $\vecE(\vecr)$ reale.
Quindi se mi si chiede cos'è l'inviluppo complesso o cosa rappresenta? Devo dire che è nient'altro che il fasore il cui modulo e fase sono funzioni del tempo^
Rappresenta (sotto le dovute ipotesi sul mezzo, che si fanno inizialmente per determinare l'equazione delle onde), il modo in cui varia il campo nel tempo e nello spazio.
Si scusa se ho aperto l'altro post, io studio e quando ho bisogno di una conferma posto su matematicamente, solo che ho letto
frettolosamente la tua risposta, e l'ansia fa brutti scherzi a volte. Grazie per la pazienza.
Avevo solo una ulteriore domanda relativa ai fronti d'onda o meglio come ricavare la velocità di fase da un fronte giusto per conferma se effettivamente quello che ho capito è quello che ho studiato.
Per fare questo devo considerare modulo e fase dell'inviluppo complesso, le quali rappresentano dei luoghi geometrici, ossia:
$|vec(E)(vec(r),t)|=|vec(E_0)|=cost.$ (il modulo è costante in tutti i punti dello spazio)
$arg[vec(E)(vec(r),t)]= cost.$
da quì è possibile definire i fronti d'onda, ovvero dei piani (come mi hai già spiegato), superfici a fase costante, dove la
fase dell'onda piana è definita come:
$\Phi = vec(k)*vec(r) - omega*t = cost.$
Per determinare le superficie equifase per l'inviluppo complesso $vec(E_0)*e^(jvec(k)vec(r))*e^(jωt)$ osserviamo che se due
punti $P$ e $P'$, individuati rispettivamente dai vettori posizione $vec(r)$ e $vec(r')$ appartengono a una superficie
equifase, deve essere:
$\Phi(P) = \Phi(P')$
cioè
$vec(K)*vec(r) = vec(k)*vec(r')$
portando tutto al primo membro e mettendo in evidenza $vec(k)$ si ha:
$vec(K)*[vec(r) - vec(r')] = 0$
Pertanto il vettore $\bar(PP') = vec(r) - vec(r')$ deve essere ortogonale a $vec(k)$, deve cioè giacere su un piano normale a $vec(k)$, come in figura:
http://img143.imageshack.us/img143/2397/immagineg.png
Fin quì è tutto corretto?
Non voglio appesantire questo post scrivendo anche i passaggi per la velocità di fase, lo farò domani o dopo eventuali correzioni, grazie per la pazienza
frettolosamente la tua risposta, e l'ansia fa brutti scherzi a volte. Grazie per la pazienza.
Avevo solo una ulteriore domanda relativa ai fronti d'onda o meglio come ricavare la velocità di fase da un fronte giusto per conferma se effettivamente quello che ho capito è quello che ho studiato.
Per fare questo devo considerare modulo e fase dell'inviluppo complesso, le quali rappresentano dei luoghi geometrici, ossia:
$|vec(E)(vec(r),t)|=|vec(E_0)|=cost.$ (il modulo è costante in tutti i punti dello spazio)
$arg[vec(E)(vec(r),t)]= cost.$
da quì è possibile definire i fronti d'onda, ovvero dei piani (come mi hai già spiegato), superfici a fase costante, dove la
fase dell'onda piana è definita come:
$\Phi = vec(k)*vec(r) - omega*t = cost.$
Per determinare le superficie equifase per l'inviluppo complesso $vec(E_0)*e^(jvec(k)vec(r))*e^(jωt)$ osserviamo che se due
punti $P$ e $P'$, individuati rispettivamente dai vettori posizione $vec(r)$ e $vec(r')$ appartengono a una superficie
equifase, deve essere:
$\Phi(P) = \Phi(P')$
cioè
$vec(K)*vec(r) = vec(k)*vec(r')$
portando tutto al primo membro e mettendo in evidenza $vec(k)$ si ha:
$vec(K)*[vec(r) - vec(r')] = 0$
Pertanto il vettore $\bar(PP') = vec(r) - vec(r')$ deve essere ortogonale a $vec(k)$, deve cioè giacere su un piano normale a $vec(k)$, come in figura:
http://img143.imageshack.us/img143/2397/immagineg.png
Fin quì è tutto corretto?
Non voglio appesantire questo post scrivendo anche i passaggi per la velocità di fase, lo farò domani o dopo eventuali correzioni, grazie per la pazienza
Il nostro inviluppo complesso è:
$\vecE(\vecr,t)=\vecE_0(\vecr)e^(j\veck*\vecr)e^(j\omegat)$
dove non stiamo analizzando la variazione temporale quindi escludiamo il fattore $e^(j\omegat)$ (sappiamo che l'andamento è sinusoidale, quindi ci interessiamo solo al modulo e la fase). Dici che il modulo deve essere costante in ogni punto del piano, ma non mi trovo. Infatti il fasore $\vecE_0(\vecr)$ dipende da $\vecr$ e quindi cambia in ogni punto sul piano (per maggiori informazioni, vedi polarizzazione). Controlla meglio sul libro.
Ora devi considerare la fase e questa si indica
$arg[\vecE(\vecr,t)]=cost$ (non so cosa tu voglia indicare con il modulo della fase)
Per il resto il ragionamento è corretto (a meno di qualche errore matematico che ti consiglio di correggere perchè in questo ambito bisogna essere molto precisi), ma non lo è il disegno. Infatti, fissata l'origine del sistema di riferimento, i due punti si trovano sullo stesso piano e $\veck$ effettivamente è ortogonale ad $\vecr-\vecr'$ ma non nel verso che hai indicato tu. Il vettore $\veck$ indica la direzione di propagazione dell'onda, quindi è ortogonale al piano e non è appartenente al piano stesso.
$\vecE(\vecr,t)=\vecE_0(\vecr)e^(j\veck*\vecr)e^(j\omegat)$
dove non stiamo analizzando la variazione temporale quindi escludiamo il fattore $e^(j\omegat)$ (sappiamo che l'andamento è sinusoidale, quindi ci interessiamo solo al modulo e la fase). Dici che il modulo deve essere costante in ogni punto del piano, ma non mi trovo. Infatti il fasore $\vecE_0(\vecr)$ dipende da $\vecr$ e quindi cambia in ogni punto sul piano (per maggiori informazioni, vedi polarizzazione). Controlla meglio sul libro.
Ora devi considerare la fase e questa si indica
$arg[\vecE(\vecr,t)]=cost$ (non so cosa tu voglia indicare con il modulo della fase)
Per il resto il ragionamento è corretto (a meno di qualche errore matematico che ti consiglio di correggere perchè in questo ambito bisogna essere molto precisi), ma non lo è il disegno. Infatti, fissata l'origine del sistema di riferimento, i due punti si trovano sullo stesso piano e $\veck$ effettivamente è ortogonale ad $\vecr-\vecr'$ ma non nel verso che hai indicato tu. Il vettore $\veck$ indica la direzione di propagazione dell'onda, quindi è ortogonale al piano e non è appartenente al piano stesso.
"K.Lomax":
Il nostro inviluppo complesso è:
$\vecE(\vecr,t)=\vecE_0(\vecr)e^(j\veck*\vecr)e^(j\omegat)$
dove non stiamo analizzando la variazione temporale quindi escludiamo il fattore $e^(j\omegat)$ (sappiamo che l'andamento è sinusoidale, quindi ci interessiamo solo al modulo e la fase). Dici che il modulo deve essere costante in ogni punto del piano, ma non mi trovo. Infatti il fasore $\vecE_0(\vecr)$ dipende da $\vecr$ e quindi cambia in ogni punto sul piano (per maggiori informazioni, vedi polarizzazione). Controlla meglio sul libro.
Non i tutti in punti del piano, il modulo è costante in tutti i punti dello spazio. Questa cosa effettivamente sul libro non la trovo però è una cosa che mi ritrovo detta dal professore a lezione e purtroppo non solo sui miei appunti ma anche da appunti di ragazzi che hanno seguito in passato.
"K.Lomax":
Ora devi considerare la fase e questa si indica
$arg[\vecE(\vecr,t)]=cost$ (non so cosa tu voglia indicare con il modulo della fase)
Ho esagerato con il copia incolla, ora correggo, così come quella t che ho inserito nell'inviluppo complesso nel primo esponenziale.
"K.Lomax":
Per il resto il ragionamento è corretto (a meno di qualche errore matematico che ti consiglio di correggere perchè in questo ambito bisogna essere molto precisi), ma non lo è il disegno. Infatti, fissata l'origine del sistema di riferimento, i due punti si trovano sullo stesso piano e $\veck$ effettivamente è ortogonale ad $\vecr-\vecr'$ ma non nel verso che hai indicato tu. Il vettore $\veck$ indica la direzione di propagazione dell'onda, quindi è ortogonale al piano e non è appartenente al piano stesso.
Il disegno per avere più senso dovrebbe essere così credo
http://img512.imageshack.us/img512/3193/immaginetfc.png
dove quello in rosso rappresenta il piano.
Tu su quale libri hai studiato queste cose? Io uso il Franceschetti e il Gerosa-Lampariello, però sembrano due libri adatti più a chi sa già le cose che non a dei studenti profani come me...alla fine sono costretto prima a studiarle da altre parti e poi a studiare su questi testi, molte volte danno un po' tutto per scontato, e il disegnino me lo sono fatto io da quello che ho capito.
Comunque Grazie sei molto gentile.
Si può supporre che il modulo del campo sia costante su tutto lo spazio, ma non lo deve essere per forza. Ad ogni modo per il seguito questo non è decisivo.
Il disegno ora è più "chiaro"
, mi sembra sia corretto. L'importante è che tu abbia capito come è diretto $\veck$ (normale al piano).
Il Franceschetti lo utilizzavo anche io, ma fondamentalmente studiavo su delle dispense del mio professore e sugli appunti. Il Gerosa-Lampariello lo conosco ma non l'ho mai utilizzato. Comunque trovi materiale anche su internet. Per altro chiedi pure
Il disegno ora è più "chiaro"
, mi sembra sia corretto. L'importante è che tu abbia capito come è diretto $\veck$ (normale al piano). Il Franceschetti lo utilizzavo anche io, ma fondamentalmente studiavo su delle dispense del mio professore e sugli appunti. Il Gerosa-Lampariello lo conosco ma non l'ho mai utilizzato. Comunque trovi materiale anche su internet. Per altro chiedi pure
Grazie. Spero un giorno potrò aiutare anche te in qualche modo. Di materiale di campi elettromagnetici ho 2.3 giga 
presi da internet più i libri comprati.
Chi è stato il tuo professore di Campi Elettromagnetici?
L'ultima cosa non ho scritto nel post di ieri per non appesantirlo è la velocità di fase. Quel piano del disegno comunque dipende da t,
per cui si muove con una certa velocità, tale velocità l'ottengo derivando rispetto al tempo
la relazione:
$vec(k)*vec(r) - omega*t = cost.$
$vec(k)$ non dipende da t (ma non si muove insieme al piano?), la derivata della costante è zero per cui, portando omega al secondo membro e cambiando di segno si ottiene:
$vec(k)*(delvec(r))/(delt) = omega$
ma $vec(k) = hat(k)*|vec(k)|$ e $(delvec(r))/(delt)=vec(v_f)*hat(k)$ rappresenta una velocità sostituendo:
$hat(k)*|vec(k)|*vec(v_f)*hat(k) = omega$
ma per il prodotto scalare $hat(k)*hat(k) = 1$ volendo potremmo anche riscrivere come:
$|vec(k)|*vec(v_f)*cos(theta) = omega$ con $cos(theta) = 1$
da cui quindi
$|vec(k)|*vec(v_f) = omega =>$ $vec(v_f) = omega/|vec(k)|$
Questa si definisce velocità di fase, e dovrebbere essere nient'altro chela velocità di avanzamento dei fronti d'onda nella direzione di $vec(k)$
Questi sono tutti passaggi fatti da me effettivamente non so se sono corretti o no...
presi da internet più i libri comprati. Chi è stato il tuo professore di Campi Elettromagnetici?
L'ultima cosa non ho scritto nel post di ieri per non appesantirlo è la velocità di fase. Quel piano del disegno comunque dipende da t,
per cui si muove con una certa velocità, tale velocità l'ottengo derivando rispetto al tempo
la relazione:
$vec(k)*vec(r) - omega*t = cost.$
$vec(k)$ non dipende da t (ma non si muove insieme al piano?), la derivata della costante è zero per cui, portando omega al secondo membro e cambiando di segno si ottiene:
$vec(k)*(delvec(r))/(delt) = omega$
ma $vec(k) = hat(k)*|vec(k)|$ e $(delvec(r))/(delt)=vec(v_f)*hat(k)$ rappresenta una velocità sostituendo:
$hat(k)*|vec(k)|*vec(v_f)*hat(k) = omega$
ma per il prodotto scalare $hat(k)*hat(k) = 1$ volendo potremmo anche riscrivere come:
$|vec(k)|*vec(v_f)*cos(theta) = omega$ con $cos(theta) = 1$
da cui quindi
$|vec(k)|*vec(v_f) = omega =>$ $vec(v_f) = omega/|vec(k)|$
Questa si definisce velocità di fase, e dovrebbere essere nient'altro chela velocità di avanzamento dei fronti d'onda nella direzione di $vec(k)$
Questi sono tutti passaggi fatti da me effettivamente non so se sono corretti o no...
Che stupido più semplicemente posso fare così:
"Ahi":
Quel piano del disegno comunque dipende da t,
per cui si muove con una certa velocità, tale velocità l'ottengo derivando rispetto al tempo
la relazione:
$vec(k)*vec(r) - omega*t = cost.$
$vec(k)$ non dipende da t (ma non si muove insieme al piano?), la derivata della costante è zero per cui, portando omega al secondo membro e cambiando di segno si ottiene:
$vec(k)*(delvec(r))/(delt) = omega$
ma $(delvec(r))/(delt) = vec(v_f)*hat(k)$ rappresenta una velocità sostituendo:
$vec(k)*vec(v_f)*hat(k) = omega$
ma il prodotto scalare tra vettori è commutativo per cui ricordando che $|vec(k)|=hat(k)*vet(k)$ si ottiene
$|vec(k)|*vec(v_f) = omega$ da cui si ricava facilmente la velocità di fase
Non ho il tempo di risponderti, ci proverò domattina.
"K.Lomax":
Non ho il tempo di risponderti, ci proverò domattina.
Ah scusami, io posto per tutti alla fine, o meglio posto le mie idee sbagliate o giuste che siano, non pretendo risposte immediate o in generale risposte, io non finirò mai di ringraziarti per tutte le risposte che mi hai fornito finora.
Il mio professore si chiama Claudio Gennarelli (Università di Salerno), lavora anche con l'Università di Napoli (prof. O.M.Bucci, G.Franceschetti ecc.).
Devi stare attento alla notazione che utilizzi. Infatti, il simbolo $*$ di solito lo si utilizza per indicare il prodotto scalare, ma vedo che lo utilizzi indifferentemente. Il vettore $\veck=|\veck|\hatk$ senza $*$ perchè non è un prodotto scalare. In sede d'esame un'errore del genere ti può costar caro.
Inoltre, $\veck$ non dipende da t in quanto esso è normale ai fronti d'onda e quindi, nel propagarsi, assume sempre lo stesso verso. Per il resto il ragionamento è corretto, ma ti rinnovo il consiglio di distinguere le operazioni di prodotto scalare da quelle di semplice prodotto (inoltre, ricorda che il prodotto tra due vettori, che non sia nè scalare nè vettoriale, non ha senso).
Devi stare attento alla notazione che utilizzi. Infatti, il simbolo $*$ di solito lo si utilizza per indicare il prodotto scalare, ma vedo che lo utilizzi indifferentemente. Il vettore $\veck=|\veck|\hatk$ senza $*$ perchè non è un prodotto scalare. In sede d'esame un'errore del genere ti può costar caro.
Inoltre, $\veck$ non dipende da t in quanto esso è normale ai fronti d'onda e quindi, nel propagarsi, assume sempre lo stesso verso. Per il resto il ragionamento è corretto, ma ti rinnovo il consiglio di distinguere le operazioni di prodotto scalare da quelle di semplice prodotto (inoltre, ricorda che il prodotto tra due vettori, che non sia nè scalare nè vettoriale, non ha senso).
Scusate se intervengo, non è proprio il mio campo la rappresentazione di onde, comunque come argomento mi sembra interessante e vorrei capire.
Intanto riguardo alla notazione utilizzata, non ho ben capito che cosa si intende con $vecr$. è il vettore posizione nello spazio, indipendente dal tempo? Perchè viene fatta la sua derivata rispetto al tempo e perchè la sua derivata è parallela a $veck$? $v_f$ è uno scalare giusto?
Anche con il vettore $veck$ non ho ben capito che cosa si intende, se qualcuno può spiegare...
Intanto riguardo alla notazione utilizzata, non ho ben capito che cosa si intende con $vecr$. è il vettore posizione nello spazio, indipendente dal tempo? Perchè viene fatta la sua derivata rispetto al tempo e perchè la sua derivata è parallela a $veck$? $v_f$ è uno scalare giusto?
Anche con il vettore $veck$ non ho ben capito che cosa si intende, se qualcuno può spiegare...
Con $\vecr$ si intende il vettore posizione ed è dipendente dal tempo. La derivata temporale del vettore posizione è una velocità (fisica I), quindi se ne fa la derivata per poter determinare la velocità di fase ovvero la velocità di avanzamento dei piani. I piani avanzano seguendo $\veck$ che è il vettore d'onda e dunque la velocità di fase avrà la stessa direzione di quest'ultimo ovvero $\vec(v_f)=(del\vecr)/(delt)=v_f$$\hatk$. Si $v_f$ è scalare.
Penso di aver capito.
Il vettore $vecr$ rappresenta nell'inviluppo complesso la posizione nello spazio, indipendentemente dal tempo, mentre nella relazione scritta per ricavare la velocità di fase questo rappresenta quei particolari valori di $vecr$, in funzione del tempo, tali per cui sia valida la relazione.
Il vettore $vecr$ rappresenta nell'inviluppo complesso la posizione nello spazio, indipendentemente dal tempo, mentre nella relazione scritta per ricavare la velocità di fase questo rappresenta quei particolari valori di $vecr$, in funzione del tempo, tali per cui sia valida la relazione.
ciao ragazzi!
scusate se mi aggancio alla discussione ma mi chiedevo se l'autore del post potesse fare un riassunto corretto di tutto quanto appreso/capito. sto studiando anche io campi e navigo nel buio con questo argomento...non è che potreste darmi una mano?
grazie
EDIT:come te sto studiando dal franceschetti (che xò su questi 3 argomenti riassume molto e da molto per scontato) e in + dal bucci (che al contrario è molto criptico su questo argomento...arrivo ad un punto in cui non capisco + nulla ). suppongo tu stia studiando anche da altri testi xkè alcune di queste formule da te riportate non le ho trovate su nessuno dei due.mi potresti dire a quali altri testi stai facendo riferimento?se magari anche su internet hai trovato degli appunti decenti su questi argomenti?
Grazie
scusate se mi aggancio alla discussione ma mi chiedevo se l'autore del post potesse fare un riassunto corretto di tutto quanto appreso/capito. sto studiando anche io campi e navigo nel buio con questo argomento...non è che potreste darmi una mano?
grazie
EDIT:come te sto studiando dal franceschetti (che xò su questi 3 argomenti riassume molto e da molto per scontato) e in + dal bucci (che al contrario è molto criptico su questo argomento...arrivo ad un punto in cui non capisco + nulla
). suppongo tu stia studiando anche da altri testi xkè alcune di queste formule da te riportate non le ho trovate su nessuno dei due.mi potresti dire a quali altri testi stai facendo riferimento?se magari anche su internet hai trovato degli appunti decenti su questi argomenti?Grazie
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