Campi elettromagnetici
Salute a tutti.
Volevo porvi qualche domanda sui sistemi radianti posti nello spazio libero.
1) Il calcolo del potenziale vettore magnetico ($bar A$), dal quale successivamente si ricava campo elettrico e magnetico, si può fare integrando la funzione di Green per la densità di corrente elettrica; l'integrale è esteso a tutto il volume delle sorgenti.
In formule:
$bar A = int_VGbarJdV$
Come G, si inserisce la funzione di Green per lo spazio libero.
$(e^(-jk|bar r- bar r'|))/(4pi|bar r- bar r'|)$
Tuttavia, essendo interessati al campo in zona lontana, possiamo introdurre in questo integrale la funzione asintotica di Green, ossia:
$(e^((-jkr))/(4pir))e^(jk hat r bar r')$
Dove $hat r$ è il versore di osservazione, e $bar r'$ è invece il vettore sorgente. Supponiamo di avere come sorgente un'antenna dipolare lineare sottile, disposta lungo l'asse x.
Dunque: $bar r'=x' hat x$
Ora devo calcolare $hat r bar r'$ . Dovrebbe venire (portando $hat x$ in coordinate sferiche) $x'sin(theta)sin(phi)$. Dunque, portando ad esponente si ottiene: $e^(jkx'sin(theta)sin(phi))$.
E' così oppure viene: $e^(jk|x'|sin(teta)sin(phi))$?
Chiedo questo, perchè quando vado poi svolgere effettivamente l'integrale, supponendo l'eccitazione del dipolo puramente sinuosoidale, ottengo dei risultati diversi da quelli che si dovrebbero avere. Se, ad esempio, il dipolo è lungo L e centrato nell'origine, devo fare un'integrale tra -L/2 e +L/2. Devo spezzare in due l'integrale, cambiando nell'integrale tra -L/2 e 0 il segno di x' ad esponenziale?
2) Nota $bar A$, occore calcolare il campo elettrico e quello magnetico.
Quello magnetico di ottiene per rotazione di $bar A$.
Per quello elettrico invece ho due formule:
a) $ bar E=-jwubarA-j/(we)grad(div bar A)$
b) $ bar E=1/(jwe)rot(rot(bar A))$
In questo secondo caso, tra l'altro, il rotore viene calcolato, sotituendo all'operatore rotore il termine $-jk hat rX$. Quindi il calcolo del rotore del rotore di $bar A$, si riduce a calcolare $-k^2 hat r X hat r X bar A$.
Quale delle due formule è vera in zona lontana?
L'approssimazione del rotore con $-jk hat r X$ vale, in zona lontana s'intende, in qualunque sistema di riferimento?
3) La resistenza di radiazione è la potenza radiata (ossia la parte reale dell'integrale superficiale esteso ad una superficie sferica, del vettore di Poynting) diviso $I^2$. E' pertanto sempre una grandezza reale?
Grazie
Saluti
Volevo porvi qualche domanda sui sistemi radianti posti nello spazio libero.
1) Il calcolo del potenziale vettore magnetico ($bar A$), dal quale successivamente si ricava campo elettrico e magnetico, si può fare integrando la funzione di Green per la densità di corrente elettrica; l'integrale è esteso a tutto il volume delle sorgenti.
In formule:
$bar A = int_VGbarJdV$
Come G, si inserisce la funzione di Green per lo spazio libero.
$(e^(-jk|bar r- bar r'|))/(4pi|bar r- bar r'|)$
Tuttavia, essendo interessati al campo in zona lontana, possiamo introdurre in questo integrale la funzione asintotica di Green, ossia:
$(e^((-jkr))/(4pir))e^(jk hat r bar r')$
Dove $hat r$ è il versore di osservazione, e $bar r'$ è invece il vettore sorgente. Supponiamo di avere come sorgente un'antenna dipolare lineare sottile, disposta lungo l'asse x.
Dunque: $bar r'=x' hat x$
Ora devo calcolare $hat r bar r'$ . Dovrebbe venire (portando $hat x$ in coordinate sferiche) $x'sin(theta)sin(phi)$. Dunque, portando ad esponente si ottiene: $e^(jkx'sin(theta)sin(phi))$.
E' così oppure viene: $e^(jk|x'|sin(teta)sin(phi))$?
Chiedo questo, perchè quando vado poi svolgere effettivamente l'integrale, supponendo l'eccitazione del dipolo puramente sinuosoidale, ottengo dei risultati diversi da quelli che si dovrebbero avere. Se, ad esempio, il dipolo è lungo L e centrato nell'origine, devo fare un'integrale tra -L/2 e +L/2. Devo spezzare in due l'integrale, cambiando nell'integrale tra -L/2 e 0 il segno di x' ad esponenziale?
2) Nota $bar A$, occore calcolare il campo elettrico e quello magnetico.
Quello magnetico di ottiene per rotazione di $bar A$.
Per quello elettrico invece ho due formule:
a) $ bar E=-jwubarA-j/(we)grad(div bar A)$
b) $ bar E=1/(jwe)rot(rot(bar A))$
In questo secondo caso, tra l'altro, il rotore viene calcolato, sotituendo all'operatore rotore il termine $-jk hat rX$. Quindi il calcolo del rotore del rotore di $bar A$, si riduce a calcolare $-k^2 hat r X hat r X bar A$.
Quale delle due formule è vera in zona lontana?
L'approssimazione del rotore con $-jk hat r X$ vale, in zona lontana s'intende, in qualunque sistema di riferimento?
3) La resistenza di radiazione è la potenza radiata (ossia la parte reale dell'integrale superficiale esteso ad una superficie sferica, del vettore di Poynting) diviso $I^2$. E' pertanto sempre una grandezza reale?
Grazie
Saluti
Risposte
Up.
Grazie
Saluti
Grazie
Saluti
2) così ad occhio (ma vado un pò a memoria, non ho libri con me di elettro-magneismo) entrambe le formule dovrebbero derivare dalle equazione di maxwell (supposta una determinata dipendenza temporale), no? quindi dovrebbero essere vere in tutto lo spazio entrambe... credo che poi l'approssimazione di campo lontano entri nel modo in cui semplifichi quel rotore... (mi pare di aver già visto quella semplificazione nel calcolo della radiazione di dipolo, ma credo funzionasse con il campo vettoriale di cui fare il rotore che aveva componenti solo radiali e che dipendevano solo da r, o qualcosa di simile, sbaglio?)...
ma cosa intendi con la domanda "se vale in qualunque sistema di riferimento" ???
ps: il miglior modo per vedere quando è lecito usare una formula, è riguardare come è stata ricavata!...
ma cosa intendi con la domanda "se vale in qualunque sistema di riferimento" ???
ps: il miglior modo per vedere quando è lecito usare una formula, è riguardare come è stata ricavata!...
Da qualche esempio che ho provato a svolgere, credo di essere giunto alla seguente conclusione: i risultati che si ottengono applicando la seconda formula (rotore del rotore) sono gli stessi che si ottengono applicando la prima formula, e trascurando tutti i termini proporzionali a $r^(-n)$, con $n>=2$ (ossia i termini che vanno rapidamente a zero in zona lontana), e mantenendo solo quelli con $n=1$.
Quindi la seconda formula è valida solo in far field zone, in cui suddetta semplificazione è lecita.
Per quanto riguarda la semplificazione del rotore, dovrebbe essere come hai osservato: in sostanza se si esprime nabla in coordinate sferiche, si nota che l'unico termine che non va semplificato in zona lontana è la derivata parziale rispetto r. Poichè la dipendenza da r del potenziale vettore è del tipo $e^(-jkr)/(4pir))$, la sua derivata, trascurando il termine in $1/(r^2)$, è $-jke^(-jkr))$.
Intendevo in qualunque sistema di coordinate utilizzato per esprimere il potenziale vettore magnetico; ma dovrebbe valere soltanto se utilizzo le coordinate sferiche, visto che la dimostrazione parte proprio dall'espressione di nabla in coordinate sferiche.
Grazie per la cortese risposta
Saluti
p.s. Per quanto riguarda la prima e la terza domanda, sai aiutarmi?
Quindi la seconda formula è valida solo in far field zone, in cui suddetta semplificazione è lecita.
Per quanto riguarda la semplificazione del rotore, dovrebbe essere come hai osservato: in sostanza se si esprime nabla in coordinate sferiche, si nota che l'unico termine che non va semplificato in zona lontana è la derivata parziale rispetto r. Poichè la dipendenza da r del potenziale vettore è del tipo $e^(-jkr)/(4pir))$, la sua derivata, trascurando il termine in $1/(r^2)$, è $-jke^(-jkr))$.
ma cosa intendi con la domanda "se vale in qualunque sistema di riferimento" ???
Intendevo in qualunque sistema di coordinate utilizzato per esprimere il potenziale vettore magnetico; ma dovrebbe valere soltanto se utilizzo le coordinate sferiche, visto che la dimostrazione parte proprio dall'espressione di nabla in coordinate sferiche.
Grazie per la cortese risposta
Saluti
p.s. Per quanto riguarda la prima e la terza domanda, sai aiutarmi?
Per chi può interessare, segnalo che riguardo la prima domanda il risultato giusto è il seguente:
$hat r bar r' = x'sin(theta)sin(phi)$; quindi portando ad esponente si ottiene:
$e^(jkx'sin(theta)sin(phi))$. Quindi è giusta questa, non quella il modulo.
Svolgendo i calcoli, sono riuscito a farmi tornare l'espressione del potenziale vettore per un dipolo sottile con alimentazione sinusoidale orientato lunga una generica direzione $hat t$.
Saluti
$hat r bar r' = x'sin(theta)sin(phi)$; quindi portando ad esponente si ottiene:
$e^(jkx'sin(theta)sin(phi))$. Quindi è giusta questa, non quella il modulo.
Svolgendo i calcoli, sono riuscito a farmi tornare l'espressione del potenziale vettore per un dipolo sottile con alimentazione sinusoidale orientato lunga una generica direzione $hat t$.
Saluti
sei sicuro del tuo risultato? La prima formula ha tanto l'aria di essere esatta ovunque...
io ricordo che E è collegato al potenziale scalare ed al potenziale vettore tramite due operatori (il primo è $-gradiente", questo lo ricordo, il secondo operatore può essere qualcosa come una derivata rispetto al tempo)... utilizzando la gauge di lorenz si sostituisce il potenziale scalare con qualcosa che dipende dalla divergenza del potenziale vettore... ed una formula analoga alla tua (credo uguale) si dovrebbe trovare, no?
io ricordo che E è collegato al potenziale scalare ed al potenziale vettore tramite due operatori (il primo è $-gradiente", questo lo ricordo, il secondo operatore può essere qualcosa come una derivata rispetto al tempo)... utilizzando la gauge di lorenz si sostituisce il potenziale scalare con qualcosa che dipende dalla divergenza del potenziale vettore... ed una formula analoga alla tua (credo uguale) si dovrebbe trovare, no?
Scusami, ma mi sono espresso male; la prima formula (quella con gradiente della divergenza) è vera ovunque, in zona vicina come in zona lontana. Ora ho editato il post precedente, correggendo l'errore.
Se dal risultato ottenuto dalla prima formula si eliminano i termini proporzionali a $r^-n$, con $n>=2$, si ottiene il risultato semplificato valido soltanto in zona lontana: questo risultato è lo stesso che si ottiene direttamente applicando la seconda formula (rotore del rotore).
Quindi la prima vale ovunque, la seconda soltanto in zona lontana.
Grazie per le risposte
Saluti
Se dal risultato ottenuto dalla prima formula si eliminano i termini proporzionali a $r^-n$, con $n>=2$, si ottiene il risultato semplificato valido soltanto in zona lontana: questo risultato è lo stesso che si ottiene direttamente applicando la seconda formula (rotore del rotore).
Quindi la prima vale ovunque, la seconda soltanto in zona lontana.
Grazie per le risposte
Saluti
mmm... ma a me anche la seconda pare esatta... non deriva direttamente dalla formula che lega la derivata rispetto al tempo di E al rotore di B??? (una volta sostituito a B il rotore di A e tirata fuori la dipendenza temporale...)
Guarda, il problema è che purtroppo non ho la dimostrazione della seconda formula.
Può anche essere come dici tu, nel qual caso il fatto che applicando quella formula ottengo risultati validi sola in zona lontana, risiede nell'approssimazione che ho fatto del rotore come $-jk hat r X$.
Se riesco a trovare la dimostrazione di quella formula ti faccio sapere.
Grazie dell'interessamento
Saluti
Può anche essere come dici tu, nel qual caso il fatto che applicando quella formula ottengo risultati validi sola in zona lontana, risiede nell'approssimazione che ho fatto del rotore come $-jk hat r X$.
Se riesco a trovare la dimostrazione di quella formula ti faccio sapere.
Grazie dell'interessamento
Saluti
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo