Campi elettromagnetici 2
Ciao! Abbiate un po' di pazienza che da parecchio tempo non scrivo nel forum e non mi apparo più con lo scrivere formule
comunque dopo aver fatto campi 1 e interazione (con mia immensa gioia) sono alle prese con campi 2. Sostanzialmente vorrei sapere se riscrivo bene le equazioni di maxwell nel dominio della frequenza; cominciamo dalla prima equazione di Maxwell ai rotori nel dominio del tempo (per le altre comunque si procede in modo analogo):
$vec(nabla)xvec(e)(vec(r),t)=-\partial/{\partial t}vec(b)(vec(r),t)$
per riscriverla mi servo della definizione di trasformata di fourier, per cui i vari campi possono essere riscritti così:
$e(vec(r),t)=(1/(2*pi))int_{-oo}^{+oo} vec(E)(vec(r),w)*e^(jomegat)domega$
$b(vec(r),t)=(1/(2*pi))int_{-oo}^{+oo} vec(B)(vec(r),w)*e^(jomegat)domega$
Ora mi basta sostituire i campi riscritti attraverso le trasformate di fourier nell'equazione vista precedentemente ottenendo così ($(1/(2*pi))$ si semplifica):
$vec(nabla) x int_{-oo}^{+oo} vec(E)(vec(r),w)*e^(jomegat)domega=-\partial/{\partial t}int_{-oo}^{+oo} vec(B)(vec(r),w)*e^(jomegat)domega$
da cui porto l'operatore $nabla$ all'intero dell'integrale (è lecita questa operazione?) e ottengo
$int_{-oo}^{+oo} vec(nabla) x vec(E)(vec(r),w)*e^(jomegat)domega=-\partial/{\partial t}int_{-oo}^{+oo} vec(B)(vec(r),w)*e^(jomegat)domega$
eseguendo la derivata al secondo membro si ha:
$int_{-oo}^{+oo} vec(nabla) x vec(E)(vec(r),w)*e^(jomegat)domega=-int_{-oo}^{+oo}jomegavec(B)(vec(r),w)*e^(jomegat)$
porto tutto al primo membro l'integrale $int_{-oo}^{+oo} jomegavec(B)(vec(r),w)*e^(jomegat)$:
$int_{-oo}^{+oo} vec(nabla) x vec(E)(vec(r),w)*e^(jomegat)domega+int_{-oo}^{+oo} jomegavec(B)(vec(r),w)*e^(jomegat)domega=0$
porto tutto sotto il segno di integrale e metto l'esponenziale in evidenza:
$int_{-oo}^{+oo} [vec(nabla) x vec(E)(vec(r),w)+jomegavec(B)(vec(r),w)]*e^(jomegat)domega=0$
questa è un identità che deve essere vera per ogni valore di $t$, ciò può essere vero se e solo se la parentesi è identicamente nulla, cioè se:
$vec(nabla) x vec(E)(vec(r),w)+jomegavec(B)(vec(r),w)=0$
e ciò porta a dire che deve essere:
$vec(nabla) x vec(E)(vec(r),w)=-jomegavec(B)(vec(r),w)$
che rappresenta proprio l'equazione di Maxwell nel dominio della frequenza.
Corretto o c'è qualche errore? I commenti inoltre vanno bene?
GRAZIE!

$vec(nabla)xvec(e)(vec(r),t)=-\partial/{\partial t}vec(b)(vec(r),t)$
per riscriverla mi servo della definizione di trasformata di fourier, per cui i vari campi possono essere riscritti così:
$e(vec(r),t)=(1/(2*pi))int_{-oo}^{+oo} vec(E)(vec(r),w)*e^(jomegat)domega$
$b(vec(r),t)=(1/(2*pi))int_{-oo}^{+oo} vec(B)(vec(r),w)*e^(jomegat)domega$
Ora mi basta sostituire i campi riscritti attraverso le trasformate di fourier nell'equazione vista precedentemente ottenendo così ($(1/(2*pi))$ si semplifica):
$vec(nabla) x int_{-oo}^{+oo} vec(E)(vec(r),w)*e^(jomegat)domega=-\partial/{\partial t}int_{-oo}^{+oo} vec(B)(vec(r),w)*e^(jomegat)domega$
da cui porto l'operatore $nabla$ all'intero dell'integrale (è lecita questa operazione?) e ottengo
$int_{-oo}^{+oo} vec(nabla) x vec(E)(vec(r),w)*e^(jomegat)domega=-\partial/{\partial t}int_{-oo}^{+oo} vec(B)(vec(r),w)*e^(jomegat)domega$
eseguendo la derivata al secondo membro si ha:
$int_{-oo}^{+oo} vec(nabla) x vec(E)(vec(r),w)*e^(jomegat)domega=-int_{-oo}^{+oo}jomegavec(B)(vec(r),w)*e^(jomegat)$
porto tutto al primo membro l'integrale $int_{-oo}^{+oo} jomegavec(B)(vec(r),w)*e^(jomegat)$:
$int_{-oo}^{+oo} vec(nabla) x vec(E)(vec(r),w)*e^(jomegat)domega+int_{-oo}^{+oo} jomegavec(B)(vec(r),w)*e^(jomegat)domega=0$
porto tutto sotto il segno di integrale e metto l'esponenziale in evidenza:
$int_{-oo}^{+oo} [vec(nabla) x vec(E)(vec(r),w)+jomegavec(B)(vec(r),w)]*e^(jomegat)domega=0$
questa è un identità che deve essere vera per ogni valore di $t$, ciò può essere vero se e solo se la parentesi è identicamente nulla, cioè se:
$vec(nabla) x vec(E)(vec(r),w)+jomegavec(B)(vec(r),w)=0$
e ciò porta a dire che deve essere:
$vec(nabla) x vec(E)(vec(r),w)=-jomegavec(B)(vec(r),w)$
che rappresenta proprio l'equazione di Maxwell nel dominio della frequenza.
Corretto o c'è qualche errore? I commenti inoltre vanno bene?
GRAZIE!

Risposte
"Ahi":
porto l'operatore $nabla$ all'intero dell'integrale (è lecita questa operazione?)
si è lecita perché il rotore agisce sulle componenti spaziali (x,y,z) ossia su $vecr$ mentre l'integrale è in $domega$
quasi tutto in ordine solo non mi convince questo commento
"Ahi":
$int_{-oo}^{+oo} [vec(nabla) x vec(E)(vec(r),w)+jomegavec(B)(vec(r),w)]*e^(jomegat)domega=0$
questa è un identità che deve essere vera per ogni valore di $t$, ciò può essere vero se e solo se la parentesi è identicamente nulla
Quale commento preferisci
:
Questa è un identità che deve essere vera per ogni valore di $t$, ma dovendo essere indipendente dalla stessa $t$, non può che essere nulla la parentesi.
Questa è un identità che deve essere vera per ogni valore di $t$ , ciò può essere vero solamente se la parentesi è identicamente nulla.

Questa è un identità che deve essere vera per ogni valore di $t$, ma dovendo essere indipendente dalla stessa $t$, non può che essere nulla la parentesi.
Questa è un identità che deve essere vera per ogni valore di $t$ , ciò può essere vero solamente se la parentesi è identicamente nulla.
Però pensandoci abbiamo detto che
$int_{-oo}^{+oo} [vec(nabla) x vec(E)(vec(r),w)+jomegavec(B)(vec(r),w)]*e^(jomegat)domega=0$
ma
$vec(nabla) x vec(E)(vec(r),w)+jomegavec(B)(vec(r),w)=0$
deriva dall'invertibilità della trasformata di fourier infatti:
$F(t)=int_{-oo}^{+oo} F(omega)e^(jomegat)domega$ e $F(omega)=int_{-oo}^{+oo} F(t)e^(-jomegat)dt$.
Se $F(t)=int_{-oo}^{+oo} F(omega)e^(jomegat)domega=0$ allora anche $F(omega)=int_{-oo}^{+oo} F(t)e^(-jomegat)dt=0$;
di conseguenza se $F(t)=0$ anche $F(omega)=0$
$int_{-oo}^{+oo} [vec(nabla) x vec(E)(vec(r),w)+jomegavec(B)(vec(r),w)]*e^(jomegat)domega=0$
ma
$vec(nabla) x vec(E)(vec(r),w)+jomegavec(B)(vec(r),w)=0$
deriva dall'invertibilità della trasformata di fourier infatti:
$F(t)=int_{-oo}^{+oo} F(omega)e^(jomegat)domega$ e $F(omega)=int_{-oo}^{+oo} F(t)e^(-jomegat)dt$.
Se $F(t)=int_{-oo}^{+oo} F(omega)e^(jomegat)domega=0$ allora anche $F(omega)=int_{-oo}^{+oo} F(t)e^(-jomegat)dt=0$;
di conseguenza se $F(t)=0$ anche $F(omega)=0$
"Ahi":
Però pensandoci abbiamo detto che
$int_{-oo}^{+oo} [vec(nabla) x vec(E)(vec(r),w)+jomegavec(B)(vec(r),w)]*e^(jomegat)domega=0$
ma
$vec(nabla) x vec(E)(vec(r),w)+jomegavec(B)(vec(r),w)=0$
deriva dall'invertibilità della trasformata di fourier infatti:
$F(t)=int_{-oo}^{+oo} F(omega)e^(jomegat)domega$ e $F(omega)=int_{-oo}^{+oo} F(t)e^(-jomegat)dt$.
Se $F(t)=int_{-oo}^{+oo} F(omega)e^(jomegat)domega=0$ allora anche $F(omega)=int_{-oo}^{+oo} F(t)e^(-jomegat)dt=0$;
di conseguenza se $F(t)=0$ anche $F(omega)=0$
OK!
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