Campi conservativi
Un corpo puntiforme di massa m=1kg si muove su traiettoria rettilinea lungo l'asse x
per effetto di una forza conservativa di energia potenziale U(x) data dalla relazione
$U(x)=A/x^2-B/x$ con $A = 10 J m^2$ e $ B=5 J m$
Graficare la funzione U(x) per x>0 e, sapendo che il massimo valore che assume
la velocità del corpo è vmax= 3 m/s, calcolare l'energia meccanica E del corpo e
la forza sul corpo quando la velocità è massima.
(risp 3,87J)
Per risolvere questo esercizio ho disegnato i grafici della U(x) e della F(x) cioè
il grafico della forza in funzione dello spazio percorso.
Ho calcolato ,nel punto in cui la forza è nulla, l'energia potenziale e quella cinetica
essendo $F=0 => a=0 => v= cost$ la velocita massima
del punto materiale come condizione. Applicando la legge E=T+U ho trovato
l'energia meccanica.
Vorrei sapere se qualcuno ha qualche idea su come impostare la risoluzione del
problema in maniera differente magari trovando una dipendenza della v(x) in funzione
della U(x) anche perchè non conosco le tecniche di calcolo integrale su
intervalli illimitati superiormente/inferiormente.
Grazie
per effetto di una forza conservativa di energia potenziale U(x) data dalla relazione
$U(x)=A/x^2-B/x$ con $A = 10 J m^2$ e $ B=5 J m$
Graficare la funzione U(x) per x>0 e, sapendo che il massimo valore che assume
la velocità del corpo è vmax= 3 m/s, calcolare l'energia meccanica E del corpo e
la forza sul corpo quando la velocità è massima.
(risp 3,87J)
Per risolvere questo esercizio ho disegnato i grafici della U(x) e della F(x) cioè
il grafico della forza in funzione dello spazio percorso.
Ho calcolato ,nel punto in cui la forza è nulla, l'energia potenziale e quella cinetica
essendo $F=0 => a=0 => v= cost$ la velocita massima
del punto materiale come condizione. Applicando la legge E=T+U ho trovato
l'energia meccanica.
Vorrei sapere se qualcuno ha qualche idea su come impostare la risoluzione del
problema in maniera differente magari trovando una dipendenza della v(x) in funzione
della U(x) anche perchè non conosco le tecniche di calcolo integrale su
intervalli illimitati superiormente/inferiormente.
Grazie
Risposte
Si puo' sempre ragionare in generale partendo dall'equazione:
$1/2mv^2(x)+U(x)=E$
Nel nostro caso si ha:
(1) $1/2v^2(x)+10/(x^2)-5/x=E$
da cui si ricava :
(2) $v(x)=sqrt(2E-20/(x^2)+10/x)$
Per avere la velocita' massima bastera' derivare il radicando ed annullare tale derivata:
$40/x^3-10/x^2=0$ da cui si ricava $x=4$
In conclusione la velocita' massima di 3m/sec si ottiene per x=4m.
Sostituendo tali valori nella (1) si ha:
$E=1/2*9+10/16-5/4=(31)/8=3.875j$
Sostituendo poi questo valore di E nella (2) si ottiene v(x) in funzione del generico percorso x:
$v(x)=sqrt(31/4-(20)/(x^2)+(10)/x$
karl
$1/2mv^2(x)+U(x)=E$
Nel nostro caso si ha:
(1) $1/2v^2(x)+10/(x^2)-5/x=E$
da cui si ricava :
(2) $v(x)=sqrt(2E-20/(x^2)+10/x)$
Per avere la velocita' massima bastera' derivare il radicando ed annullare tale derivata:
$40/x^3-10/x^2=0$ da cui si ricava $x=4$
In conclusione la velocita' massima di 3m/sec si ottiene per x=4m.
Sostituendo tali valori nella (1) si ha:
$E=1/2*9+10/16-5/4=(31)/8=3.875j$
Sostituendo poi questo valore di E nella (2) si ottiene v(x) in funzione del generico percorso x:
$v(x)=sqrt(31/4-(20)/(x^2)+(10)/x$
karl
Oppure ancora più semplicemente (e non molto diversamente da Karl), basta trovare il minimo di $U(x)$ e sommarlo all'energia cinetica corrispondente alla velocità massima.
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