Campi a simmetria sferica

[spina3003]

Ciao a tutti, stavo cercando di risolvere questo problema a simmetria sferica:

In un sistema di coordinate sferiche, e dato il seguente campo elettrico: per $r < r_0$, $\vecE = kr^2/(4epsilon_0)\vecr $, per $r > r_0$, E =0. Siano $r_0 = 1.98×10^(−3) m$, e $k = k_0 = 1.54 C/m^4$. Determinare la carica elettrica presente sulla superficie sferica individuata dalla relazione $r = r_0$.

Pensavo di risolverlo applicando Gauss in $r_0$, considerando che la carica $Q$ che genera il flusso di $\vecE = kr^2/(4epsilon_0)\vecr $ è quella interna alla sfera (esclusa la superficie), e calcolando la carica presente sulla superficie come l'opposto di $Q$. Il problema mi torna numericamente, però penso che il campo elettrico in $r_0$ non dovrebbe essere definito visto che c'è la carica superficiale, e quindi formalmente è un errore calcolare il flusso in $r_0$. Qualcuno potrebbe spiegarmi quale sia il modo corretto per impostare il problema? Grazie :))

[ingres]

Formalmente puoi applicare il T. di Gauss alla porzione di spazio compresa tra 2 superfici sferiche concentriche di raggio $r_0-delta$ e $r_0+delta$ rispettivamente, e dove $delta$ è un infinitesimo ovvero un valore piccolo a piacere.

[spina3003]

Grazie, in effetti ho pensato di applicare il teorema di Gauss in modo analogo a quanto si fa per calcolare il campo elettrico dato da un piano infinito (facendo passare un "cilindretto" attraverso il piano e calcolando flusso). A questo proposito, non riesco a capire bene come funziona la discontinuità attraverso la superficie considerata (piano/superficie sferica): per trovare la carica superficiale tramite Gauss, si considera che il flusso complessivo è uguale alla differenza tra flusso del campo "esterno" e flusso di quello "interno". Allo stesso tempo, quando si calcola tramite Gauss il campo elettrico generato da un piano infinito, si fa la somma dei flussi attraverso le basi del "cilindretto" usato come superficie di Gauss, non la differenza. Perché in un caso si somma e nell'altro si sottrae?

[ingres]

Il segno del flusso è definito dal prodotto scalare tra la direzione del campo e il versore normale alla superficie chiusa, versore che è diretto verso l'esterno della superficie stessa.
Quindi nel ns. caso il versore normale alla superficie è diretto radialmente verso il centro della sfera per la superficie interna di raggio $r_0-delta$ ed è diretto radialmente verso l'esterno per la superficie esterna di raggio $r_0+delta$. Se il campo è diretto radialmente verso l'esterno, il flusso interno risulterà negativo perchè campo e versore hanno versi opposti, quello esterno sarà positivo perchè hanno lo stesso verso. Quindi i due flussi si sottrarranno.

Nel caso del piano conduttore, che supponiamo per semplicità carico positivamente, il campo sarà perpendicolare al piano e uscente dallo stesso, e questo in entrambi i semispazi in cui il piano divide lo spazio. Il cilindro che viene usato come superficie gaussiana avrà quindi i versori normali alle basi nella stessa direzione del campo e questo avverrà per entrambe le basi. Quindi i due flussi si sommeranno.

[spina3003]

Grazie mille ingres. Quando invece si calcola la discontinuità attraverso un piano, che ragionamento si fa? Perché si sottraggono i flussi quando sono direzionati lungo il versore normale della faccia che attraversano? Ho visto diverse volte questo calcolo con la sottrazione invece della somma (per esempio qui, a pag. 11
https://web.mit.edu/8.02t/www/802TEAL3D/visualizations/coursenotes/modules/guide04.pdf

e non riesco a capacitarmi :/

[ingres]

Consideriamo sempre il caso di una superficie generica (anche non piana) con una distribuzione superficiale di carica, e in particolare un elemento dS di tale superficie alla quale applichiamo un ragionamento simile a quello del piano carico (supporremo per semplicità di essere nel vuoto o in aria per cui nei due mezzi separati dalla superficie risulta $epsilon_1=epsilon_2=epsilon_0$) . Per il T. Gauss si avrà (semplificando in entrambi i membri la superficie dS):

$vec n_1*vec E_1+vec n_2*vec E_2 = sigma/epsilon_0$

Ma poichè per il ns. elemento dS si ha $vec n_2 = - vec n_1$ potremo anche scrivere

$vec n_1*(vec E_1-vec E_2) = sigma/epsilon_0$

Se poi $vec n_1$ e $vec E_1$ sono allineati e nello stesso verso risulterà ancora.

$Delta E = E_1 - E_2 = sigma/epsilon_0$

Quindi la spiegazione in questo caso è banalmente quella di aver riferito il secondo versore al primo.

[spina3003]

Grazie mille ancora ingres, ora mi è più chiaro. Ho però un dubbio: quando calcolo il campo elettrico di un piano infinito, trovo $2E=sigma/(epsilon_0$, se invece cerco la discontinuità su un piano o una qualsiasi superficie trovo $E_ext-E_int=sigma/epsilon$. Questo è dovuto al fatto che per il piano considero il campo generato dalla carica che si trova sul piano, campo che è uscente dalle due facce del cilindretto (quindi per ogni faccia ho campo concorde con il versore normale alla faccia) mentre quando voglio calcolare la discontinuità tra due campi elettrici, considero il campo esterno come uscente dal cilindretto e quello interno come entrante (discorde col versore normale alla faccia) nel cilindretto. In pratica per calcolare la discontinuità si considera che i due campi abbiano sempre verso concorde. Questo dipende da una questione fisica? Cioè accade sempre che se nel mezzo tra due campi c’è discontinuità, questi due campi hanno verso concorde?
Scusami per la domanda prolissa…

[ingres]

"spina3003":Questo è dovuto al fatto che per il piano considero il campo generato dalla carica che si trova sul piano, campo che è uscente dalle due facce del cilindretto (quindi per ogni faccia ho campo concorde con il versore normale alla faccia) mentre quando voglio calcolare la discontinuità tra due campi elettrici, considero il campo esterno come uscente dal cilindretto e quello interno come entrante (discorde col versore normale alla faccia) nel cilindretto.

Nel caso del piano conduttore carico positivamente, scelto l'asse x perpendicolare al piano e con l'origine sul piano, risulta.

per x>0
$vec E_1=sigma/(2*epsilon_0) vec i$
$vec n_1 = vec i$

per x<0
$vec E_2=-sigma/(2*epsilon_0) vec i$
$vec n_2=-vec i$

A questo punto usando direttamente il T. di Gauss si ha:
$vec n_1 * vec E_1 + vec n_2 * vec E_2 = sigma/epsilon_0$

Usando la formula della discontinuità (con $vec n_2=-vec n_1$), ricavata dal T. di Gauss, si ha:
$vec n_1 * (vec E_1-vec E_2) = E_1 - E_2 =sigma/epsilon_0$

Quindi non c'è una differenza di fondo tra il calcolo della carica e della discontinuità. Il campo va considerato in ogni caso con il suo giusto verso.

"spina3003":Questo dipende da una questione fisica? Cioè accade sempre che se nel mezzo tra due campi c’è discontinuità, questi due campi hanno verso concorde?

Le relazioni che legano i campi su una superfice di separazione tra 2 mezzi (supposti isotropi e lineari) sono:
1) componenti tangenti alla superficie $E_(1t) - E_(2t) = 0$
2) componenti normali alla superficie $epsilon_1*E_(1n) - epsilon_2*E_(2n) = sigma$

La prima relazione deriva dal fatto che la circuitazione di $vec E$ lungo una linea chiusa deve essere nulla per cui basta prendere un percorso molto prossimo alla superficie e molto lungo per dimostrarla.
La seconda deriva dal T. di Gauss ed è in pratica un'estensione della relazione vista prima a mezzi diversi rispetto al vuoto. In conclusione non è detto che i versi e le direzioni siano concordi, ma vanno applicate di volta in volta le relazioni di cui sopra.
Peraltro ti faccio notare che nel caso del piano carico i due campi hanno verso opposto.

[spina3003]

ingres ti ringrazio moltissimo. la questione dipende quindi dai versori che scelgo di usare come riferimento, ora mi è chiaro. grazie mille :)