Cambiare le coordinate
Ciao, è un fardello che mi porto da un sacco di tempo e che proprio non riesco a risolvere. Mi potete insegnare qualche trucchetto o consigliare un lettura per diventare spedito nel cambiamento di coordinate ?
Ad esempio:
nel caso di moto circolare uniforme a velocità è data da
$$ \vec v = v_t \vec u_t + v_r \vec u_r $$
con le note formule per $v_t$ e $v_r$ ecc... ecc...
Un altro modo per scrivere la velocità è
$$ \vec v = v_x \vec u_x + v_y \vec u_y $$
$v_x$ e $v_y$ sono generalmente calcolate derivando la legge oraria
\begin{cases}
x(t) = Rcos(\theta(t)) \\ y(t) = Rsin(\theta(t))
\end{cases}
tuttavia in questo caso $v_x$ e $v_y$ sono funzioni di $R$ e $theta$. Come faccio a ottenere $v_x$ e $v_y$ in funzione di $x$ e $y$? MI ci sto scervellando, ma non riesco a esprimere la derivata $\frac {d\theta}{dt}$ in funzione di $x$ e $y$...
Grazie in anticipo.
Ad esempio:
nel caso di moto circolare uniforme a velocità è data da
$$ \vec v = v_t \vec u_t + v_r \vec u_r $$
con le note formule per $v_t$ e $v_r$ ecc... ecc...
Un altro modo per scrivere la velocità è
$$ \vec v = v_x \vec u_x + v_y \vec u_y $$
$v_x$ e $v_y$ sono generalmente calcolate derivando la legge oraria
\begin{cases}
x(t) = Rcos(\theta(t)) \\ y(t) = Rsin(\theta(t))
\end{cases}
tuttavia in questo caso $v_x$ e $v_y$ sono funzioni di $R$ e $theta$. Come faccio a ottenere $v_x$ e $v_y$ in funzione di $x$ e $y$? MI ci sto scervellando, ma non riesco a esprimere la derivata $\frac {d\theta}{dt}$ in funzione di $x$ e $y$...
Grazie in anticipo.
Risposte
$\frac {d\theta}{dt} = omega$. E se $x(t) = Rcos(\theta(t)) = Rcos(omegat) -> (dx)/(dt) = -omegaRsin(omegat)$
Questo lo so... Scusa ho riletto il post e non mi sono spiegato affatto bene. Io voglio trovare il campo di moto...
una coppia di equazione del tipo:
$v_x = f(x, y)$ e $v_y = g(x, y)$ in modo che quando metto una un punto (x, y) allora ottengo la velocità in quel punto.
Immagina un disco che sta girando attorno al proprio asse in moto circolare uniforme. Invece di seguire il movimento di tutti i punti del disco, trovo il campo di moto e così so quanto vale la velocità in un punto del disco.
PS: era l'una e mezzo di notte... ero fuso
Non c'entra nulla il post precedente con quello che sto chiedendo (che è il passaggio da descrizione Lagrangiana a Euleriana). Se qualche moderatore volesse cancellare il post, ne riapro uno più consono.
una coppia di equazione del tipo:
$v_x = f(x, y)$ e $v_y = g(x, y)$ in modo che quando metto una un punto (x, y) allora ottengo la velocità in quel punto.
Immagina un disco che sta girando attorno al proprio asse in moto circolare uniforme. Invece di seguire il movimento di tutti i punti del disco, trovo il campo di moto e così so quanto vale la velocità in un punto del disco.
PS: era l'una e mezzo di notte... ero fuso
Non c'entra nulla il post precedente con quello che sto chiedendo (che è il passaggio da descrizione Lagrangiana a Euleriana). Se qualche moderatore volesse cancellare il post, ne riapro uno più consono.
@dRic
dalla lettura del tuo primo post avevo capito che ti interessava sapere come passare , in modo generale, dalle componenti polari della velocità alle componenti cartesiane, o viceversa. Allora ho scritto questi passaggi su un foglio [nota]come sai, mi secca scrivere molte formule al computer[/nota] , che valgono in generale. Mi sono preso qualche libertà con i differenziali , ad esempio dividendo [nota]cosa che farà rizzare i capelli a tutti matematici, ma "noi" ce lo permettiamo ![/nota] per $(dt)$. Per la precisione, avrei dovuto scrivere :
$x=x(r(t),theta(t))$
e derivare direttamente rispetto al tempo , con la regola di derivazione delle funzioni composte, onde ottenere $(dx)/(dt) $ . Analogamente per $y= y (r(t),theta(t))$ .
L'uguaglianza finale tra matrici si può invertire, ammesso che la matrice della trasformazione sia non singolare (almeno nel punto in considerazione), per ricavare $(v_r,v_\theta)^T $ , note le componenti cartesiane.
LA cosa interessante da dire è che questa procedura si può generalizzare, pensando ad esempio ad uno spazio vettoriale $S$ di dimensione $n$ , i cui elementi sono vettori $V$ di componenti $ (v^1,v^2,....,v^n)$ in una certa base $(e_1,e_2,....e_n)$ di $S$ , e si vuol vedere come cambiano le componenti di $V$ se cambiamo la base , assumendo come base nuova $e_(1') , e_(2'),....e_(n')$ . Ma questo si vede in geometria e algebra lineare. E ti dirò: porta al concetto di tensore, dato attraverso le sue componenti e le trasformazioni di queste per cambiamento di coordinate (approccio non condiviso da quasi tutti i matematici) . Ma non insisto .
Non so se questo può esserti utile.
dalla lettura del tuo primo post avevo capito che ti interessava sapere come passare , in modo generale, dalle componenti polari della velocità alle componenti cartesiane, o viceversa. Allora ho scritto questi passaggi su un foglio [nota]come sai, mi secca scrivere molte formule al computer[/nota] , che valgono in generale. Mi sono preso qualche libertà con i differenziali , ad esempio dividendo [nota]cosa che farà rizzare i capelli a tutti matematici, ma "noi" ce lo permettiamo !
[/nota] per $(dt)$. Per la precisione, avrei dovuto scrivere :$x=x(r(t),theta(t))$
e derivare direttamente rispetto al tempo , con la regola di derivazione delle funzioni composte, onde ottenere $(dx)/(dt) $ . Analogamente per $y= y (r(t),theta(t))$ .
L'uguaglianza finale tra matrici si può invertire, ammesso che la matrice della trasformazione sia non singolare (almeno nel punto in considerazione), per ricavare $(v_r,v_\theta)^T $ , note le componenti cartesiane.
LA cosa interessante da dire è che questa procedura si può generalizzare, pensando ad esempio ad uno spazio vettoriale $S$ di dimensione $n$ , i cui elementi sono vettori $V$ di componenti $ (v^1,v^2,....,v^n)$ in una certa base $(e_1,e_2,....e_n)$ di $S$ , e si vuol vedere come cambiano le componenti di $V$ se cambiamo la base , assumendo come base nuova $e_(1') , e_(2'),....e_(n')$ . Ma questo si vede in geometria e algebra lineare. E ti dirò: porta al concetto di tensore, dato attraverso le sue componenti e le trasformazioni di queste per cambiamento di coordinate (approccio non condiviso da quasi tutti i matematici) . Ma non insisto .
Non so se questo può esserti utile.
Grazie Shackle per la risposta. Tuttavia ho ancora un piccolo dubbio. Prendiamo la componente $x$ della velocità
$$v_x = \frac {\partial x} {\partial r}v_r + \frac {\partial x} {\partial \theta} v_{\theta}$$
Provo a fare un po' di calcoli
$\frac {\partial x} {\partial r} = \frac {\partial} {\partial r} (r cos(\theta)) = cos(\theta)$, quindi:
$$\frac {\partial x} {\partial r} v_r = cos (\theta) \frac {dr} {dt}$$.
Ora però non sono sicurissimo di questi passaggi:
$cos(\theta) = x/r = \frac {x} {\sqrt{x^2 + y^2}}$
e inoltre (questo passaggio mi turba parecchio):
$\frac {dr} {dt} = \frac {d} {dt} (\sqrt{x^2 + y^2}) = \frac {x + y} {\sqrt{x^2 + y^2}}$
quindi:
$$\frac {\partial x} {\partial r} v_r = \frac {x} {\sqrt{x^2 + y^2}} \frac {x + y} {\sqrt{x^2 + y^2}} = \frac {x(x + y)} {x^2 + y^2}$$.
Penso che abbia sbagliato qualcosa perché il risultato non mi convince, però comunque il senso è che vorrei trovare una espressione del genere. Procedendo con l'altra "componente" di $v_x$:
$ \frac {\partial x} {\partial \theta} =\frac {\partial} {\partial \theta} (r cos(\theta)) = -r sin(\theta) = - y$ quindi:
$$ v_x = \frac {x(x + y)} {x^2 + y^2} - y \frac {d\theta}{dt}$$
Però adesso non ho proprio la più pallida idea di come andare avanti...
PS: se ho scritto qualche eresia non adiratevi troppo
$$v_x = \frac {\partial x} {\partial r}v_r + \frac {\partial x} {\partial \theta} v_{\theta}$$
Provo a fare un po' di calcoli
$\frac {\partial x} {\partial r} = \frac {\partial} {\partial r} (r cos(\theta)) = cos(\theta)$, quindi:
$$\frac {\partial x} {\partial r} v_r = cos (\theta) \frac {dr} {dt}$$.
Ora però non sono sicurissimo di questi passaggi:
$cos(\theta) = x/r = \frac {x} {\sqrt{x^2 + y^2}}$
e inoltre (questo passaggio mi turba parecchio):
$\frac {dr} {dt} = \frac {d} {dt} (\sqrt{x^2 + y^2}) = \frac {x + y} {\sqrt{x^2 + y^2}}$
quindi:
$$\frac {\partial x} {\partial r} v_r = \frac {x} {\sqrt{x^2 + y^2}} \frac {x + y} {\sqrt{x^2 + y^2}} = \frac {x(x + y)} {x^2 + y^2}$$.
Penso che abbia sbagliato qualcosa perché il risultato non mi convince, però comunque il senso è che vorrei trovare una espressione del genere. Procedendo con l'altra "componente" di $v_x$:
$ \frac {\partial x} {\partial \theta} =\frac {\partial} {\partial \theta} (r cos(\theta)) = -r sin(\theta) = - y$ quindi:
$$ v_x = \frac {x(x + y)} {x^2 + y^2} - y \frac {d\theta}{dt}$$
Però adesso non ho proprio la più pallida idea di come andare avanti...
PS: se ho scritto qualche eresia non adiratevi troppo
Non ho capito che cosa vuoi fare e dove vuoi arrivare. Tieni presente che la dipendenza funzionale di $x$ e $y$ dalle coordinate polari $r,\theta$ è la seguente :
$x=rcos\theta$
$y = rsen\theta$
e quindi, gli elementi della matrice jacobiana sono :
$(delx)/(delr) = costheta$ ; $(delx)/(deltheta) = -rsentheta$
$(dely)/(delr) = sentheta$ ; $(dely)/(del\theta) = rcostheta$
inoltre , conviene lasciare : $(dr)/(dt) = dotr$ ; $ (d\theta)/(dt) = dot\theta$
e ricordare che $theta = omega*t$ , quindi $dot\theta = omega$ .
In definitiva , devi avere questo
$x=rcos\theta$
$y = rsen\theta$
e quindi, gli elementi della matrice jacobiana sono :
$(delx)/(delr) = costheta$ ; $(delx)/(deltheta) = -rsentheta$
$(dely)/(delr) = sentheta$ ; $(dely)/(del\theta) = rcostheta$
inoltre , conviene lasciare : $(dr)/(dt) = dotr$ ; $ (d\theta)/(dt) = dot\theta$
e ricordare che $theta = omega*t$ , quindi $dot\theta = omega$ .
In definitiva , devi avere questo
Ok provo a spiegarmi con un esempio.
Immagina un disco che ruota intorno all'asse di simmetria passante per il centro.
Se con un pennarello disegno un puntino nero sul disco e chiedo "quanto vale la velocità del puntino nero?", allora per rispondere diremo che il puntino nero avrà una velocità di modulo $v = w*r$ dove $r$ è la distanza del puntino nero dal centro della circonferenza ecc...
Se però invece io NON disegno un punto nero e ti chiedo "prendendo come origine di un sistema di riferimento cartesiano il centro della circonferenza, che velocità avrò nel punto di coordinate $(x, y)$?
Quindi, note $x$ e $y$ mi calcolo $r$ e $\theta$ in funzione di $x$ e $y$ con le formule inverse e poi derivo e viene una formula orribile...
Mi chiedevo se ci fosse un modo per evitare tutti questi calcoli e trovare un risultato più elegante.
Per farti capire tipo:
$ x = r cos(\theta) $
$ theta = cos^{-1}(x/r) = cos^{-1}(x/\sqrt{x^2 + y^2})$
$omega = \frac {d theta}{dt} = \frac d {dt} ( cos^{-1}(x/\sqrt{x^2 + y^2})) = (...) = \frac {y - x} {x^2 + y^2}$
probabilmente ho sbagliato i calcoli, ma faccio solo per fare capire dove voglio arrivare. Allora tornando al calcolo di $v_x$ del post precedente dovrei ottenere qualcosa di simile:
$$v_x(x, y) = \frac{x(x+y)} {x^2 + y^2} - \frac {y(y - x)} {x^2 + y^2}$$
e quindi, per esempio, se ti chiedessi "quanto vale la componente $x$ della velocità nel punto (1, 1)?" Allora tu faresti
$ v_x(1, 1) = (1*2)/(1+1) - (1*(1-1))/(1+1) = 1$
Immagina un disco che ruota intorno all'asse di simmetria passante per il centro.
Se con un pennarello disegno un puntino nero sul disco e chiedo "quanto vale la velocità del puntino nero?", allora per rispondere diremo che il puntino nero avrà una velocità di modulo $v = w*r$ dove $r$ è la distanza del puntino nero dal centro della circonferenza ecc...
Se però invece io NON disegno un punto nero e ti chiedo "prendendo come origine di un sistema di riferimento cartesiano il centro della circonferenza, che velocità avrò nel punto di coordinate $(x, y)$?
Quindi, note $x$ e $y$ mi calcolo $r$ e $\theta$ in funzione di $x$ e $y$ con le formule inverse e poi derivo e viene una formula orribile...
Mi chiedevo se ci fosse un modo per evitare tutti questi calcoli e trovare un risultato più elegante.
Per farti capire tipo:
$ x = r cos(\theta) $
$ theta = cos^{-1}(x/r) = cos^{-1}(x/\sqrt{x^2 + y^2})$
$omega = \frac {d theta}{dt} = \frac d {dt} ( cos^{-1}(x/\sqrt{x^2 + y^2})) = (...) = \frac {y - x} {x^2 + y^2}$
probabilmente ho sbagliato i calcoli, ma faccio solo per fare capire dove voglio arrivare. Allora tornando al calcolo di $v_x$ del post precedente dovrei ottenere qualcosa di simile:
$$v_x(x, y) = \frac{x(x+y)} {x^2 + y^2} - \frac {y(y - x)} {x^2 + y^2}$$
e quindi, per esempio, se ti chiedessi "quanto vale la componente $x$ della velocità nel punto (1, 1)?" Allora tu faresti
$ v_x(1, 1) = (1*2)/(1+1) - (1*(1-1))/(1+1) = 1$
No, io non lo farei ! 
Io scriverei il prodotto tra matrice jacobiana e vettore colonna $ (dotr, dot\theta)^T $ , che mi dà (salvo errori) :
$v_x = dotrcostheta -rdotthetasentheta$
$v_y = dotrsentheta +rdotthetacostheta$
che sono valide per qualunque moto piano , anche quando $r = "cost" rarr dotr =0 $ .
Poi, se vuoi, esprimi pure le coordinate polari in funzione delle cartesiane, e fai le derivate e le opportune sostituzioni ; ma viene fuori un casino...!
Io scriverei il prodotto tra matrice jacobiana e vettore colonna $ (dotr, dot\theta)^T $ , che mi dà (salvo errori) :
$v_x = dotrcostheta -rdotthetasentheta$
$v_y = dotrsentheta +rdotthetacostheta$
che sono valide per qualunque moto piano , anche quando $r = "cost" rarr dotr =0 $ .
Poi, se vuoi, esprimi pure le coordinate polari in funzione delle cartesiane, e fai le derivate e le opportune sostituzioni ; ma viene fuori un casino...!
"Shackle":
No, io non lo farei !
E' da un po' che sono stato assunto presso l' "u.c.a.s."
Comunque in questo caso (come molti altri) è inutile, ma magari in qualche situazione più tornare comodo...
E' da un po' che sono stato assunto presso l' "u.c.a.s."
È noto che in questo U.c.a.s. fanno solo....ucas...sate !
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