Cambiamento di coordinate di un vettore controvariante

[startrekking3]

Salve a tutti! Avrei una domanda che riguarda l'equazione del cambiamento di sistema di riferimento di un vettore controvariante. So che conoscendo la legge che lega due sistemi diversi di coordinate si può facilmene arrivare all'equazione del cambiamento di coordinate di un vettore con componenti infinitesime controvarianti semplicemente cercando il differenziale totale della legge stessa. Volendo passare da un sistema di coordinate $x^1$ , $x^2$ ad un sistema di coordinate $y^1$ , $y^2$ e sapendo che la legge che lega i due sistemi è $y^j=y^j(x^1,x^2)$, il vettore $dx^k$ quindi si trasforma, diventando $dy^j$, con la seguente legge: $dy^j=\sum_{k=1}^2 (dely^j)/(delx^k) dx^k$. La mia domanda è: come si dimostra che tale legge vale per qualsiasi vettore controvariante, anche con componenti che non sono differenziali? Qualcuno potrebbe darmi una spiegazione non troppo complicata?

[Sk_Anonymous]

Si tratta di una definizione. Qualsiasi "oggetto" a $2$ componenti che si trasforma in quel modo, viene definito "vettore controvariante".

[startrekking3]

"speculor":Si tratta di una definizione. Qualsiasi "oggetto" a $2$ componenti che si trasforma in quel modo, viene definito "vettore controvariante".

Ok, ciò lo avevo capito. Vorrei solo la dimostrazione che tutti i vettori controvarianti si trasformano in questo modo e non solo quelli che hanno come componenti dei differenziali.

[Sk_Anonymous]

Non mi sembra il modo corretto di procedere, dal punto di vista logico. Al limite, puoi dimostrare che un vettore, magari introdotto in modo elementare nel corso di una certa trattazione fisica, si trasforma in quel modo, e quindi può essere definito un vettore controvariante. Se l'argomento che stai studiando è la relatività, gli esempi non dovrebbero mancarti. Anche se, a ben vedere, la relatività viene costruita proprio in modo tale che le grandezze fisiche abbiano una determinata legge di trasformazione. A questo punto, tu capisci che il discorso rischia di diventare circolare.