Calotta sferica
Ciao a tutti! ho problemi a risolvere questo quesito. Ve lo espongo e poi vi dico i miei passaggi per la risoluzione:
In un recipiente a forma di calotta sferica, con raggio di curvatura R e altezza h < R, con superficie liscia, due particelle puntiformi di masse $m_1$ e $m_2$ sono poste la prima sul bordo e l'altra sul fondo nel punto più basso. La prima particella, lasciata libera da ferma, scivola e urta la seconda (in quiete prima dell'urto). Si supponga che l'urto sia centrale e perfettamente elastico.
Quale deve essere il rapporto $\u = m_1/m_2$ affinchè dopo l'urto entrambe le particelle raggiungano la stessa altezza massima??
Disegnino:
Allora, ragionamento.
Siccome è un urto perfettamente elastico, la quantità di moto e l'energia meccanica del sistema si conservano
Quindi ho che l'energia cinetica della massa $m_1$ quando arriva al fondo è uguale alla somma delle energie cinetiche delle due masse immediatamente dopo l'urto
$1/2m_1v^2 = 1/2m_1(v_1)^2 + 1/2m_2(v_2)^2$ (1)
ma l'energia cinetica della massa m1 prima dell'urto è la sua energia potenziale iniziale quindi $1/2m_1v^2 = m_1gh$
Allo stesso modo, le energie cinetiche delle due masse dopo l'urto diventeranno tutta energia potenziale quando raggiungono il punto $l$ di altezza massima, per cui $1/2m_1(v_1)^2 = m_1gl$ e allo stesso modo $1/2m_2(v_2)^2 = m_2gl$
quindi l'equazione (1) può essere riscritta come
$m_1gh = (m_1 + m_2)gl$
sapendo che $u = m_2/m_1 \hArr m_2 = m_1*u$ ho che
$m_1gh = (1 + u)m_1gl$ semplificando e dividendo
$h / l = 1 + u \hArr u = h/l + 1$
Ma la soluzione è un numero finito (3) che non so da dove prende... comm se fa?
In un recipiente a forma di calotta sferica, con raggio di curvatura R e altezza h < R, con superficie liscia, due particelle puntiformi di masse $m_1$ e $m_2$ sono poste la prima sul bordo e l'altra sul fondo nel punto più basso. La prima particella, lasciata libera da ferma, scivola e urta la seconda (in quiete prima dell'urto). Si supponga che l'urto sia centrale e perfettamente elastico.
Quale deve essere il rapporto $\u = m_1/m_2$ affinchè dopo l'urto entrambe le particelle raggiungano la stessa altezza massima??
Disegnino:
Allora, ragionamento.
Siccome è un urto perfettamente elastico, la quantità di moto e l'energia meccanica del sistema si conservano
Quindi ho che l'energia cinetica della massa $m_1$ quando arriva al fondo è uguale alla somma delle energie cinetiche delle due masse immediatamente dopo l'urto
$1/2m_1v^2 = 1/2m_1(v_1)^2 + 1/2m_2(v_2)^2$ (1)
ma l'energia cinetica della massa m1 prima dell'urto è la sua energia potenziale iniziale quindi $1/2m_1v^2 = m_1gh$
Allo stesso modo, le energie cinetiche delle due masse dopo l'urto diventeranno tutta energia potenziale quando raggiungono il punto $l$ di altezza massima, per cui $1/2m_1(v_1)^2 = m_1gl$ e allo stesso modo $1/2m_2(v_2)^2 = m_2gl$
quindi l'equazione (1) può essere riscritta come
$m_1gh = (m_1 + m_2)gl$
sapendo che $u = m_2/m_1 \hArr m_2 = m_1*u$ ho che
$m_1gh = (1 + u)m_1gl$ semplificando e dividendo
$h / l = 1 + u \hArr u = h/l + 1$
Ma la soluzione è un numero finito (3) che non so da dove prende... comm se fa?
Risposte
Ora devi calcolare $l$...
Fai molto prima se ragioni così.
Se dopo l'urto le due masse raggiungono la stessa altezza (qualunque essa sia) vuol dire che dopo l'urto partono con la stessa velocità in direzioni opposte. Puoi riportarti su un piano e risolvere questo problema come se dicesse: quale deve essere il rapporto di massa perché dopo l'urto la massa incidente e la massa colpita possiedano velocità uguali e contrarie? Applicando le conservazioni di quantità di moto ed energia in caso di velocità iniziale $v_0$ qualsiasi della massa incidente, viene fuori che la massa colpita deve avere un valore pari a 3 volte la massa incidente.
Se dopo l'urto le due masse raggiungono la stessa altezza (qualunque essa sia) vuol dire che dopo l'urto partono con la stessa velocità in direzioni opposte. Puoi riportarti su un piano e risolvere questo problema come se dicesse: quale deve essere il rapporto di massa perché dopo l'urto la massa incidente e la massa colpita possiedano velocità uguali e contrarie? Applicando le conservazioni di quantità di moto ed energia in caso di velocità iniziale $v_0$ qualsiasi della massa incidente, viene fuori che la massa colpita deve avere un valore pari a 3 volte la massa incidente.
perfetto 
grazie mille per l'aiuto!!
grazie mille per l'aiuto!!
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