Calcolo vettoriale
Pongo subito i quesiti:
Calcola il modulo del vettore somma e del vettore differenza di due vettori a e b, di moduli rispettivamente pari a 2m e a 4m che formano tra loro un angolo di 30 gradi.
Calcola il modulo del vettore somma e del vettore differenza di due vettori a e b di moduli rispettivamente pari a 6mm e 10mm e che formano tra loro un angolo di 45 gradi.
Un aereo viaggia verso nord per un'ora e mezza alla velocità di 900 km/h e successivamente verso est per mezz' ora alla velocità di 800 km/h. determina il modulo dello spostamento risultante ( ed è facile, 1408 km) e l'angolo da esso formato con la direzione Ovest - Est.
Premetto che i primi due non ho capito come svolgerli, anche se credo ci vogliano gli assi cartesiani, nel terzo ho trovato il modulo del vettore, ma non capisco come trovare l'angolo risultante.
Grazie anticipatamente a tutti.
Calcola il modulo del vettore somma e del vettore differenza di due vettori a e b, di moduli rispettivamente pari a 2m e a 4m che formano tra loro un angolo di 30 gradi.
Calcola il modulo del vettore somma e del vettore differenza di due vettori a e b di moduli rispettivamente pari a 6mm e 10mm e che formano tra loro un angolo di 45 gradi.
Un aereo viaggia verso nord per un'ora e mezza alla velocità di 900 km/h e successivamente verso est per mezz' ora alla velocità di 800 km/h. determina il modulo dello spostamento risultante ( ed è facile, 1408 km) e l'angolo da esso formato con la direzione Ovest - Est.
Premetto che i primi due non ho capito come svolgerli, anche se credo ci vogliano gli assi cartesiani, nel terzo ho trovato il modulo del vettore, ma non capisco come trovare l'angolo risultante.
Grazie anticipatamente a tutti.
Risposte
per i primi 2 è irrilevante che ti dica o meno quale sistema di riferimento adottare, perchè hai un'informazione relativa all'angolo tra i vettori.
Quindi puoi prenderne uno a piacere e scomporli relativamente a quel sistema e riferire il vettore somma e differenza a quel sistema
Per trovare l'angolo risultante del terzo potresti utilizzare qualcosa che correli i lati di un triangolo rettangolo con l'angolo interno....ad esempio con qualche funzione trigonometrica...
Quindi puoi prenderne uno a piacere e scomporli relativamente a quel sistema e riferire il vettore somma e differenza a quel sistema
Per trovare l'angolo risultante del terzo potresti utilizzare qualcosa che correli i lati di un triangolo rettangolo con l'angolo interno....ad esempio con qualche funzione trigonometrica...
Ciao, per quanto riguarda i primi due quesiti considera semplicemente che ogni vettore può essere descritto in termini di componenti e spesso questa soluzione risulta essere la via più efficace nella risoluzione di esercizi che richiedono calcoli più specifici. Per il primo ad esempio possiedi i moduli di entrambi i vettori $|a|=2$ e $|b|=4$ e l'angolo che formano tra loro $theta=30°$
Io ho pensato l'esercizio così: Facendo riferimento alle proprietà dei vettori sai che è possibile traslare un vettore parallelamente a se stesso senza alterarlo, perciò puoi far coincidere l'origine di entrambi i vettori sull'origine di un sistema di cordinate cartesiane in $x,y$. Per semplicità immagini che o il vettore $a$ o il vettore $b$ coincidano con l'asse $x$ mentre il secondo (che si estende sempre dall'origine) abbia un ampiezza rispetto all'asse $x$ di $theta=30°$. Posto che $a$ coincide con l'asse $x$, puoi sfruttare alcune proprietà trigonometriche che ti permettono di scomporre entrambi i vettori nelle loro componenti.
Infatti sai che le componenti del vettore $b$ (quello che forma l'angolo di $30°$) possono essere riscritte come: $b_x=|b|costheta$ e $b_y=|b|sintheta$.
Il vettore $a$ poichè coincide con l'asse $x$ non avrà alcuna componente verticale ma solo orizzontale ed equivalente a $a_x=2$.
A questo punto poichè la somma di due vettori può essere ridotta alla somma delle sue componenti puoi trovare le componenti del vettore somma $s$ risultante: $s_x=a_x+b_x$ e $s_y=b_y$. Ora possiedi le componenti $s_x$ e $s_y$ del vettore risultante e puoi dunque ricavarti il suo modulo: $|s|=sqrt(s_x^2+s_y^2)$.
Sulla scia di questo tipo di ragionamento puoi operare anche la differenza, basta fare un po di attenzione ai segni.
Per il secondo problema, confermo il modulo dello spostamento risultante, e riguardo all'angolo formato ti basta considerare entrambi gli spostamenti come vettori in termini di componenti (ancora loro) e sapere che è possibile trovare l'angolo compreso tra essi per mezzo di un altra identità trigonometrica $theta=tan^-1(r_y/r_x)$.
Mi spiego un po più chiaramente: Per arrivare al modulo dello spostamento risultante ho operato chiamando $r$ il vettore spostamento. Verso nord l'aereo ha uno spostamento di 1350km perciò la componente verticale sarà equivalente a $r_y=1350$, verso est l'aereo ha uno spostamento di 400km e la componente orizzontale sarà dunque $r_x=400$.
Il modulo della risultante sarà dato da $|r|=sqrt(r_x^2+r_y^2)$ e il mio risultato coincide con il tuo, mentre l'angolo formato tra essi sarà $theta=tan^-1(r_y/r_x)$ e per questo hai bisogno di una calcolatrice.
Io ho pensato l'esercizio così: Facendo riferimento alle proprietà dei vettori sai che è possibile traslare un vettore parallelamente a se stesso senza alterarlo, perciò puoi far coincidere l'origine di entrambi i vettori sull'origine di un sistema di cordinate cartesiane in $x,y$. Per semplicità immagini che o il vettore $a$ o il vettore $b$ coincidano con l'asse $x$ mentre il secondo (che si estende sempre dall'origine) abbia un ampiezza rispetto all'asse $x$ di $theta=30°$. Posto che $a$ coincide con l'asse $x$, puoi sfruttare alcune proprietà trigonometriche che ti permettono di scomporre entrambi i vettori nelle loro componenti.
Infatti sai che le componenti del vettore $b$ (quello che forma l'angolo di $30°$) possono essere riscritte come: $b_x=|b|costheta$ e $b_y=|b|sintheta$.
Il vettore $a$ poichè coincide con l'asse $x$ non avrà alcuna componente verticale ma solo orizzontale ed equivalente a $a_x=2$.
A questo punto poichè la somma di due vettori può essere ridotta alla somma delle sue componenti puoi trovare le componenti del vettore somma $s$ risultante: $s_x=a_x+b_x$ e $s_y=b_y$. Ora possiedi le componenti $s_x$ e $s_y$ del vettore risultante e puoi dunque ricavarti il suo modulo: $|s|=sqrt(s_x^2+s_y^2)$.
Sulla scia di questo tipo di ragionamento puoi operare anche la differenza, basta fare un po di attenzione ai segni.
Per il secondo problema, confermo il modulo dello spostamento risultante, e riguardo all'angolo formato ti basta considerare entrambi gli spostamenti come vettori in termini di componenti (ancora loro) e sapere che è possibile trovare l'angolo compreso tra essi per mezzo di un altra identità trigonometrica $theta=tan^-1(r_y/r_x)$.
Mi spiego un po più chiaramente: Per arrivare al modulo dello spostamento risultante ho operato chiamando $r$ il vettore spostamento. Verso nord l'aereo ha uno spostamento di 1350km perciò la componente verticale sarà equivalente a $r_y=1350$, verso est l'aereo ha uno spostamento di 400km e la componente orizzontale sarà dunque $r_x=400$.
Il modulo della risultante sarà dato da $|r|=sqrt(r_x^2+r_y^2)$ e il mio risultato coincide con il tuo, mentre l'angolo formato tra essi sarà $theta=tan^-1(r_y/r_x)$ e per questo hai bisogno di una calcolatrice.
Grazie sia ad ELWOOD (piuttosto chiaro) che a phaphe (esauriente); non avevo pensato alle funzioni trigonometriche, di qui l'evidente difficoltà nella risoluzione. D'altronde, trovandomi a fare gli esercizi a casa di un'amica e non avendo con me la calcolatrice scientifica con SIN, COS e TAN avrei comunque potuto fare ben poco.
Comunque, grazie mille.
Comunque, grazie mille.
...a casa di un amica......non ci si pensa a ste cose 
Colgo una sottile vena umoristica... 
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