Calcolo vel. angolare e angolo di una tavola quadrata
Una tavola quadrata di massa M e lato L è incernierata lungo un asse verticale,coincidente con un lato. La tavola può ruotare attorno all'asse ed è presente un momento di attrito di valore costante Z. Un proiettile di massa me velocità V ortogonale alla tavola colpisce la stessa ad una distanza d e vi rimane conficcato. Si osserva che la tavola, a causa dell'urto, entra in rotazione e si ferma dopo aver descritto un angolo $ \Delta \theta $. Sapendo che il momento di inerzia della tavola é $ 1/2ML^2 $, calcolare:
a) la vel. angolare della tavola subito dopo l'urto; b) l'angolo $ \Delta\theta $
Per il punto a) ho imposto la conservazione del momento angolare Li=Lf, dove il momento angolare iniziale è dato da $ mvd $ mentre quello finale da $ ((ML^2)/2+md^2) \omega $. Quindi trovo che $ \omega= (2mvd/(ML^2+2md)) $.
Per il secondo punto ho utilizzato la 2^ equazione cardinale $ \sum M^E= I_z \alpha $ cui deriva l'equazione $ -Z=((ML^2)/2+md^2) \alpha$. Ho trovato l'accelerazione angolare pari a $ (-2Z/(ML^2+2md)) $ e sostituito all'equazione $ \omega^2= \omega_0^2 +2 \alpha\Delta \theta $ trovando in seguito l'angolo richiesto, conoscendo anche il valore della velocità angolare trovata al punto precedente. Giusto?
a) la vel. angolare della tavola subito dopo l'urto; b) l'angolo $ \Delta\theta $
Per il punto a) ho imposto la conservazione del momento angolare Li=Lf, dove il momento angolare iniziale è dato da $ mvd $ mentre quello finale da $ ((ML^2)/2+md^2) \omega $. Quindi trovo che $ \omega= (2mvd/(ML^2+2md)) $.
Per il secondo punto ho utilizzato la 2^ equazione cardinale $ \sum M^E= I_z \alpha $ cui deriva l'equazione $ -Z=((ML^2)/2+md^2) \alpha$. Ho trovato l'accelerazione angolare pari a $ (-2Z/(ML^2+2md)) $ e sostituito all'equazione $ \omega^2= \omega_0^2 +2 \alpha\Delta \theta $ trovando in seguito l'angolo richiesto, conoscendo anche il valore della velocità angolare trovata al punto precedente. Giusto?
Risposte
Per prima cosa, il momento di inerzia della tavola rispetto all'asse di rotazione non è $1/2ML^2$ .
Il procedimento è giusto, ben inteso ponendo uguale a zero la velocità angolare finale. Hai dimenticato il quadrato di $d$ da qualche parte, verifica le formule.
Il procedimento è giusto, ben inteso ponendo uguale a zero la velocità angolare finale. Hai dimenticato il quadrato di $d$ da qualche parte, verifica le formule.
Per quanto riguarda il momento di inerzia anche io ho avuto parecchi dubbi perché per una lastra quadrata sarebbe $I_z= (ML^2)/6$ con un asse di rotazione passante per il CM della lastra ma visto che è incernierata in un lato si dovrebbe inserire il termine correttivo utilizzando Huygens-Steiner e il risultato finale dovrebbe essere $5/12(ML^2)$ ma il professore aveva detto di usare questo momento di inerzia. Per quanto riguarda i quadrati di d, li ho dimenticati nelle formule della velocità e della accelerazione angolari.
Nessuna delle formule che hai scritto per i momenti di inerzia è corretta.
Il momento di inerzia di area di un quadrato di lato $L$ , rispetto a una retta baricentrica parallela a due lati , è :
$I = 1/(12) L^3*L = L^4/(12) = (AL^2)/(12)$
dove $A = L^2$ è l'area . SE si tratta di una lastra quadrata omogenea , di massa $M$ e densità superficiale $rho= M/A$ , basta moltiplicare $A$ per la densità, e si ottiene il momento di inerzia di massa :
$I = 1/(12) ML^2$
Applicando il teorema del trasporto , il momento di inerzia di massa rispetto a una retta passante per un lato è :
$ I = 1/(12) ML^2+ M(L/2)^2 = 1/3 ML^2 $
Ti consiglio di fare una bella ripassata dei momenti di inerzia . E non dirmi che il tuo prof. "aveva detto di usare $1/2$ " anziché $1/3$ come coefficiente, perchè non posso crederci ! Se fosse cosí , diciamo che ha preso una svista?
Ma forse hai capito male . Può succedere . Magari avresti fatto bene a verificare.
Il momento di inerzia di area di un quadrato di lato $L$ , rispetto a una retta baricentrica parallela a due lati , è :
$I = 1/(12) L^3*L = L^4/(12) = (AL^2)/(12)$
dove $A = L^2$ è l'area . SE si tratta di una lastra quadrata omogenea , di massa $M$ e densità superficiale $rho= M/A$ , basta moltiplicare $A$ per la densità, e si ottiene il momento di inerzia di massa :
$I = 1/(12) ML^2$
Applicando il teorema del trasporto , il momento di inerzia di massa rispetto a una retta passante per un lato è :
$ I = 1/(12) ML^2+ M(L/2)^2 = 1/3 ML^2 $
Ti consiglio di fare una bella ripassata dei momenti di inerzia . E non dirmi che il tuo prof. "aveva detto di usare $1/2$ " anziché $1/3$ come coefficiente, perchè non posso crederci ! Se fosse cosí , diciamo che ha preso una svista?
Ma forse hai capito male . Può succedere . Magari avresti fatto bene a verificare.
Sì, il momento di inerzia che ho scritto io era di una lastra quadrata il cui asse di rotazione passa per il CM ed è perpendicolare alla lastra stessa: non avevo prestato attenzione proprio alla posizione dell'asse di rotazione. Per quanto riguarda il calcolo in sè del momento, mi torna $ 1/3ML^2 $ ma davvero non riesco a capire allora cosa sia in realtà quell' $1/2ML^2 $ anche perchè il testo del compito e le spiegazioni del professore fatte in sede di esame sembravano chiari sul fatto che dovevamo lavorare col momento di inerzia pari ad $ 1/2ML^2 $ e proprio per questo non ci sembrava utile focalizzarci sul momento di inerzia visto che non c'era spazio per altre interpretazioni...
Allora chiedi spiegazioni al prof. , perché se l’asse di rotazione coincide col lato il coefficiente è $1/3$ , non ci sono dubbi.
magari la tavola non è omogenea
Se la tavola non è omogenea, il testo dovrebbe dirlo. Ai puri fini dell’esercizio, che senso avrebbe una tavola non omogenea?
Lo chiederò al prof. Magari è come dice Vulplasir e si considera una tavola non omogenea ma suona strano anche a me sia perchè nel testo dovrebbe specificarlo, come dice Shackle, sia perchè non abbiamo mai trattato casi con corpi non omogenei se non per pura teoria.
Non c'è nessuna differenza tra tavole omogenee e non omogenee, il testonon dice che la tavola è omogenea perché cosi si sarebbe calcolato facilmente il momento di inerzia, dice solo che è una tavola quadrata di lato L con massa M e momento di inerzia 1/2ML^2
Insomma se il testo dice che il momento di inerzia è tal dei tali, allora è tal dei tali
Non accetto questa impostazione. È fuorviante . Il testo riportato da Mandolino dice :
Ma siccome Mandolino sa che, per una tavola omogenea : $ I = 1/3ML^2$ , ha tutto il diritto di chiedersi , e di chiedere al prof. : "Per quale motivo ci dà una formula , che nel caso di tavola omogenea sappiamo non essere vera ? PErchè dobbiamo usare il coefficiente $1/2 ?$ "
Che cosa vogliamo fare ? Vogliamo lasciare ai professori la libertà di stabilire il coefficiente in un momento di inerzia , senza giustificarlo ? MA vogliamo scherzare ?
Allora , sarebbe stato meglio che avesse detto : " Si assuma Il momento di inerzia della lastra , rispetto all'asse di rotazione , dato da : $ I = k ML^2 $ " , lasciando cosí una indeterminazione sul valore del coefficiente k , da eliminare a seconda delle circostanze : lastra omogenea , non omogenea (spiegando come...) coi buchi , con pezzi mancanti o aggiunti...
Chiudo qui il mio intervento . Si è già parlato troppo di una faccenda, che giudico essere sbagliata nel principio.
( sono buono...
)
Sapendo che il momento di inerzia della tavola é $1/2ML^2$ , calcolare....
Ma siccome Mandolino sa che, per una tavola omogenea : $ I = 1/3ML^2$ , ha tutto il diritto di chiedersi , e di chiedere al prof. : "Per quale motivo ci dà una formula , che nel caso di tavola omogenea sappiamo non essere vera ? PErchè dobbiamo usare il coefficiente $1/2 ?$ "
Che cosa vogliamo fare ? Vogliamo lasciare ai professori la libertà di stabilire il coefficiente in un momento di inerzia , senza giustificarlo ? MA vogliamo scherzare ?
Allora , sarebbe stato meglio che avesse detto : " Si assuma Il momento di inerzia della lastra , rispetto all'asse di rotazione , dato da : $ I = k ML^2 $ " , lasciando cosí una indeterminazione sul valore del coefficiente k , da eliminare a seconda delle circostanze : lastra omogenea , non omogenea (spiegando come...) coi buchi , con pezzi mancanti o aggiunti...
Chiudo qui il mio intervento . Si è già parlato troppo di una faccenda, che giudico essere sbagliata nel principio.
( sono buono...
)
Ma che problema ti da il fatto che il momento di inerzia sia 1/2ML^2? Abbiamo una tavola di massa M e momento di inerzia 1/2ML^2, qual è il problema? Se il prof volevo che quello fosse il momento di inerzia allora è quello...io boh
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