Calcolo superficie e baricentro

[gokutecno]

Ho bisogno di calcolare la superficie e il baricentro della porzione di corona circolare con raggio minore R1 e raggio maggiore R2 delimitata dai due assi x e y come disegnata in figura. Siccome sono un po'arrugginito con gli integrali sono gradite anche spiegazioni lunghe.
Grazie.

[mircoFN1]

Forse è meglio se lo posti in Analisi Matematica

[K.Lomax]

Fermo restando che sarebbe più appropriato sotto la sezione analisi matematica, io direi che, se non ricordi assolutamente nulla, ti conviene rileggere gli integrali doppi sul tuo libro di testo; altrimenti, dicci come approcciaresti al problema e verrai aiutato sulle eventuali difficoltà.

[Falco5x]

Per l'area puoi considerare l'area del cerchio maggiore meno l'area del cerchio minore meno l'area del segmento circolare a sinistra dell'asse y, il tutto diviso per due.
Ma sono sicuro che non è questo ciò che intendevi

[ELWOOD1]

Se vuoi applicare gli integrali allora ti conveine fare un cambiamento di coordinate, con $x=\rho \cos\theta$ e $y=\rho\sin\theta$.....con $|J|=\rho$ l'area vale:

$A=\int_{R_1}^{R_2}d\rho \int_{0}^{(\pi)/2}d\theta \rho= (\pi)/4 (R_2^2-R_1^2)$ che è proprio uguale a come ti ha detto intuitivamente Falco

Pre il baricentro vedi che la bisettrice del primo e secondo quadrante è un'asse di simmetria, per tanto il baricentro giace su quell'asse....dunque $x_G=y_G$

Ne calcoliamo una, ad esempio $x_G=\frac{\sum_{i=1}^{2}A_ix_G^i}{A}=\frac{\int_{R_1}^{R_2}\int_{0}^{(\pi)/2} \rho\cdot \rho\cos\theta}{A}=\frac{(R_2^3-R_1^3)}{(3\pi)/4 (R_2^2-R_1^2)}$


che semplificando un pò di conti ti dovrebbe venire $x_G=\frac{4(R_1+R_2)}{3\pi}$

[MaMo2]

"ELWOOD":Se vuoi applicare gli integrali allora ti conveine fare un cambiamento di coordinate, con $x=\rho \cos\theta$ e $y=\rho\sin\theta$.....con $|J|=\rho$ l'area vale:

$A=\int_{R_1}^{R_2}d\rho \int_{0}^{(\pi)/2}d\theta \rho= (\pi)/4 (R_2^2-R_1^2)$ che è proprio uguale a come ti ha detto intuitivamente Falco

Pre il baricentro vedi che la bisettrice del primo e secondo quadrante è un'asse di simmetria, per tanto il baricentro giace su quell'asse....dunque $x_G=y_G$
Ne calcoliamo una, ad esempio $x_G=\frac{\sum_{i=1}^{2}A_ix_G^i}{A}=\frac{\int_{R_1}^{R_2}\int_{0}^{(\pi)/2} \rho\cdot \rho\cos\theta}{A}=\frac{(R_2^3-R_1^3)}{(3\pi)/4 (R_2^2-R_1^2)}$
....

Questi risultati si riferiscono ad un quadrante di una corona circolare e non all'area in figura.
Io ho determinato i valori richiesti e sono:

$A=1/2[R^2arccos(r/R)+rsqrt(R^2-r^2)-pir^2]$

$x_(cm)=[6R^2r*arcsin(r/R)+2(2R^2+r^2)sqrt(R^2-r^2)+3pir(R^2-2r^2)]/(12A)$

$y_(cm)=(2R^3+3R^2r-5r^3)/(6A)$.

[ELWOOD1]

oooops...

Guardandolo in velocità mi sembrava proprio un quadrante......sorry