Calcolo periodo di un pendolo in presenza di attrito
Salve ragazzi!
Stavo studiando una relazione di fisica già svolta riguardo al calcolo della costante di gravità in un pendolo in cui si tenga conto della deviazione dal caso puntiforme, dall'isocronia e che tenga conto della presenza dell'attrito dell'aria.
Ho incontrato difficoltà proprio nel calcolo del periodo se si considera la presenza di attrito. Leggendo la relazione già svolta, l'autore giunge a questa equazione differenziale:
$\theta'' + \omega^2 \theta = -\eta (\theta')^2$
dove $\eta$ è il coefficiente di attrito dell'aria.
In seguito, si ricava la soluzione dell'equazione differenziale e di conseguenza il periodo. Io non riesco a capire però come abbia fatto a giungere a quel tipo di equazione differenziale. Son partito facendo l'equazione risultante delle forze sulla massa del pendolo ( e dunque la forza peso, quella d'attrito dell'aria data dalla legge di stocks) ma non son giunto ad alcunché.
Potete darmi gentilmente una mano? Grazie a tutti
Stavo studiando una relazione di fisica già svolta riguardo al calcolo della costante di gravità in un pendolo in cui si tenga conto della deviazione dal caso puntiforme, dall'isocronia e che tenga conto della presenza dell'attrito dell'aria.
Ho incontrato difficoltà proprio nel calcolo del periodo se si considera la presenza di attrito. Leggendo la relazione già svolta, l'autore giunge a questa equazione differenziale:
$\theta'' + \omega^2 \theta = -\eta (\theta')^2$
dove $\eta$ è il coefficiente di attrito dell'aria.
In seguito, si ricava la soluzione dell'equazione differenziale e di conseguenza il periodo. Io non riesco a capire però come abbia fatto a giungere a quel tipo di equazione differenziale. Son partito facendo l'equazione risultante delle forze sulla massa del pendolo ( e dunque la forza peso, quella d'attrito dell'aria data dalla legge di stocks) ma non son giunto ad alcunché.
Potete darmi gentilmente una mano? Grazie a tutti
Risposte
Nessuno sa aiutarmi? Grazie
"daniele91":
Ho incontrato difficoltà proprio nel calcolo del periodo se si considera la presenza di attrito. Leggendo la relazione già svolta, l'autore giunge a questa equazione differenziale:
$\theta'' + \omega^2 \theta = -\eta (\theta')^2$
dove $\eta$ è il coefficiente di attrito dell'aria.
L'attrito nell'equazione compare con un termine quadratico. E' il cosiddetto "drag quadratico".
Si usa quando il numero di Reynolds e' alto, credo.
Non ho capito come ci è arrivato a quella equazione però...
"daniele91":
Non ho capito come ci è arrivato a quella equazione però...
Prendi la legge di Newton
[tex]{\mathbf F} = m {\mathbf a}[/tex]
Nel nostro caso (stiamo studiando solo le piccole oscillazioni) l'accelerazione si scrive semplicemente $R \ddot \theta$.
Per cui a destra avrai, per la componente orizzontale, $mR\ddot\theta$.
Per quanto riguarda la forza, c'e' il termine di forza elastica (sarebbe il primo ordine della forza di gravita' che fa da richiamo) hai il termine lineare $-\omega^2\theta$, e poi c'e' il drag quadratico, proporzionale al quadrato della velocita', quindi $-\epsilon\dot\theta^2$. Nota il segno meno in entrambi i casi.
In sintesi, riscalando massa e raggio negli altri coefficienti, ottieni
[tex]\ddot\theta = - \omega^2 \theta - \epsilon \dot\theta^2[/tex]
Io ho provato a fare così:
ho considerato la risultante delle forze $R=ml\theta''$, la forza peso $F_p=mgsen\theta$ e la forza di attrito dell'aria $F_a= 1/2 \rhov^2C_dA$ (con $\rho$ densità dell'aria, $v$ velocità del corpo, $A$ sezione del corpo, mentre $C_d$ è uguale a $\eta$.Su wikipedia lo chiama "coefficiente di resistenza"... ). Quindi si procede:
$ml\theta'' =mgsen\theta - 1/2m/Vl^2\theta'^2C_dA$ dove V è il volume di aria spostato. Semplificando e considerando $sen\theta$ approssimabile a $\theta$ in quanto le oscillazioni sono piccole, ottengo:
$\theta'' = \omega^2\theta -(C_dAl\theta'^2)/(2V)$. Ovviamente non mi pare sia lo stesso risultato in quanto varia per un segno e per il coefficiente $ (Al)/(2V)$. Dove è l'errore?Credevo il ragionamento fosse quello giusto..
ho considerato la risultante delle forze $R=ml\theta''$, la forza peso $F_p=mgsen\theta$ e la forza di attrito dell'aria $F_a= 1/2 \rhov^2C_dA$ (con $\rho$ densità dell'aria, $v$ velocità del corpo, $A$ sezione del corpo, mentre $C_d$ è uguale a $\eta$.Su wikipedia lo chiama "coefficiente di resistenza"... ). Quindi si procede:
$ml\theta'' =mgsen\theta - 1/2m/Vl^2\theta'^2C_dA$ dove V è il volume di aria spostato. Semplificando e considerando $sen\theta$ approssimabile a $\theta$ in quanto le oscillazioni sono piccole, ottengo:
$\theta'' = \omega^2\theta -(C_dAl\theta'^2)/(2V)$. Ovviamente non mi pare sia lo stesso risultato in quanto varia per un segno e per il coefficiente $ (Al)/(2V)$. Dove è l'errore?Credevo il ragionamento fosse quello giusto..
"Lory_91":
$\theta'' = \omega^2\theta -(C_dAl\theta'^2)/(2V)$. Ovviamente non mi pare sia lo stesso risultato in quanto varia per un segno e per il coefficiente $ (Al)/(2V)$. Dove è l'errore?Credevo il ragionamento fosse quello giusto..
Scusa, ma il primo termine a destra e' positivo quando $\theta$ e' positivo: per cui appena sposti un po' il pendolo quello schizza via, non mi sembra il massimo della stabilita'
E' sbagliato il segno della forza nella prima riga (ricordati che devi proiettare la forza peso).
Perchè i termini a secondo membro hanno segno concorde? Non dovrebbe essere il contrario?
A parte il segno, la relazione proposta da Lory_91 è corretta?
A parte il segno, la relazione proposta da Lory_91 è corretta?
Premetto che in una mia risposta precedente c'e' un errore (vedi dopo).
Allora, uno per volta.
Fai finta che non ci sia attrito.
Per l'accelerazione trovi
[tex]\ddot \theta = -\omega^2\theta[/tex]
Perche' e' cosi'?
Se tu sposti il pendolo in direzione di $\theta$ positivo, la forza e' nella direzione opposta, cioe' e' una forza di richiamo.
Se consideri l'equazione
[tex]\ddot \theta = +\omega^2\theta[/tex]
quando sposti il pendolo di una quantita' anche piccola in direzione di $\theta>0$, la accelerazione sara' positiva, quindi la velocita' continuera' ad aumentare, e il pendolo e' insomma instabile. Quindi per un pendolo normale (non rovesciato) il segno giusto e' il meno.
Consideriamo l'attrito, qui c'e' l'inghippo: il segno deve cambiare in funzione del segno di $\dot\theta$ perche' l'accelerazione dovuta all'attrito deve essere opposta alla velocita'. Per cui avresti $|\dot\theta|\dot\theta$, invece di quello che avevo detto io, cioe' $\dot\theta^2$, che ha sempre lo stesso segno, e quindi non puo' essere giusto per il pendolo! (a meno che non sia solo relativo ad un vento che soffia in direzione di $\theta<0$
.
In sintesi l'equazione che trovo alla fine per il drag quadratico sarebbe
[tex]\ddot\theta = -\omega^2\theta -\epsilon|\dot\theta|\dot\theta[/tex]
Non so se e' giusta nell'applicazione al caso specifico per il pendolo smorzato, ma almeno fisicamente fa quello che deve
"daniele91":
Perchè i termini a secondo membro hanno segno concorde? Non dovrebbe essere il contrario?
A parte il segno, la relazione proposta da Lory_91 è corretta?
Allora, uno per volta.
Fai finta che non ci sia attrito.
Per l'accelerazione trovi
[tex]\ddot \theta = -\omega^2\theta[/tex]
Perche' e' cosi'?
Se tu sposti il pendolo in direzione di $\theta$ positivo, la forza e' nella direzione opposta, cioe' e' una forza di richiamo.
Se consideri l'equazione
[tex]\ddot \theta = +\omega^2\theta[/tex]
quando sposti il pendolo di una quantita' anche piccola in direzione di $\theta>0$, la accelerazione sara' positiva, quindi la velocita' continuera' ad aumentare, e il pendolo e' insomma instabile. Quindi per un pendolo normale (non rovesciato) il segno giusto e' il meno.
Consideriamo l'attrito, qui c'e' l'inghippo: il segno deve cambiare in funzione del segno di $\dot\theta$ perche' l'accelerazione dovuta all'attrito deve essere opposta alla velocita'. Per cui avresti $|\dot\theta|\dot\theta$, invece di quello che avevo detto io, cioe' $\dot\theta^2$, che ha sempre lo stesso segno, e quindi non puo' essere giusto per il pendolo! (a meno che non sia solo relativo ad un vento che soffia in direzione di $\theta<0$
.In sintesi l'equazione che trovo alla fine per il drag quadratico sarebbe
[tex]\ddot\theta = -\omega^2\theta -\epsilon|\dot\theta|\dot\theta[/tex]
Non so se e' giusta nell'applicazione al caso specifico per il pendolo smorzato, ma almeno fisicamente fa quello che deve
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