Calcolo momento d'inerzia di una sfera piena
Buonasera,
ho qualche problema a calcolare il momento d'inerzia di una sfera piena di massa M e volume V, con densità di massa $\sigma$ = $(dm)/(dv) $ costante, cioè $\sigma$ = $(M)/(V) $
Volevo calcolarlo considerando la sfera come costituita da infinitesime sfere cave.
Per farlo ho svolto i seguenti calcoli considerando che il volume di una sfera di raggio r è dato da:
V = $(4/3) pi r^3$ da cui $dv = 4 pi r^2 dr$
\( \int_a^b r^2 dm = \int_a^b r^2 \) $\sigma$\( dv = \)$\sigma$ \( \int_a^b r^2 dv = \)$\sigma$ \( \int_a^b r^2 4\) $ pi r^2 dr $ = $\sigma 4 pi $\( \int_a^b r^4 dr = \) $\sigma 4 pi (r^5)/5 = M/V 4 pi (r^5)/5 = 3/5 M r^2$
Se mi aiutaste a capire l'errore concettuale che ho commesso mi aiutereste molto
Grazie
ho qualche problema a calcolare il momento d'inerzia di una sfera piena di massa M e volume V, con densità di massa $\sigma$ = $(dm)/(dv) $ costante, cioè $\sigma$ = $(M)/(V) $
Volevo calcolarlo considerando la sfera come costituita da infinitesime sfere cave.
Per farlo ho svolto i seguenti calcoli considerando che il volume di una sfera di raggio r è dato da:
V = $(4/3) pi r^3$ da cui $dv = 4 pi r^2 dr$
\( \int_a^b r^2 dm = \int_a^b r^2 \) $\sigma$\( dv = \)$\sigma$ \( \int_a^b r^2 dv = \)$\sigma$ \( \int_a^b r^2 4\) $ pi r^2 dr $ = $\sigma 4 pi $\( \int_a^b r^4 dr = \) $\sigma 4 pi (r^5)/5 = M/V 4 pi (r^5)/5 = 3/5 M r^2$
Se mi aiutaste a capire l'errore concettuale che ho commesso mi aiutereste molto
Grazie
Risposte
Ciao!
Il momento di inerzia di un qualsiasi sistema materiale è definito rispetto ad un asse. Quando vuoi valutarlo per sistemi continui e risolvi l'integrale:
$$ I = \int_{\tau}r^2 dm$$
con $r^2$ indichi la distanza dell'elementino $dm$ dall'asse rispetto a cui stai calcolando $I$. Credo il problema stia nell'aver male interpretato il significato di $r$.
Buona serata
Il momento di inerzia di un qualsiasi sistema materiale è definito rispetto ad un asse. Quando vuoi valutarlo per sistemi continui e risolvi l'integrale:
$$ I = \int_{\tau}r^2 dm$$
con $r^2$ indichi la distanza dell'elementino $dm$ dall'asse rispetto a cui stai calcolando $I$. Credo il problema stia nell'aver male interpretato il significato di $r$.
Buona serata
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo