Calcolo momento di inerzia quadrato
Salve a tutti, avrei questo problema sul calcolo del momento di inerzia. poreste dirmi se è corretto lo svolgimento?
Devo calcolare il momento di inerzia di un quadrato di lato $ l $ e massa $ m $ rispetto ad un asse di rotazione che passa per il punto medio di un lato.
Genericamente il momento di inerzia è dato da : $ int_(s)^() h^2 dm $
intendendo per $ h^2 $ la distanza del polo dall'asse di rotazione. Poi essendo la densità omogenea sappiamo che $ delta = m/s = m /l^2 $ e che $ dm = delta ds = delta dl^2 $
Ritornando al momento di inerzia abbiamo:
$ int_(0)^(l) l^2/4 delta ds =1/4 delta int_(0)^(l)l^2dl^2 = 1/4 delta 1/2 l^4 = 1/8ml^2 $
da $ 0 $ a $ l $ perchè è il lato del triangolo ma è giusto il mio $ ds $ e quindi il momento di inerzia totale?
Devo calcolare il momento di inerzia di un quadrato di lato $ l $ e massa $ m $ rispetto ad un asse di rotazione che passa per il punto medio di un lato.
Genericamente il momento di inerzia è dato da : $ int_(s)^() h^2 dm $
intendendo per $ h^2 $ la distanza del polo dall'asse di rotazione. Poi essendo la densità omogenea sappiamo che $ delta = m/s = m /l^2 $ e che $ dm = delta ds = delta dl^2 $
Ritornando al momento di inerzia abbiamo:
$ int_(0)^(l) l^2/4 delta ds =1/4 delta int_(0)^(l)l^2dl^2 = 1/4 delta 1/2 l^4 = 1/8ml^2 $
da $ 0 $ a $ l $ perchè è il lato del triangolo ma è giusto il mio $ ds $ e quindi il momento di inerzia totale?
Risposte
TeM, se ho bene inteso il problema, si tratta di calcolare $I_z$ rispetto all'origine, non $I_x$?
$ I_y $ come va calcolata quindi?
No la questione è che io nel mio studio non ho mai condotto una differenza tra $ I_x $ e $ I_y $
Ci sono 2 modi per risolvere il problema: uno e' trovare $I_x$ e $I_y$, momenti baricentrali rispetto agli assi di simmetria. $I_z$, essendo z l'asse baricentrale ortoganle al piano della lastra passante per il centro della lastra stessa, e' la somma degli altri 2 momenti. Poi dove trasporre con Huygens Steiner (approccio di TeM)
Oppure calcoli direttamente come hai cercato di fare tu (ma l'integrazione e' sbagliata). Il risultato dovrebbe essere $5/12 ML^2$ se non ho fatto i calcoli sbagliati.
L'approccio di TeM e' piu' facile perche le integrazioni sono semplici e poi si tratta di semplici somme.
Prova, dando uno sguardo al materiale postato da TeM.
Oppure calcoli direttamente come hai cercato di fare tu (ma l'integrazione e' sbagliata). Il risultato dovrebbe essere $5/12 ML^2$ se non ho fatto i calcoli sbagliati.
L'approccio di TeM e' piu' facile perche le integrazioni sono semplici e poi si tratta di semplici somme.
Prova, dando uno sguardo al materiale postato da TeM.
Grazie mille ad entrambi!
Nel mio caso cosa ho sbagliato? Gli estremi di integrazione? Vorrei capire
Nel mio caso cosa ho sbagliato? Gli estremi di integrazione? Vorrei capire
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