Calcolo momento di inerzia di una sfera
Salve, ho provato a calcolare diversi momenti d'inerzia e mi sono tornati, a parte quelli della sfera cava e sfera piena. Ho guardato poi in giro su internet le spiegazioni e lo hanno calcolato in maniera diversa da come ho fatto io e col loro metodo mi torna, ma vorrei pero anche capire dove ho sbagliato io col mio metodo, perchè non vedo errori.
Prendo l'esempio di una sfera cava omogenea ruotante attorno ad un suo diametro e indico con R il raggio della sfera:
$ I=intintr^2dm=int intrhor^2dS $
Questo è un'integrale di superficie che posso risolvere usando le coordinate sferiche e diventa
$ int_(0)^(pi) int_(0)^(2pi)[rhoR^2*R^2*sen(phi)]dphidθ=2pirhoR^4int_(0)^(pi) sen(phi) dphi=4pirhoR^4 $
La massa della sfera è
$ M=4piR^2rho $
Da cui $ I=MR^2 $ che è un risultato errato.
Non capisco se il problema è nel calcolo dell'integrale, o nell'impostazione iniziale di questo, io ho visto che normalmente i momenti di inerzia si risolvono andando a cercare l'elemento infinitesimo di massa, però qui mi tornava meglio fare così, e a logica dovrebbe tornare comunque!
Prendo l'esempio di una sfera cava omogenea ruotante attorno ad un suo diametro e indico con R il raggio della sfera:
$ I=intintr^2dm=int intrhor^2dS $
Questo è un'integrale di superficie che posso risolvere usando le coordinate sferiche e diventa
$ int_(0)^(pi) int_(0)^(2pi)[rhoR^2*R^2*sen(phi)]dphidθ=2pirhoR^4int_(0)^(pi) sen(phi) dphi=4pirhoR^4 $
La massa della sfera è
$ M=4piR^2rho $
Da cui $ I=MR^2 $ che è un risultato errato.
Non capisco se il problema è nel calcolo dell'integrale, o nell'impostazione iniziale di questo, io ho visto che normalmente i momenti di inerzia si risolvono andando a cercare l'elemento infinitesimo di massa, però qui mi tornava meglio fare così, e a logica dovrebbe tornare comunque!
Risposte
Mi sembra che tu abbia calcolato il momento di inerzia polare della sfera cava, cioè rispetto al centro.
Ma tu vuoi il momento di inerzia assiale della sfera, giusto? Allora :
$ int_0^\pi (R sen\theta)^2* 2\pi\rho(Rsen\theta)Rd\theta = 2\pi\rhoR^4int_0^\pi sen^3\theta = 2\pi\rhoR^4*4/3 = 2/3MR^2$
In altri termini, ho diviso la sfera cava in "strisce" mediante piani orizzontali perpendicolari all'asse. Un anello elementare così determinato ha raggio $Rsen\theta$ ,e massa elementare $dm = 2\pi\rho(Rsen\theta)Rd\theta$ .
Inoltre : $ intsin^3\theta = intsen\theta(1-cos^2\theta) = -cos\theta + (cos^3\theta)/3 $ .
Ma tu vuoi il momento di inerzia assiale della sfera, giusto? Allora :
$ int_0^\pi (R sen\theta)^2* 2\pi\rho(Rsen\theta)Rd\theta = 2\pi\rhoR^4int_0^\pi sen^3\theta = 2\pi\rhoR^4*4/3 = 2/3MR^2$
In altri termini, ho diviso la sfera cava in "strisce" mediante piani orizzontali perpendicolari all'asse. Un anello elementare così determinato ha raggio $Rsen\theta$ ,e massa elementare $dm = 2\pi\rho(Rsen\theta)Rd\theta$ .
Inoltre : $ intsin^3\theta = intsen\theta(1-cos^2\theta) = -cos\theta + (cos^3\theta)/3 $ .
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