Calcolo momento di inerzia di un triangolo
ciao a tutti,
sono nuovo e ho un problema da porvi, dato il testo
il dubbio riguarda il calcolo del momento di inerzia del sistema. vi spiego meglio:
1-il momento di inerzia I di un'asta è [tex]1 / 12 m(l)^2[/tex]
2- il momento di inerzia di un'asta rispetto al centro di massa del sistema che è a [tex]sqrt(3) * (1 / 2 - 1 / 3)l[/tex] dall'asta stessa è (applicando il teorema di huygens-stainer): [tex]1 / 12 m(l)^2[/tex] + [tex]m * (sqrt(3) * (1 / 2 - 1 / 3)l) ^2[/tex] = [tex]1/6ml^2[/tex]
3- essendo tre le aste ed essendo tutte e tre distanti 3^(1/2)*(1/2-1/3)l dai rispettivi centri delle aste [tex]3 * 1/6ml^2[/tex] = [tex]1/2ml^2[/tex]
4- il sistema non ruota attorno al centro di massa del sistema ma attorno al vertice di un triangolo, quindi appl. nuovamente huygens-stainer (considerando che il centro di massa dista [tex](1/(sqrt(3))) * l[/tex]si ottiene: [tex]1/2ml^2 + 1/3ml^2 = 5/6ml^2.[/tex]
quindi mi viene 5/6ml^2 però il risultato "giusto" è 1/2ml^2, dove sbaglio? sapreste darmi una grandissima mano
?
grazie per la vostra disponibilità
sono nuovo e ho un problema da porvi, dato il testo
Sia dato un corpo costituito da una sbarra omogenea di sezione trascurabile (densità lineica λ=1 kg/m) sagomata in modo da formare un triangolo equilatero di lato l =25 cm. Il triangolo sia sospeso in uno dei vertici ad un asse orizzontale intorno al quale possa ruotare senza attrito.
il dubbio riguarda il calcolo del momento di inerzia del sistema. vi spiego meglio:
1-il momento di inerzia I di un'asta è [tex]1 / 12 m(l)^2[/tex]
2- il momento di inerzia di un'asta rispetto al centro di massa del sistema che è a [tex]sqrt(3) * (1 / 2 - 1 / 3)l[/tex] dall'asta stessa è (applicando il teorema di huygens-stainer): [tex]1 / 12 m(l)^2[/tex] + [tex]m * (sqrt(3) * (1 / 2 - 1 / 3)l) ^2[/tex] = [tex]1/6ml^2[/tex]
3- essendo tre le aste ed essendo tutte e tre distanti 3^(1/2)*(1/2-1/3)l dai rispettivi centri delle aste [tex]3 * 1/6ml^2[/tex] = [tex]1/2ml^2[/tex]
4- il sistema non ruota attorno al centro di massa del sistema ma attorno al vertice di un triangolo, quindi appl. nuovamente huygens-stainer (considerando che il centro di massa dista [tex](1/(sqrt(3))) * l[/tex]si ottiene: [tex]1/2ml^2 + 1/3ml^2 = 5/6ml^2.[/tex]
quindi mi viene 5/6ml^2 però il risultato "giusto" è 1/2ml^2, dove sbaglio? sapreste darmi una grandissima mano
?grazie per la vostra disponibilità
Risposte
Ciao chna1991 e benvenuta nel forum!!!
Ricorda che il momento d'inerzia è una quantità additiva nel senso che, se il tuo sistema è composto da varie parti, puoi sommare i momenti d'inerzia delle singole parti per ottenere quello totale. Non mi è del tutto chiaro il tuo modo di procedere.... Mi sembra che il modo più semplice sia di considerare i due lati adiacenti al vincolo come sbarre che ruotano attorno ad un estremo. In formule usi il teorema di H-S per spostare il momento d'inerzia dal centro della sbarra ad un estremo. A questi aggiungi quello della sbarra "di base" che ancora una volta puoi trovare usando H-S.
Concludo con qualche avvertenza "logistica".
Se prima di "sqrt" metti il simbolo "\" e usi le graffe, invece delle tonde, ti viene fuori così \( \sqrt{3} \). Qui puoi trovare un utilissimo tutorial per l'editor delle formule.
Il teorema si chiama di Huygens-Steiner...Steiner con la "e"....
Buon forum!!
Ricorda che il momento d'inerzia è una quantità additiva nel senso che, se il tuo sistema è composto da varie parti, puoi sommare i momenti d'inerzia delle singole parti per ottenere quello totale. Non mi è del tutto chiaro il tuo modo di procedere.... Mi sembra che il modo più semplice sia di considerare i due lati adiacenti al vincolo come sbarre che ruotano attorno ad un estremo. In formule usi il teorema di H-S per spostare il momento d'inerzia dal centro della sbarra ad un estremo. A questi aggiungi quello della sbarra "di base" che ancora una volta puoi trovare usando H-S.
Concludo con qualche avvertenza "logistica".
Se prima di "sqrt" metti il simbolo "\" e usi le graffe, invece delle tonde, ti viene fuori così \( \sqrt{3} \). Qui puoi trovare un utilissimo tutorial per l'editor delle formule.
Il teorema si chiama di Huygens-Steiner...Steiner con la "e"....
Buon forum!!
grazie alle.fabbri [tex]\sqrt3[/tex]
io ho provato come dici tu e mi viene [tex](3/2)ml^2[/tex] (ma non è il risultato giusto che è [tex](1/2)ml^2[/tex])vi spiego come ho fatto:
1- momento di inerzia rispetto al centro dell'asta: [tex](1/12)ml^2[/tex]
2- momento di inerzia dell'asta rispetto ad un suo estremo applicando H-S [tex](1/3)ml^2[/tex]
3- essendo due estremi coincidenti nell'estremo ruotante: [tex]2*(1/3)ml^2 = (2/3)ml^2[/tex]
4- l'ultimo lato dista [tex]l*sin60[/tex] appl. sempre H-S ottengo: [tex](1/12)ml^2+(3/4)ml^2 = (5/6)ml^2[/tex]
5- sommando i vari momenti di inerzia ottengo: [tex](2/3)ml^2 + (5/6)ml^2 = (3/2)ml^2[/tex]
dove ho sbagliato?
grazie
[tex]\sqrt3[/tex]io ho provato come dici tu e mi viene [tex](3/2)ml^2[/tex] (ma non è il risultato giusto che è [tex](1/2)ml^2[/tex])vi spiego come ho fatto:
1- momento di inerzia rispetto al centro dell'asta: [tex](1/12)ml^2[/tex]
2- momento di inerzia dell'asta rispetto ad un suo estremo applicando H-S [tex](1/3)ml^2[/tex]
3- essendo due estremi coincidenti nell'estremo ruotante: [tex]2*(1/3)ml^2 = (2/3)ml^2[/tex]
4- l'ultimo lato dista [tex]l*sin60[/tex] appl. sempre H-S ottengo: [tex](1/12)ml^2+(3/4)ml^2 = (5/6)ml^2[/tex]
5- sommando i vari momenti di inerzia ottengo: [tex](2/3)ml^2 + (5/6)ml^2 = (3/2)ml^2[/tex]
dove ho sbagliato?
grazie
Scusami...ho letto con disattenzione il testo e ho risposto ad una domanda diversa. Avevo capito che il triangolo era libero di ruotare, attorno ad un vertice, nel piano del triangolo. Invece un'attenta lettura del testo mi fa capire che il triangolo è, sì, libero di ruotare ma attorno alla sua altezza. Quindi il momento d'inerzia totale è dato dalla somma di tre contributi: i due lati obliqui e la base. Quello della base è facile perchè è un'asta che ruota attorno al suo centro di massa, quindi \( I_b = ml^2/12 \). Per calcolare il contributo del lato obliquo devi usare la definizione e cioè
[tex]\displaystyle{ I = \int r^2 dm }[/tex]
dove \( r \) è la distanza dell'elemento \( dm \) dall'asse di rotazione. Se disegni l'asta lunga \( l \) inclinata di un angolo \( \theta \) rispetto all'asse di rotazione, prendiamo \( x \) per comodità. Allora avrai che \( dm = m/l dx \) mentre \( r = x \sin \theta \). Dunque per un lato obliquo
[tex]\displaystyle{I_{o} = \frac{m}{l} \sin^2 \theta \int_0^l x^2 dx = \frac{m l^2}{3} \sin^2 \theta }[/tex]
siccome nel tuo caso \( \theta = 30° \) ottieni
[tex]\displaystyle{I_{o} = \frac{m l^2}{12} }[/tex]
Quindi in definitiva hai tre contributi uguali e ottieni
[tex]\displaystyle{I_{tot} = 3 \times \frac{m l^2}{12} = \frac{m l^2}{4} }[/tex]
......
mmmmm
......
ma tu dici che il risultato dovrebbe venire \( ml^2 / 2 \) quindi mi sa che o ho sbagliato qualcosa oppure....il tuo risultato è indiscutibilmente affidabile?
[tex]\displaystyle{ I = \int r^2 dm }[/tex]
dove \( r \) è la distanza dell'elemento \( dm \) dall'asse di rotazione. Se disegni l'asta lunga \( l \) inclinata di un angolo \( \theta \) rispetto all'asse di rotazione, prendiamo \( x \) per comodità. Allora avrai che \( dm = m/l dx \) mentre \( r = x \sin \theta \). Dunque per un lato obliquo
[tex]\displaystyle{I_{o} = \frac{m}{l} \sin^2 \theta \int_0^l x^2 dx = \frac{m l^2}{3} \sin^2 \theta }[/tex]
siccome nel tuo caso \( \theta = 30° \) ottieni
[tex]\displaystyle{I_{o} = \frac{m l^2}{12} }[/tex]
Quindi in definitiva hai tre contributi uguali e ottieni
[tex]\displaystyle{I_{tot} = 3 \times \frac{m l^2}{12} = \frac{m l^2}{4} }[/tex]
......
mmmmm
......
ma tu dici che il risultato dovrebbe venire \( ml^2 / 2 \) quindi mi sa che o ho sbagliato qualcosa oppure....il tuo risultato è indiscutibilmente affidabile?
guarda che hai letto bene, in effetti mi sono scordato di mettere l'immagine del triangolo... il triangolo appartiene ad un piano verticale ed esso ruota attorno ad un suo vertice
per farti un esempio: dato il triangolo nell'immagine esso ruota attorno ad A
quindi non ruota attorno all'altezza ma attorno ad un suo vertice.
il risultato è "affidabile" dato che per adesso ho fatto una cinquantina di esercizi e non ho mai avuto errori. mi dirai che sono un aristotelico
però mi sembra una cosa strana..,
quindi dovrei avrei sbagliato secondo te?
grazie
per farti un esempio: dato il triangolo nell'immagine esso ruota attorno ad A
quindi non ruota attorno all'altezza ma attorno ad un suo vertice.
il risultato è "affidabile" dato che per adesso ho fatto una cinquantina di esercizi e non ho mai avuto errori. mi dirai che sono un aristotelico
però mi sembra una cosa strana.., quindi dovrei avrei sbagliato secondo te?
grazie
Ok, ho ri-riletto il testo e hai ragione te. La stanchezza...scusa se ti ho creato confusione. Allora l'ultimo conto postato da te è quello giusto. Ti viene un fattore \( 3 \) di troppo forse perchè stai prendendo la massa dei lati come \(m\) e non come \(m/3\) ?
"alle.fabbri":
Ok, ho ri-riletto il testo e hai ragione te. La stanchezza...scusa se ti ho creato confusione.
ma che scherzi!
sei stato di grande aiuto, dato che io non ero così certo di come stavo procedendo, invece avendo un altro punto di vista, riesco a capire i miei errori. ritornando al problema...mmm... non ne sono sicuro, però potresti avere ragione dato che in effetti la massa "m" che metto è la massa di ciascuna sbarra e non la totale che è [tex]3m[/tex] (secondo il mio ragionamento ed il tuo grande supporto)
quindi tu vorresti dire che in realtà la massa "m" che mette nei risultati è in realtà la massa di tutto il sistema?
ora non sono a casa e non posso ricontrollare, stasera ti dico se mi torna il ragionamento
PS ieri sono tornato tardi e non sono risucito ad aprire il pc... comunque ho ripensato e riflettuto al problema: hai ragione tu, ti ringrazio ancora dell'aiuto
grazie
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