Calcolo momento di inerzia di un cilindro
Salve a tutti,
mi servirebbe un aiuto per capire se è giusto il modo che ho usato per calcolare il momento di inerzia di un cilindro pieno di raggio R, altezza h e densità $\rho$ rispetto ad un'asse passante per il centro di massa perpendicolare all'asse di simmetria. Praticamente so che il risultato dovrebbe essere:
$I=I_1+I_2=(1/12)*M*h^2 + (1/4)*M*R^2$
la prima parte riesco a calcolarla immaginando il cilindro affettato il tanti dischi di altezza dz, e quindi considerando $dV=pi*R^2*dz$ da cui:
$dI_1=2*z^2*rho*pi*R^2*dz$ $rArr$ $I_1=2*rho*pi*R^2*int_{0}^{h/2} z^2 dz=(1/12)*M*h^2$ con $M= rho*pi*R^2*h$
Ora la seconda parte io la farei considerando una corona circolare di raggio r e di spessore dr che "taglia" il rettangolo in tanti gusci di altezza h e prendendo l'elementino di volume dV compreso fra l'angolo infinitesimo $dvartheta$ quindi:
$dV=r*dvartheta*h*dr
la distanza minima dall'asse di rotazione dovrebbe essere rsen$\vartheta$ e quindi:
$dI_2=h*rho*r^3*dr* (sin vartheta)^2*dvartheta$ $rArr$ $I_2=h*rho*int_{0}^{R} r^3 dr * int_{0}^{2\pi} (sin vartheta)^2 dvartheta =(1/4)*M*R^2$
per favore potete dirmi se è giusto o se ho sbagliato qualcosa???? grazie mille
mi servirebbe un aiuto per capire se è giusto il modo che ho usato per calcolare il momento di inerzia di un cilindro pieno di raggio R, altezza h e densità $\rho$ rispetto ad un'asse passante per il centro di massa perpendicolare all'asse di simmetria. Praticamente so che il risultato dovrebbe essere:
$I=I_1+I_2=(1/12)*M*h^2 + (1/4)*M*R^2$
la prima parte riesco a calcolarla immaginando il cilindro affettato il tanti dischi di altezza dz, e quindi considerando $dV=pi*R^2*dz$ da cui:
$dI_1=2*z^2*rho*pi*R^2*dz$ $rArr$ $I_1=2*rho*pi*R^2*int_{0}^{h/2} z^2 dz=(1/12)*M*h^2$ con $M= rho*pi*R^2*h$
Ora la seconda parte io la farei considerando una corona circolare di raggio r e di spessore dr che "taglia" il rettangolo in tanti gusci di altezza h e prendendo l'elementino di volume dV compreso fra l'angolo infinitesimo $dvartheta$ quindi:
$dV=r*dvartheta*h*dr
la distanza minima dall'asse di rotazione dovrebbe essere rsen$\vartheta$ e quindi:
$dI_2=h*rho*r^3*dr* (sin vartheta)^2*dvartheta$ $rArr$ $I_2=h*rho*int_{0}^{R} r^3 dr * int_{0}^{2\pi} (sin vartheta)^2 dvartheta =(1/4)*M*R^2$
per favore potete dirmi se è giusto o se ho sbagliato qualcosa???? grazie mille
Risposte
Quando calcolo la seconda parte, funzione integranda $y^2$, io ottengo delle sezioni rettangolari di dimensioni $h$ e $2sqrt(R^2 - y^2)$
con $-R <= y <= +R$. L'integrale risultante nella sola variabile $y$, risolvibile con il metodo di sostituzione, sembra più complicato del tuo. In ogni modo non ho controllato il tuo procedimento e, se proprio non è necessario, eviterei di farlo perchè mi sembra, se corretto, comunque meno lineare. Anche se ho l'impressione che sia lo stesso procedimento utilizzando altre coordinate.
con $-R <= y <= +R$. L'integrale risultante nella sola variabile $y$, risolvibile con il metodo di sostituzione, sembra più complicato del tuo. In ogni modo non ho controllato il tuo procedimento e, se proprio non è necessario, eviterei di farlo perchè mi sembra, se corretto, comunque meno lineare. Anche se ho l'impressione che sia lo stesso procedimento utilizzando altre coordinate.
Si i due integrali sono la stessa cosa solo che io ho considerato un elemento di volume diverso. Quello che vorrei sapere è se giusto considerare il momento di inerzia totale come la somma di due momenti calcolati nelle due direzioni o se c'è un modo per trovare un dV che in un solo calcolo me le includa tutte e due...non so se mi sono spiegata chiaramente...spero di si... 
Poi mi arrabbio perchè non trovo un solo libro che invece di mettere solo il risultato faccia anche tutto il calcolo
Poi mi arrabbio perchè non trovo un solo libro che invece di mettere solo il risultato faccia anche tutto il calcolo
Supponiamo che il cilindro sia simmetrico rispetto al piano $xy$ e abbia l'asse $z$ come asse. Possiamo calcolare indifferentemente uno dei seguenti integrali:
$\int_M(y^2 + z^2)dM$
$\int_M(x^2 + z^2)dM$
Consideriamo il primo dei due integrali. Per rispondere alla tua domanda, bisogna capire la forma dell'elemento di volume per il quale la funzione integranda è costante, calcolare questo elemento di volume in modo elementare, sperando non sia necessario a sua volta un integrale, e parametrizzarlo rispetto alla variabile di integrazione. In questo modo si potrebbe risolvere con un solo integrale semplice. Dovendo essere $y^2 + z^2 = cost$, si tratta dell'intersezione tra il cilindro di partenza e un cilindro di raggio variabile con assi perpendicolari. Non mi sembra particolarmente agevole. Se, viceversa, imposti un integrale triplo in coordinate cilindriche, metodo "forza bruta", di fatto devi comunque svolgere due integrali, ma senza doverti preoccupare di troppe considerazioni geometriche.
$\int_M(y^2 + z^2)dM$
$\int_M(x^2 + z^2)dM$
Consideriamo il primo dei due integrali. Per rispondere alla tua domanda, bisogna capire la forma dell'elemento di volume per il quale la funzione integranda è costante, calcolare questo elemento di volume in modo elementare, sperando non sia necessario a sua volta un integrale, e parametrizzarlo rispetto alla variabile di integrazione. In questo modo si potrebbe risolvere con un solo integrale semplice. Dovendo essere $y^2 + z^2 = cost$, si tratta dell'intersezione tra il cilindro di partenza e un cilindro di raggio variabile con assi perpendicolari. Non mi sembra particolarmente agevole. Se, viceversa, imposti un integrale triplo in coordinate cilindriche, metodo "forza bruta", di fatto devi comunque svolgere due integrali, ma senza doverti preoccupare di troppe considerazioni geometriche.
Grazie mille 
Non sono proprio piena di "scienza matematica" ma credo di aver capito 
Non sono proprio piena di "scienza matematica" ma credo di aver capito
Guarda, avevi già fatto un ottimo lavoro nel tuo primo messaggio.
Ah che bello allora qualcosa l'ho appresa grazie!
grazie!
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