Calcolo momento della forza banale

[feddy]

Un corpo puntiforme di massa $m = 2.4 kg$ è attaccato all’estremità di un’asta rigida, sottile, avente massa trascurabile e lunghezza L = 1.2 m avente l’altra estremità una cerniera liscia.
Un secondo corpo puntiforme di massa $M = 2m$ è fissato all’asta nel suo punto di mezzo. Il corpo fissato all’estremità inferiore dell’asta è tirato lateralmente da una corda in configurazione orizzontale in modo tale che l’asta formi un angolo $theta=pi/3 rad=60°$ con la verticale.

Calcolare:

a) a tensione T della corda; $[T = 4mg]$
b) la reazione R esercitata dalla cerniera in O;
$[R_x =-3mg; Ry =-4mg]$
c) nell’ipotesi che la corda improvvisamente si spezzi, la velocità angolare di rotazione del sistema quando l’asta raggiunge le configurazione verticale.



SOL.:

Non riesco a ottenere la soluzione per la tensione... per gli altri punti, una volta trovata, dovrei sapere come procedere.
In particolare, credo di sbagliare nel valutare l'ampiezza di qualche angolo, ma, forse vista l'ora, non riesco a "scovare" l'errore.

L'angolo per trovare il modulo del prodotto vettoriale è quello che ottengo applicando i due vettori in uno stesso punto.

a)

Dal momento che il sistema è in equilibrio, allora si ha che il momento delle forze esterne agenti sul sistema è uguale a 0.

Calcolo quindi i vari momenti.

Come polo prendo l'origine O.

Momento della forza peso per la massa M: $ L/2Mgsen(60)=mgLsen(60)=mgLsqrt(3)/2 $

Momento della forza peso perla massa m: $ Lmgsen(60)=mgLsqrt(3)/2 $

Momento della tensione: $ mTsen(90-60)=mTsen(30)=mT/2 $

Da cui trovo che $T=-2sqrt(3)mg$, in contrasto con la soluzione $T=4mg$.

[donald_zeka]

Momento di M: $mgLsqrt(3)/2$
Momento di m: $mgLsqrt(3)/2$
Momento di T: $TL/2$

Per l'equilibrio deve essere:

$TL/2=2*mgLsqrt(3)/2$

Da cui:

$T=2mgsqrt(3)$

Ovviamente tutti i termini che ho usato sono in modulo

[feddy]

grazie per la risposta, (nonostante l'ora ), ...quindi la soluzione del testo è errata ?

Un'ultima cosa: per l'equilibrio devo avere che $vecM=0$, pertanto considerando il verso dei momenti avrei : $TL/2-mgLsqrt(3)/2 -mgLsqrt(3)/2=0 $.

E' corretto ?

[donald_zeka]

La risposta del libro è errata, deve valere $vecM=0$ ma il verso positivo dei momenti lo puoi scegliere come ti pare, l'unica cosa certa è che il momento di T ha segno opposto al momento di m e M

[feddy]

Grazie mille, perfetto !