Calcolo momento centrifugo due aste
ciao a tutti..
non riesco a capire come calcolare il momento d'inerzia centrifugo rispetto agli assi xz di tale sistema di aste saldate fra loro in modo da formare un angolo di 90°.
Le due aste hanno ugual lunghezza l ma diversa massa m ed M.
Ho pensato di farlo con il teorema di Huygens ma non sono sicuro del risultato, e quindi vorrei capire come farlo impostando l'integrale dalla definizione di momento centrifugo. Ovviamente se avessi avuto la stessa massa il momento sarebbe stato nullo ma in questo caso ho masse diverse e mi trovo un pò in difficoltà.
grazie a tutti!
non riesco a capire come calcolare il momento d'inerzia centrifugo rispetto agli assi xz di tale sistema di aste saldate fra loro in modo da formare un angolo di 90°.
Le due aste hanno ugual lunghezza l ma diversa massa m ed M.
Ho pensato di farlo con il teorema di Huygens ma non sono sicuro del risultato, e quindi vorrei capire come farlo impostando l'integrale dalla definizione di momento centrifugo. Ovviamente se avessi avuto la stessa massa il momento sarebbe stato nullo ma in questo caso ho masse diverse e mi trovo un pò in difficoltà.
grazie a tutti!
Risposte
marghe,
l'asta che sta sopra ha una densità lineare $\delta_1 = m/l$ , quindi un tratto elementare $dl$ ha massa $dm =\delta_1*dl$
Analogamente, l'asta che sta sotto ha densità lineare $\delta_2 = M/l$ , quindi un tratto elementare $dl$ ha massa $dM =\delta_2*dl$.
Perciò puoi calcolare i momenti centrifughi della prima asta e della seconda, tenendo presente l'espressione del momento centrifugo per $dm$ ( analogamente per $dM$). Attenzione ai segni quando integri.
l'asta che sta sopra ha una densità lineare $\delta_1 = m/l$ , quindi un tratto elementare $dl$ ha massa $dm =\delta_1*dl$
Analogamente, l'asta che sta sotto ha densità lineare $\delta_2 = M/l$ , quindi un tratto elementare $dl$ ha massa $dM =\delta_2*dl$.
Perciò puoi calcolare i momenti centrifughi della prima asta e della seconda, tenendo presente l'espressione del momento centrifugo per $dm$ ( analogamente per $dM$). Attenzione ai segni quando integri.
ok..allora vediamo se è corretto: considero l'elemento infinitesimo di massa come $dm=delta(x^2+z^2)dxdz$
innanzi tutto calcolo la massa per la prima asta di massa m e cioè $m=int_{0}^{l} int_0^(l-x) (x^2+z^2)delta dzdx=l^4delta/6$
dopo mi calcolo il momento centrifugo della rispettiva asta $I_(xy)=-int_{0}^{l} int_0^(l-x) xz(x^2+z^2)delta dzdx=-l^6delta/60$ e sostituendo trovo $I_(xy)=-l^2m/10$.
passo adesso alla seconda asta:
la massa M sarà: $M=int_{0}^{l} int_0^(x-l) (x^2+z^2)delta dzdx=-l^4delta/6$
e il momento d'inerzia $I_(xy)=int_{0}^{l} int_0^(x-l) xz(x^2+z^2)delta dzdx=l^6delta/60$ (avendo qui considerato che il meno della definizione di momento centrifugo moltiplicato per il meno della distanza ($-z$) dall'asse x, considerando il sistema di riferimento, mi farà avere un $+$) e sostituendo $I_(xy)=-l^2M/10$
sommando quindi i due momenti d'inerzia trovo $I_(xy)=-l^2m/10-l^2M/10$
è esatto?
il che però non mi torna tanto:
innanzi tutto come può tornarmi una massa negativa?????
inoltre se ipoteticamente io avessi due masse uguali delle due aste il momento centrifugo dovrebbe tornare uguale 0 e quindi, se facessi singolarmente i momenti delle due aste e li sommassi, avrei una differenza fra due quantità che sicuramente si annullerebbero qui invece, pur avendo due masse diverse $m$ ed $M$ e quindi sapendo che la loro differenza non sarebbe pari a 0, ciò non avviene, (probabilmente proprio il fatto del segno meno alla massa che mi torna mi pone quest'ultimo dubbio)
innanzi tutto calcolo la massa per la prima asta di massa m e cioè $m=int_{0}^{l} int_0^(l-x) (x^2+z^2)delta dzdx=l^4delta/6$
dopo mi calcolo il momento centrifugo della rispettiva asta $I_(xy)=-int_{0}^{l} int_0^(l-x) xz(x^2+z^2)delta dzdx=-l^6delta/60$ e sostituendo trovo $I_(xy)=-l^2m/10$.
passo adesso alla seconda asta:
la massa M sarà: $M=int_{0}^{l} int_0^(x-l) (x^2+z^2)delta dzdx=-l^4delta/6$
e il momento d'inerzia $I_(xy)=int_{0}^{l} int_0^(x-l) xz(x^2+z^2)delta dzdx=l^6delta/60$ (avendo qui considerato che il meno della definizione di momento centrifugo moltiplicato per il meno della distanza ($-z$) dall'asse x, considerando il sistema di riferimento, mi farà avere un $+$) e sostituendo $I_(xy)=-l^2M/10$
sommando quindi i due momenti d'inerzia trovo $I_(xy)=-l^2m/10-l^2M/10$
è esatto?
il che però non mi torna tanto:
innanzi tutto come può tornarmi una massa negativa?????
inoltre se ipoteticamente io avessi due masse uguali delle due aste il momento centrifugo dovrebbe tornare uguale 0 e quindi, se facessi singolarmente i momenti delle due aste e li sommassi, avrei una differenza fra due quantità che sicuramente si annullerebbero qui invece, pur avendo due masse diverse $m$ ed $M$ e quindi sapendo che la loro differenza non sarebbe pari a 0, ciò non avviene, (probabilmente proprio il fatto del segno meno alla massa che mi torna mi pone quest'ultimo dubbio)
Scusa, ma la prima asta non ha massa $m$? E la seconda non ha massa $M$? Non ho capito che hai fatto...Perchè vuoi calcolare le masse, che hai già????
Devi scrivere il momento centrifugo elementare, per un tratto $dl=sqrt(dx^2 +dz^2)$ della prima asta, tenendo presente come si esprime il momento centrifugo, e poi lo devi integrare, tenendo conto che l'asta di sopra è un segmento che appartiene ad una retta, parallela alla bisettrice del 2° e 4° quadrante, il che ti consente di esprimere $z$ in funzione di $x$. Altrettanto dicasi per l'asta di sotto, che è un segmento parallelo alla bisettrice del 1° e 3° quadrante. Io farei così.
La densità $\delta_1$ ( e così pure la $\delta_2$ per l'asta di sotto) va fuori il segno di integrale perchè è costante, no? Non hai tenuto conto che sono diverse, le densità?
Per integrare rispetto ad $x$, considera che gli estremi di integrazione sono $0$ ed $1$, dove naturalmente il secondo estremo é in realtà : $x=1 = l/sqrt2$
Devi scrivere il momento centrifugo elementare, per un tratto $dl=sqrt(dx^2 +dz^2)$ della prima asta, tenendo presente come si esprime il momento centrifugo, e poi lo devi integrare, tenendo conto che l'asta di sopra è un segmento che appartiene ad una retta, parallela alla bisettrice del 2° e 4° quadrante, il che ti consente di esprimere $z$ in funzione di $x$. Altrettanto dicasi per l'asta di sotto, che è un segmento parallelo alla bisettrice del 1° e 3° quadrante. Io farei così.
La densità $\delta_1$ ( e così pure la $\delta_2$ per l'asta di sotto) va fuori il segno di integrale perchè è costante, no? Non hai tenuto conto che sono diverse, le densità?
Per integrare rispetto ad $x$, considera che gli estremi di integrazione sono $0$ ed $1$, dove naturalmente il secondo estremo é in realtà : $x=1 = l/sqrt2$
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