Calcolo massa e momento d'inerzia
Mi potete dare una mano con questo problema....
Un cilindro di raggio R e altezza h ha una densità che dipende dalla distanza dall’asse r secondo la
legge p(r)=p0(r/R). Calcolare:
a) la massa del cilindro e b) il momento d’inerzia del cilindro.
Un cilindro di raggio R e altezza h ha una densità che dipende dalla distanza dall’asse r secondo la
legge p(r)=p0(r/R). Calcolare:
a) la massa del cilindro e b) il momento d’inerzia del cilindro.
Risposte
Integri la densità sul volume del cilindro in coordinate cilindriche
Come sono le "coordinate cilindriche"?
$\{(x=r\cos\theta),(y=r\sin\theta),(z=z):}$
Detto in parole povere, siccome la densità dipende solo dal raggio r, puoi immaginare il cilindro costituito da infiniti tubi vuoti con la parete di spessore infinitesimo e concentrici tra loro (di raggio crescente). Ogni tubo ha una densità uniforme (poiché dipende da r). Basta calcolare la funzione massa o momento d'inerzia per ogni r, e integrare per r che va da 0 a R.
Ok,grazie ho capito 
Ma quando invece di un cilindro ho un'altra figura....
Approffitto (solo per fare un esempio) questo problema:
Da una lamiera omogenea avente una densità superficiale di massa σ, si
taglia una “bandierina” a forma di triangolo rettangolo di cateti a e b, la
quale poi viene sospesa in modo che possa ruotare intorno al cateto lungo a,
che è disposto orizzontalmente
a) Si calcoli massa e momento d’inerzia della bandierina
Ma quando invece di un cilindro ho un'altra figura....
Approffitto (solo per fare un esempio) questo problema:
Da una lamiera omogenea avente una densità superficiale di massa σ, si
taglia una “bandierina” a forma di triangolo rettangolo di cateti a e b, la
quale poi viene sospesa in modo che possa ruotare intorno al cateto lungo a,
che è disposto orizzontalmente
a) Si calcoli massa e momento d’inerzia della bandierina
"One":
a) Si calcoli massa e momento d’inerzia della bandierina
La massa è banalmente $\sigma {ab}/2$ no?
Per il momento di inerzia la formula generale è $\int_{M} r^2dm $ dove r è la distanza dall'asse di rotazione.
Ponendo la bandierina in un sistema x-y, col lato b parallelo a x e y asse di rotazione, si può ridurre il calcolo a un integrale semplice. Ad esempio si osserva che procedendo ad affettare la bandierina secondo fettine parallele all'asse di rotazione, ognuna di queste fette ha momento di inerzia $dI=\sigma x^2 y dx$, dove y è l'altezza della fettina e dx il suo spessore. Scrivendo y in funzione di x si ha $y = a(1 - \frac{x}{b})$.
Sostituendo nell'integrale:
$I=\int_{0}^{b} \sigma x^2ydx = \int_{0}^{b} \sigma ax^2(1 - \frac{x}{b})dx = \sigma a\frac{b^3}{12}$
Ritornando al problema del cilindro,potresti (se hai voglia) darmi i risultati,almeno posso confrontali con i miei
Grazie
Grazie
Salvo errori dovrebbe essere così:
$dV = 2\pi rhdr$
$dm = \rho dV = \rho _0\frac{r}{R}2\pi rhdr$
$M = \int_0^R dm = \frac{2\pi h\rho _0}{R}\int_0^R r^2dr = \frac{2}{3}\rho _0\pi R^2h$
$I = \int_0^R r^2dm = \frac{2\pi h\rho _0}{R}\int_0^R r^4dr = \frac{2}{5}\rho _0\pi R^4h$
$dV = 2\pi rhdr$
$dm = \rho dV = \rho _0\frac{r}{R}2\pi rhdr$
$M = \int_0^R dm = \frac{2\pi h\rho _0}{R}\int_0^R r^2dr = \frac{2}{3}\rho _0\pi R^2h$
$I = \int_0^R r^2dm = \frac{2\pi h\rho _0}{R}\int_0^R r^4dr = \frac{2}{5}\rho _0\pi R^4h$
Thank you 
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