Calcolo lagrangiana
buonasera, sto trovando difficoltà a capire se ho correttamente calcolato la lagrangiana nei seguenti 2 problemi(mi interessa capire se ho fisicamente compreso il testo più che i conti)
$"primo esercizio"$
Un anellino di massa $m$ scorre senza attrito lungo una circonferenza di raggio $R$ che ruota, con velocità angolare costante $w_0$, attorno ad un asse verticale che contiene il suo diametro.
il mio tentativo è stato il seguente:
$d/dt(phi)=w_0$
$(x,y,z)=(Rsin(theta)cos(phi),Rsin(theta)sin(phi),Rcos(theta))$
$d/dt(x,y,z)=(Rcos(theta)d/dt(theta)cos(phi)-Rd/dt(phi)sin(phi)sin(theta),Rcos(theta)d/dt(theta)sin(phi)+Rd/dt(phi)cos(phi)sin(theta),-Rd/dt(theta)sin(theta))$
quindi $L=T-U=T-(U_"centrifuga"+U_"peso")=1/2m((d/dt(x,y,z))^2)-(1/2mw_0^2(x^2+y^2) + mgRcos(theta))$
$"secondo esercizio"$
una sbarra rigida, di massa $m$ e lunghezza $l$,estremi $A$ e $B$ è libera di ruotare in un piano orizzontale attorno al punto medio $O$. Un anellino,della stessa massa $m$, è libero di scorrere sulla sbarra(senza attrito), ed è legato al punto $O$ da una forza elastica di costante $k$.
il mio tentativo è il seguente:
$(x,y)=(rcos(theta),rsin(theta))$
$d/dt(x,y)=(d/dt(r)cos(theta)-d/dt(theta)rsin(theta),d/dt(r)sin(theta)+d/dt(theta)rcos(theta))$
$L=T-U=T_"anellino"+T_"sbarra"-U_"anellino"=1/2m((d/dt(x,y))^2)+1/2*1/(12)ml^2(d/dt(theta))^2-1/2kr^2$
grazie
$"primo esercizio"$
Un anellino di massa $m$ scorre senza attrito lungo una circonferenza di raggio $R$ che ruota, con velocità angolare costante $w_0$, attorno ad un asse verticale che contiene il suo diametro.
il mio tentativo è stato il seguente:
$d/dt(phi)=w_0$
$(x,y,z)=(Rsin(theta)cos(phi),Rsin(theta)sin(phi),Rcos(theta))$
$d/dt(x,y,z)=(Rcos(theta)d/dt(theta)cos(phi)-Rd/dt(phi)sin(phi)sin(theta),Rcos(theta)d/dt(theta)sin(phi)+Rd/dt(phi)cos(phi)sin(theta),-Rd/dt(theta)sin(theta))$
quindi $L=T-U=T-(U_"centrifuga"+U_"peso")=1/2m((d/dt(x,y,z))^2)-(1/2mw_0^2(x^2+y^2) + mgRcos(theta))$
$"secondo esercizio"$
una sbarra rigida, di massa $m$ e lunghezza $l$,estremi $A$ e $B$ è libera di ruotare in un piano orizzontale attorno al punto medio $O$. Un anellino,della stessa massa $m$, è libero di scorrere sulla sbarra(senza attrito), ed è legato al punto $O$ da una forza elastica di costante $k$.
il mio tentativo è il seguente:
$(x,y)=(rcos(theta),rsin(theta))$
$d/dt(x,y)=(d/dt(r)cos(theta)-d/dt(theta)rsin(theta),d/dt(r)sin(theta)+d/dt(theta)rcos(theta))$
$L=T-U=T_"anellino"+T_"sbarra"-U_"anellino"=1/2m((d/dt(x,y))^2)+1/2*1/(12)ml^2(d/dt(theta))^2-1/2kr^2$
grazie
Risposte
Ho forti dubbi sul termine centrifugo che hai scritto esplicitamente nel primo problema, in realtà nel formalismo lagrangiano viene fuori dal termine di energia cinetica.
Prova a svolgere tutti i conti, per entrambi, (la lagrangiana infine deve essere una funzione delle coordinate generalizzate che hai scelto: quali sono?) e in particolare prova a vedere le equazioni del moto che vengono fuori nel primo problema.
Tornando alla tua domanda, riguardo l'interpretazione della configurazione del sistema (immagino sia questo quello che intendessi) nei problemi, quale sarebbe il tuo dubbio?
Prova a svolgere tutti i conti, per entrambi, (la lagrangiana infine deve essere una funzione delle coordinate generalizzate che hai scelto: quali sono?) e in particolare prova a vedere le equazioni del moto che vengono fuori nel primo problema.
Tornando alla tua domanda, riguardo l'interpretazione della configurazione del sistema (immagino sia questo quello che intendessi) nei problemi, quale sarebbe il tuo dubbio?
parto al contrario: il secondo esercizio ti torna scritto in questo modo?
mentre invece per il secondo esercizio, onestamente non ho capito come scriveresti la lagrangiana: $U_"centrifuga"$ diventerebbe una $T_"centrifuga"$?
perchè questa scelta?
solitamente noi abbiamo visto sempre l'uso di $U_"centrifuga"$ però potrebbe essere sempre stato un errore.
p.s.: quello che fisicamente avevo dubbi era appunto sulla corretta interpretazione di energia cinetica, centrifuga ecc
grazie
mentre invece per il secondo esercizio, onestamente non ho capito come scriveresti la lagrangiana: $U_"centrifuga"$ diventerebbe una $T_"centrifuga"$?
perchè questa scelta?
solitamente noi abbiamo visto sempre l'uso di $U_"centrifuga"$ però potrebbe essere sempre stato un errore.
p.s.: quello che fisicamente avevo dubbi era appunto sulla corretta interpretazione di energia cinetica, centrifuga ecc
grazie
Sì, il secondo mi pare che tu l'abbia impostato in maniera corretta.
Per sicurezza, però, continua con i calcoli che hai impostato fino ad esprimere la lagrangiana in termini delle sole coordinate generalizzate. Non sono calcoli difficili.
Per quanto riguarda la mia osservazione: intendo che non devi scrivere nessun termine di potenziale centrifugo esplicito. Un potenziale centrifugo esiste, certamente, ma questo è identificato in un termine risultante dell'energia cinetica una volta che avrai semplificato il tutto.
Più in dettaglio: una volta che derivi l'equ del moto, otterrai che la derivata seconda di $theta$ è pari alla somma di due termini, uno derivante dalla forza gravitazionale, l'altro che deriva da un termine di energia cinetica e proporzionale ad $omega$. Il potenziale "efficace", che devi studiare per trovare gli equilibri, è appunto la somma dei due.
In ogni caso, si può sempre verificare che la lagrangiana che hai scritto è sbagliata per es. derivando le equ del moto e studiando l'equilibrio dinamico a cui conduce, contro un'altra metodologia. E' sempre bene avere un metodo di "backup" come cross-check dei propri risultati.
Per sicurezza, però, continua con i calcoli che hai impostato fino ad esprimere la lagrangiana in termini delle sole coordinate generalizzate. Non sono calcoli difficili.
Per quanto riguarda la mia osservazione: intendo che non devi scrivere nessun termine di potenziale centrifugo esplicito. Un potenziale centrifugo esiste, certamente, ma questo è identificato in un termine risultante dell'energia cinetica una volta che avrai semplificato il tutto.
Più in dettaglio: una volta che derivi l'equ del moto, otterrai che la derivata seconda di $theta$ è pari alla somma di due termini, uno derivante dalla forza gravitazionale, l'altro che deriva da un termine di energia cinetica e proporzionale ad $omega$. Il potenziale "efficace", che devi studiare per trovare gli equilibri, è appunto la somma dei due.
In ogni caso, si può sempre verificare che la lagrangiana che hai scritto è sbagliata per es. derivando le equ del moto e studiando l'equilibrio dinamico a cui conduce, contro un'altra metodologia. E' sempre bene avere un metodo di "backup" come cross-check dei propri risultati.
"Lampo1089":
Sì, il secondo mi pare che tu l'abbia impostato in maniera corretta.
Per sicurezza, però, continua con i calcoli che hai impostato fino ad esprimere la lagrangiana in termini delle sole coordinate generalizzate. Non sono calcoli difficili.
Per quanto riguarda la mia osservazione: intendo che non devi scrivere nessun termine di potenziale centrifugo esplicito. Un potenziale centrifugo esiste, certamente, ma questo è identificato in un termine risultante dell'energia cinetica una volta che avrai semplificato il tutto.
Più in dettaglio: una volta che derivi l'equ del moto, otterrai che la derivata seconda di $theta$ è pari alla somma di due termini, uno derivante dalla forza gravitazionale, l'altro che deriva da un termine di energia cinetica e proporzionale ad $omega$. Il potenziale "efficace", che devi studiare per trovare gli equilibri, è appunto la somma dei due.
In ogni caso, si può sempre verificare che la lagrangiana che hai scritto è sbagliata per es. derivando le equ del moto e studiando l'equilibrio dinamico a cui conduce, contro un'altra metodologia. E' sempre bene avere un metodo di "backup" come cross-check dei propri risultati.
quindi sostanzialmente avrei la seguente situazione?
$d/dt(phi)=w_0$
$(x,y,z)=(Rsin(theta)cos(phi),Rsin(theta)sin(phi),Rcos(theta))$
$d/dt(x,y,z)=(Rcos(theta)d/dt(theta)cos(phi)-Rd/dt(phi)sin(phi)sin(theta),Rcos(theta)d/dt(theta)sin(phi)+Rd/dt(phi)cos(phi)sin(theta),-Rd/dt(theta)sin(theta))$
quindi $L=T-U=T-(U_"peso")=1/2m((d/dt(x,y,z))^2)-mgRcos(theta)$
ho compreso correttamente?
ho compreso correttamente?
sì, continua con la risoluzione e dovresti ottenere il risultato corretto.
Grazie, perché stavo provando appunto a fare i conti ma non sono riuscito ad arrivare alla soluzione.
Domani riprovo e nel caso riporto i conti qui
Domani riprovo e nel caso riporto i conti qui
Scusate se mi intrometto, ma mi pare che l'OP stia complicando le cose inutilmente.
Innanztutto ti conviene individuare le coordinate lagrangiane.
Nel seccondo esercizio, queste sono l'angolo $theta$ che la sbarra forma con uno degli assi (per esempio x) e la distanza dall'origine della massa scorrevole. che chiamaimo $r$. .
L energia cinetica della sbarra é $1/2I_o dottheta^2$, con $I_o=1/12mL^2$
L'energia dell'anellino é: $1/2mr^2dottheta^2+1/2mdotr^2$.
L'enenrgia poteniale delle forze in gioco é quella elastica e quella centrifuga.
Elastica: $U_e=1/2kr^2$
Centrifuga: $U_c=-1/2mdottheta^2r^2$.
La Lagrangiana é $1/2I_o dottheta^2+1/2mr^2dottheta^2+1/2mdotr^2+1/2kr^2-1/2mdottheta^2r^2$
Tutto in funzione di $r$ e $theta$ e delle loro derivate temporali.
Per il primo esercizio, la coordinata lagrangiana piu semplice é l'angolo che il raggio vettore dell'anellino forma con la x. Tutto puó essere descritto tramite quel parametro senza introdurre 28 variabili.
Innanztutto ti conviene individuare le coordinate lagrangiane.
Nel seccondo esercizio, queste sono l'angolo $theta$ che la sbarra forma con uno degli assi (per esempio x) e la distanza dall'origine della massa scorrevole. che chiamaimo $r$. .
L energia cinetica della sbarra é $1/2I_o dottheta^2$, con $I_o=1/12mL^2$
L'energia dell'anellino é: $1/2mr^2dottheta^2+1/2mdotr^2$.
L'enenrgia poteniale delle forze in gioco é quella elastica e quella centrifuga.
Elastica: $U_e=1/2kr^2$
Centrifuga: $U_c=-1/2mdottheta^2r^2$.
La Lagrangiana é $1/2I_o dottheta^2+1/2mr^2dottheta^2+1/2mdotr^2+1/2kr^2-1/2mdottheta^2r^2$
Tutto in funzione di $r$ e $theta$ e delle loro derivate temporali.
Per il primo esercizio, la coordinata lagrangiana piu semplice é l'angolo che il raggio vettore dell'anellino forma con la x. Tutto puó essere descritto tramite quel parametro senza introdurre 28 variabili.
Interessante anche questo modo in effetti!
Grazie
Grazie
sono d'accordo, OP avrebbe dovuto semplificare tutto (cioé esprimere in termini delle coordinate lagrangiane scelte) fin da subito. Dimenticanza importante ma (forse) non grave - magari non ha postato tutto lo svolgimento ma aveva ben chiaro questo.
Però stai attento:
direi proprio di no, i termini centrifughi non vanno inseriti. (ad es. nella lagrangiana che proponi l'energia cinetica di rotazione del sistema assa + massa è sbagliata, perché viene considerato solo il momento di inerzia dell'asta??)
Per approfondire, rimando a questa dispensa (sezione 6.5.3) e in particolare gli esempi svolti:
http://www.mat.unimi.it/users/antonio/m ... ccan_6.pdf
Le equazioni di lagrange, a differenza di quelle di newton, sono invarianti in forma (assumono la stessa forma qualsiasi sia la scelta delle coordinate) e quindi non bisogna aggiungere termini centrifughi espliciti.
edit: per essere più chiaro, supponiamo che la sbarra abbia massa trascurabile: di conseguenza, possiamo trascurare il momento di inerzia e la lagrangiana che hai scritto si riduce a:
$$
L = \frac{1}{2}m\dot{r}^2 + \frac{1}{2}k r^2
$$
e vedo due problemi:
1) non c'è un termine cinetico per l'angolo. Come determini l'eq del moto per theta?
2) il moto lungo r è armonico. Però sappiamo che se l'asta gira con velocità opportuna la posizione di equilibrio è posta ad una distanza $r^* >0$ dal centro. Qui però il potenziale ha un minimo sempre in $r=0$ e la massa oscillerebbe, nella direzione radiale, sempre attorno r = 0.
Insomma quella lagrangiana porta a conclusioni errate.
Però stai attento:
La Lagrangiana é $ 1/2I_o dottheta^2+1/2mr^2dottheta^2+1/2mdotr^2+1/2kr^2-1/2mdottheta^2r^2 $
direi proprio di no, i termini centrifughi non vanno inseriti. (ad es. nella lagrangiana che proponi l'energia cinetica di rotazione del sistema assa + massa è sbagliata, perché viene considerato solo il momento di inerzia dell'asta??)
Per approfondire, rimando a questa dispensa (sezione 6.5.3) e in particolare gli esempi svolti:
http://www.mat.unimi.it/users/antonio/m ... ccan_6.pdf
Le equazioni di lagrange, a differenza di quelle di newton, sono invarianti in forma (assumono la stessa forma qualsiasi sia la scelta delle coordinate) e quindi non bisogna aggiungere termini centrifughi espliciti.
edit: per essere più chiaro, supponiamo che la sbarra abbia massa trascurabile: di conseguenza, possiamo trascurare il momento di inerzia e la lagrangiana che hai scritto si riduce a:
$$
L = \frac{1}{2}m\dot{r}^2 + \frac{1}{2}k r^2
$$
e vedo due problemi:
1) non c'è un termine cinetico per l'angolo. Come determini l'eq del moto per theta?
2) il moto lungo r è armonico. Però sappiamo che se l'asta gira con velocità opportuna la posizione di equilibrio è posta ad una distanza $r^* >0$ dal centro. Qui però il potenziale ha un minimo sempre in $r=0$ e la massa oscillerebbe, nella direzione radiale, sempre attorno r = 0.
Insomma quella lagrangiana porta a conclusioni errate.
Si, ho fatto 2 errori
Il primo é da bocciatura: mi sono messo nel sistema rotante e ho incluso nellé energia cinetica quella dovuta al trascinamento.
Il secondo é un banale errore di segno dovuto al copy-paste.
Riprendo l'esercizio.
Nel sistema rotante solidale con la sbarra, l'energia cinetica é
$ 1/2I_o dottheta^2$ per la sbarra a cui va sommata quella della massa mobile é $1/2mdotr^2 $
Nel sistema relativo, la forza centrifuga é "reale" e il suo potenziale vale $1/2momega^2r$, mentre il potenziale della molla é $-1/2kr^2$. La lagrangiana ora diventa
$L=1/2I_o dottheta^2+1/2mdotr^2+1/2momega^2r-1/2kr^2$
Alternativamente, se ci mettiamo nel sistema di riferimento fisso non entra in gioco la forza centrifuga perche apparente, a patto di aggiungere il termine di trascinamento $1/2momega^2r$ nel computo dell'energia cinetica, per cui
$E_k=1/2I_o dottheta^2+1/2momega^2r+1/2mdotr^2$
Lunico potenziale é elastico $-1/2kr^2$ e quindi
$L=1/2I_o dottheta^2+1/2momega^2r+1/2mdotr^2-1/2kr^2$
Chiedo scusa per le 2 sviste
Il primo é da bocciatura: mi sono messo nel sistema rotante e ho incluso nellé energia cinetica quella dovuta al trascinamento.
Il secondo é un banale errore di segno dovuto al copy-paste.
Riprendo l'esercizio.
Nel sistema rotante solidale con la sbarra, l'energia cinetica é
$ 1/2I_o dottheta^2$ per la sbarra a cui va sommata quella della massa mobile é $1/2mdotr^2 $
Nel sistema relativo, la forza centrifuga é "reale" e il suo potenziale vale $1/2momega^2r$, mentre il potenziale della molla é $-1/2kr^2$. La lagrangiana ora diventa
$L=1/2I_o dottheta^2+1/2mdotr^2+1/2momega^2r-1/2kr^2$
Alternativamente, se ci mettiamo nel sistema di riferimento fisso non entra in gioco la forza centrifuga perche apparente, a patto di aggiungere il termine di trascinamento $1/2momega^2r$ nel computo dell'energia cinetica, per cui
$E_k=1/2I_o dottheta^2+1/2momega^2r+1/2mdotr^2$
Lunico potenziale é elastico $-1/2kr^2$ e quindi
$L=1/2I_o dottheta^2+1/2momega^2r+1/2mdotr^2-1/2kr^2$
Chiedo scusa per le 2 sviste
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