Calcolo divergenza campo elettrico
sciao
non capisco un passaggio nel calcolo diretto della divergenza del campo elettrostatico generato da una carica puntiforme.
questo è il calcolo
$nabla * vec(E)(vec(r)) = 1/(4 pi epsilon) int int int_(V') nabla * ( (rho(vec(r)) (vec(r) - vec(r)'))/(|vec(r)-vec(r)'|^3)) dV' = 1/(4 pi epsilon) int int int_(V') rho(vec(r)') nabla * ( (vec(r) - vec(r)')/(|vec(r)-vec(r)'|^3)) dV' = 1/epsilon_0 int int int rho(vec(r)') delta(vec(r)-vec(r)') dV' = (rho(vec(r)'))/epsilon_0$
i passaggi che non capisco sono due.
il primo è quando $rho(vec(r)')$ diventa $rho(vec(r))$ e viene portato fuori dall'operatore il secondo è perchè $nabla * (vec(r)-vec(r)')/(|vec(r)-vec(r)'|^3) = 4pi delta(vec(r)-vec(r'))$
cioè l'ultima relazione mi dice che in $vec r = vec r'$ la divergenza è impulsiva e qui ok, m stupirei del contrario, ma perchè quel $4pi$?
non capisco un passaggio nel calcolo diretto della divergenza del campo elettrostatico generato da una carica puntiforme.
questo è il calcolo
$nabla * vec(E)(vec(r)) = 1/(4 pi epsilon) int int int_(V') nabla * ( (rho(vec(r)) (vec(r) - vec(r)'))/(|vec(r)-vec(r)'|^3)) dV' = 1/(4 pi epsilon) int int int_(V') rho(vec(r)') nabla * ( (vec(r) - vec(r)')/(|vec(r)-vec(r)'|^3)) dV' = 1/epsilon_0 int int int rho(vec(r)') delta(vec(r)-vec(r)') dV' = (rho(vec(r)'))/epsilon_0$
i passaggi che non capisco sono due.
il primo è quando $rho(vec(r)')$ diventa $rho(vec(r))$ e viene portato fuori dall'operatore il secondo è perchè $nabla * (vec(r)-vec(r)')/(|vec(r)-vec(r)'|^3) = 4pi delta(vec(r)-vec(r'))$
cioè l'ultima relazione mi dice che in $vec r = vec r'$ la divergenza è impulsiva e qui ok, m stupirei del contrario, ma perchè quel $4pi$?
Risposte
Intanto: l'ultimo termine, come sai è $(\rho(r))/\epsilon_0$ mentre è scritto $\rho(r')$, ma questo penso
sia refuso di digitazione.
Dico quello che ho pensato.
1 passaggio: porto fuori dall'operatore divergenza $\rho(r')$ perchè è divergenza rispetto a $(r, \theta, phi)$ e non $(r',\theta',\phi')$,
per cui porto fuori la funzione indipendente dalle variabili di derivazione.
2 passagio: la divergenza di una funzione di un punto
è il limite per $\Delta\to0$ del flusso della funzione per il bordo di un intorno sferico di raggio $\Delta$ di quel punto.
Il flusso della tua funzione vale proprio $0$ per $r'!=r$ e $int"d"\omega=4\pi$ (l'angolo solido) per $r'\tor$.
Ecco che allora, proprio per la presenza del delta di Dirac, puoi anche porre $\rho(r')->\rho(r)$.
C'è nella formula che hai scritto il passaggio in cui $\rho(r')$ diventa $\rho(r)$ prima dell'apparizione del $\delta$, e questo non
mi dà senso.
sia refuso di digitazione.
Dico quello che ho pensato.
1 passaggio: porto fuori dall'operatore divergenza $\rho(r')$ perchè è divergenza rispetto a $(r, \theta, phi)$ e non $(r',\theta',\phi')$,
per cui porto fuori la funzione indipendente dalle variabili di derivazione.
2 passagio: la divergenza di una funzione di un punto
è il limite per $\Delta\to0$ del flusso della funzione per il bordo di un intorno sferico di raggio $\Delta$ di quel punto.
Il flusso della tua funzione vale proprio $0$ per $r'!=r$ e $int"d"\omega=4\pi$ (l'angolo solido) per $r'\tor$.
Ecco che allora, proprio per la presenza del delta di Dirac, puoi anche porre $\rho(r')->\rho(r)$.
C'è nella formula che hai scritto il passaggio in cui $\rho(r')$ diventa $\rho(r)$ prima dell'apparizione del $\delta$, e questo non
mi dà senso.
premesso che ho sbalgiato(ora ho corretto il messaggio) era $rho(vec r)$ che diventava $rho(vec(r)')$ ma questo è abbastanza ovvio, semplicemente se $vec(r)'$ è la posizione della carica allora $rho=0 \p\e\r vec r != vec(r)'$ quindi il passaggio in effetti è chiaro
premesso che per $r'$ intendo la posizione della carica $rho(r) = 0$ per $r!=r'$ quindi ha senso $(rho(r'))/epsilon$ non $(rho(r))/epsilon$ daltronde l'ultimo integrale è una convoluzione tra un impulso in r' e una funzione costante in r, $rho(r')$ quindi se per le prprietà della delta di dirac si ha $int g(x) delta(x-x0) dx = g(x0)$ dovrebbe essere $int rho(r') delta(r-r') dv = rho(r')$ o no?
grazie!
"orazioster":
Intanto: l'ultimo termine, come sai è $(\rho(r))/\epsilon_0$ mentre è scritto $\rho(r')$, ma questo penso
sia refuso di digitazione.
premesso che per $r'$ intendo la posizione della carica $rho(r) = 0$ per $r!=r'$ quindi ha senso $(rho(r'))/epsilon$ non $(rho(r))/epsilon$ daltronde l'ultimo integrale è una convoluzione tra un impulso in r' e una funzione costante in r, $rho(r')$ quindi se per le prprietà della delta di dirac si ha $int g(x) delta(x-x0) dx = g(x0)$ dovrebbe essere $int rho(r') delta(r-r') dv = rho(r')$ o no?
"orazioster":ottimo. era questo che mi mancava, ora mi documento, se ho qualche problema chiedo qui.
2 passagio: la divergenza di una funzione di un punto
è il limite per $\Delta\to0$ del flusso della funzione per il bordo di un intorno sferico di raggio $\Delta$ di quel punto.
Il flusso della tua funzione vale proprio $0$ per $r'!=r$ e $int"d"\omega=4\pi$ (l'angolo solido) per $r'\tor$.
grazie!
"cyd":
$int g(x) delta(x-x0) dx = g(x0)$ dovrebbe essere $int rho(r') delta(r-r') dv = rho(r')$ o no?
Siccome il dominio di integrazione è$V'$, la convoluzione ti dà $int\rho(r')\delta(r-r')"d"V'=int\rho(r)\delta(r-r')"d"x'=\rho(r)$.
Infatti $"div"\E(r)=(\rho(r))/\epsilon_0$ e non $(\rho(r'))/\epsilon_0$ -quale $r'$ poi?
si, ora è chiaro.. in effetti prima non aveva molto senso
grazie ancora
grazie ancora
-uh! temevo di aver sbagliato il discorso divergenza/flusso -angolo solido.
Avevo pure scritto un messaggio scusandomene.
Ma (eureka) ho visto più a fondo che è corretto (è poi l'idea del Teorema di Gauss):
se considero il flusso del campo sulla superficie di una sferetta, è nullo
per il campo generato da cariche esterne, ed uguale all'angolo solido per le cariche interne.
Tendendo a zero il raggio della sferetta, si ha $4\pi\delta(\vecr-\vecr')$.
Avevo pure scritto un messaggio scusandomene.
Ma (eureka) ho visto più a fondo che è corretto (è poi l'idea del Teorema di Gauss):
se considero il flusso del campo sulla superficie di una sferetta, è nullo
per il campo generato da cariche esterne, ed uguale all'angolo solido per le cariche interne.
Tendendo a zero il raggio della sferetta, si ha $4\pi\delta(\vecr-\vecr')$.
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