Calcolo di un momento incognito
Salve,
Ho il seguente esercizio di cui ho risolto tutto, ma ho un dubbio sul calcolo di $T_2$
$m_2a_(G2)$ e $I_GdotW_2$ sono la forza di inerzia e la coppia di inerzia rispettivamente.
Vi risparmio il calcolo delle reazioni vincolari (che sono corrette)
$V=523.3 N$
$H=54 N$
$V_O=628.75 N$
$H_O=81 N$
Il mio dubbio riguarda il fatto che per calcolare $T_2$ devo fare l'equilibrio dei momenti intorno a un punto. Ottengo $232.07 Nm$ se scelgo come punto $O$ e $229.57 Nm$ se scelgo il baricentro.
Faccio i calcoli in un'unica volta senza usare risultati parziali (quindi niente arrotondamenti) e mi chiedo il perché di questa differenza.
Ho il seguente esercizio di cui ho risolto tutto, ma ho un dubbio sul calcolo di $T_2$
$m_2a_(G2)$ e $I_GdotW_2$ sono la forza di inerzia e la coppia di inerzia rispettivamente.
Vi risparmio il calcolo delle reazioni vincolari (che sono corrette)
$V=523.3 N$
$H=54 N$
$V_O=628.75 N$
$H_O=81 N$
Il mio dubbio riguarda il fatto che per calcolare $T_2$ devo fare l'equilibrio dei momenti intorno a un punto. Ottengo $232.07 Nm$ se scelgo come punto $O$ e $229.57 Nm$ se scelgo il baricentro.
Faccio i calcoli in un'unica volta senza usare risultati parziali (quindi niente arrotondamenti) e mi chiedo il perché di questa differenza.
Risposte
Direi perchè il corpo non è in equilibrio statico ovvero la somma delle forze non è nulla e quindi il momento dipende dal polo scelto secondo la formula:
$vec T_G = vec T_O - (G-O)*Sigma vec F_i$
Guarda se così ti torna.
$vec T_G = vec T_O - (G-O)*Sigma vec F_i$
Guarda se così ti torna.
Non è in equilibrio statico. È pero in equilibrio dinamico, ciò significa che introducendo la forza di inerzia e la coppia di inerzia, la sommatoria delle forze e dei momenti devono essere nulle (equazioni di d' Alambert).
Nella formula di cui sopra compaiono solo le forze effettive non quelle di inerzia per cui c'è differenza tra i 2 momenti.
Ho capito cosa intendi.
Però io ho fatto il diagramma di corpo libero includendo la forza e coppia di inerzia.
Quindi ho le due equazioni di d' Alambert:
$(sumvecF)+vecF_(text(inerzia))=vec0$
$(sumvecM)+vecM_(text(inerzia))=vec0$
Nella seconda equazione compare l'incognita $T_2$
Quindi l'equilibrio dei momenti non dovrebbe dipendere dal punto scelto. Cioè ho un sistema di forze che si annulla. (Ovviamente se cambio punto cambio il momento d'inerzia tramite il teorema dell'asse parallelo)
Però io ho fatto il diagramma di corpo libero includendo la forza e coppia di inerzia.
Quindi ho le due equazioni di d' Alambert:
$(sumvecF)+vecF_(text(inerzia))=vec0$
$(sumvecM)+vecM_(text(inerzia))=vec0$
Nella seconda equazione compare l'incognita $T_2$
Quindi l'equilibrio dei momenti non dovrebbe dipendere dal punto scelto. Cioè ho un sistema di forze che si annulla. (Ovviamente se cambio punto cambio il momento d'inerzia tramite il teorema dell'asse parallelo)
Il problema potrebbe essere proprio aver considerato le forze e i momenti dovuti ai termini inerziali nelle relazioni, cosa molto delicata.
Dovrei pensarci meglio, ma poiché cambia il momento d'inerzia cambierà nei due casi $M_(inerzia)$. Siccome la somma delle forze, vere e d'inerzia, considerate è nulla, non dovrebbe cambiare tra i due punti la somma delle M e quindi la differenza si scaricherà su T2.
Prova a verificare se è così.
Dovrei pensarci meglio, ma poiché cambia il momento d'inerzia cambierà nei due casi $M_(inerzia)$. Siccome la somma delle forze, vere e d'inerzia, considerate è nulla, non dovrebbe cambiare tra i due punti la somma delle M e quindi la differenza si scaricherà su T2.
Prova a verificare se è così.
Ricapitolando,
Guardando il diagramma di corpo libero così com'è abbiamo un sistema di forze e momenti tale che:
$sumvecF=vec0$
$sumvecM=vec0$
Dove sono incluse la forza e la coppia di inerzia.
La seconda equazione vale chiaramente rispetto a un punto qualunque.
Ecco l'equazione dei momenti rispetto al baricentro:
$I_(G2)dotomega_2-T_2+Vr_2/2sinvarphi+V_Or_2/2sinvarphi-H_Or_2/2cosvarphi-Hr_2/2cosvarphi=0leftrightarrowT_2=229.57Nm$
Mentre rispetto al punto $O$:
$(I_(G2)+(r_2/2)^2m_2)dotomega_2-T_2+m_2gr_2/2sinvarphi+Vr_2sinvarphi+m_2a_(G2_y)r_2/2sinvarphi-m_2a_(G2_x)r_2/2cosvarphi-Hr_2cosvarphi=0leftrightarrowT_2=232.07Nm$
Guardando il diagramma di corpo libero così com'è abbiamo un sistema di forze e momenti tale che:
$sumvecF=vec0$
$sumvecM=vec0$
Dove sono incluse la forza e la coppia di inerzia.
La seconda equazione vale chiaramente rispetto a un punto qualunque.
Ecco l'equazione dei momenti rispetto al baricentro:
$I_(G2)dotomega_2-T_2+Vr_2/2sinvarphi+V_Or_2/2sinvarphi-H_Or_2/2cosvarphi-Hr_2/2cosvarphi=0leftrightarrowT_2=229.57Nm$
Mentre rispetto al punto $O$:
$(I_(G2)+(r_2/2)^2m_2)dotomega_2-T_2+m_2gr_2/2sinvarphi+Vr_2sinvarphi+m_2a_(G2_y)r_2/2sinvarphi-m_2a_(G2_x)r_2/2cosvarphi-Hr_2cosvarphi=0leftrightarrowT_2=232.07Nm$
Se considero tutti i termini salvo $T_2$ e $I*dot(omega)$ che non hanno corrispettivo traslazionale, siccome risulta $Sigma F_i = 0$, dovrebbero dare lo stesso valore di momento sia in O che in G (da verificare). Sia M questo valore. Si ha quindi:
Rispetto al baricentro
$I_(G2)*dot(omega_2) - T_2 + M=0$
Rispetto al punto O
$(I_(G2)+(r_2/2)^2*m_2)*dot(omega_2) - T_2 + M=0$
Quindi
$T_(2O) = T_(2G) + (r_2/2)^2*m_2*dot(omega_2)=229.57 + 0.5^2*5*2=229.57 + 2.5 = 232.07 N*m$.
Rispetto al baricentro
$I_(G2)*dot(omega_2) - T_2 + M=0$
Rispetto al punto O
$(I_(G2)+(r_2/2)^2*m_2)*dot(omega_2) - T_2 + M=0$
Quindi
$T_(2O) = T_(2G) + (r_2/2)^2*m_2*dot(omega_2)=229.57 + 0.5^2*5*2=229.57 + 2.5 = 232.07 N*m$.
Quindi il problema sta semplicemente nell equazione di Newton per la rotazione di un corpo rigido.
Essa dice che:
$sumvecM_G=I_Gdotvecomega$
Però si dimostra che per un corpo che ruota attorno a un asse (punto) fisso $O$ vale anche:
$sumvecM_O=I_Odotvecomega$
In entrambe le equazioni compare $T_2$.
Io ho pensato di calcolare $T_2$ con la prima equazione, mentre nella soluzione considerata corretta è stato calcolato con la seconda. Ora la domanda è: chi ha calcolato la "giusta" $T_2$?
Curiosamente se uso lo stesso $I$ per entrambe le equazioni viene fuori lo stesso valore di $T_2$.
Essa dice che:
$sumvecM_G=I_Gdotvecomega$
Però si dimostra che per un corpo che ruota attorno a un asse (punto) fisso $O$ vale anche:
$sumvecM_O=I_Odotvecomega$
In entrambe le equazioni compare $T_2$.
Io ho pensato di calcolare $T_2$ con la prima equazione, mentre nella soluzione considerata corretta è stato calcolato con la seconda. Ora la domanda è: chi ha calcolato la "giusta" $T_2$?
Curiosamente se uso lo stesso $I$ per entrambe le equazioni viene fuori lo stesso valore di $T_2$.
Prova a calcolare nel caso del punto O la T2 senza il termine dipendente dall'accelerazione del baricentro.
Ok, considerando $a_(G2_y)=a_(G2_x)=0$ ho:
$T_2=229.69 Nm$
$T_2=229.69 Nm$
Pensavo ad un risultato identico a quello del baricentro ma comunque questo direi che è il valore corretto, perché è l'equazione della rotazione attorno al punto O dell'asta tenendo conto dei momenti effettivi.
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