Calcolo di un momento d'inerzia per un esercizio
Ciao ragazzi 
,
volevo chiedervi un parere su un problema che mi sono ritrovato a dover risolvere:
Abbiamo un'asta di lunghezza totale $2l$, vincolata nel suo centro, che nel disegno viene raffigurata in posizione verticale.
La sua massa totale è $ 7m $ , che si suddivide in $ 2m $ nella metà superiore e $ 5m $ nella metà inferiore.
Ora l'asta viene ad un certo punto colpita da un proiettile nell'estremità superiore con velocità $ v $ (urto completamente anelastico).
E' un tipico problema che si risolve con la conservazione del momento angolare rispetto al polo di rotazione.
$ I_pw_i = I_aw_f $ con $ I_p $ inerzia proiettile , $ w_i $ velocità angolare iniziale, $ I_a $ inerzia del sistema asta-proiettile, $ w_f $ velocità angolare finale.
Il professore l'ha risolto considerando l'asta come due oggetti distinti che stanno ruotando attorno al centro di rotazione, dunque il momento d'inerzia dopo l'urto gli è venuto:
$ I_a = 1/3(2m)l^2 + 1/3(5m)l^2 + ml^2 $ con la quale trovo un'inerzia di $ 3,333*ml^2 $
Io invece l'ho voluta risolvere considerando l'asta come un oggetto unico, dunque:
- ordinata del centro di massa : $ y = (2m*(l/2)-5m(l/2)+ml)/(7m+m) = - l/16 $
- momento d'inerzia con il teorema di huygens-steiner:
$ I_a = 1/12(7m)4l^2 + (7m)l^2/256 + ml^2 $
con questa formula mi ritrovo un'inerzia di $ 3,3607*ml^2 $
Qualcuno potrebbe spiegarmi dove sbaglio? Grazie mille
,volevo chiedervi un parere su un problema che mi sono ritrovato a dover risolvere:
Abbiamo un'asta di lunghezza totale $2l$, vincolata nel suo centro, che nel disegno viene raffigurata in posizione verticale.
La sua massa totale è $ 7m $ , che si suddivide in $ 2m $ nella metà superiore e $ 5m $ nella metà inferiore.
Ora l'asta viene ad un certo punto colpita da un proiettile nell'estremità superiore con velocità $ v $ (urto completamente anelastico).
E' un tipico problema che si risolve con la conservazione del momento angolare rispetto al polo di rotazione.
$ I_pw_i = I_aw_f $ con $ I_p $ inerzia proiettile , $ w_i $ velocità angolare iniziale, $ I_a $ inerzia del sistema asta-proiettile, $ w_f $ velocità angolare finale.
Il professore l'ha risolto considerando l'asta come due oggetti distinti che stanno ruotando attorno al centro di rotazione, dunque il momento d'inerzia dopo l'urto gli è venuto:
$ I_a = 1/3(2m)l^2 + 1/3(5m)l^2 + ml^2 $ con la quale trovo un'inerzia di $ 3,333*ml^2 $
Io invece l'ho voluta risolvere considerando l'asta come un oggetto unico, dunque:
- ordinata del centro di massa : $ y = (2m*(l/2)-5m(l/2)+ml)/(7m+m) = - l/16 $
- momento d'inerzia con il teorema di huygens-steiner:
$ I_a = 1/12(7m)4l^2 + (7m)l^2/256 + ml^2 $
con questa formula mi ritrovo un'inerzia di $ 3,3607*ml^2 $
Qualcuno potrebbe spiegarmi dove sbaglio? Grazie mille
Risposte
Il momento di inerzia di un'asta non omogenea non può essere calcolato con la formula dell'asta omogenea.
Qui però abbiamo la facilitazione che l'asta è la somma di 3 elementi omogenei, dunque il tuo professore ha potuto sommare i 3 contributi dopo aver calcolato separatamente ciascuno.
Per capire come questo fatto possa essere teoricamente giustificabile, occorre richiamarsi alla definizione generale del momento di inerzia di un corpo che gira attorno a un asse. Esso è la somma di infiniti contributi di masse infinitesime ciascuna moltiplicata per il quadrato della sua distanza dall'asse. Nel caso di un'asta, se l'asse è ortogonale all'asta possiamo prendere infiniti elementi lineari d'asta con la loro distanza y dall'asse, ovvero in una formula:
$$I = \int_M {{y^2}dm} $$
ovvero passando alla densità lineare:
$$I = \int_{{y_1}}^{{y_2}} {{y^2}\lambda \left( y \right)dy} $$
dove definiamo densità lineare la grandezza:
$$\lambda \left( y \right) = \frac{{dm\left( y \right)}}
{{dy}}$$
Notiamo che la densità è funzione di y, dunque se conosciamo questa funzione possiamo calcolare l'integrale.
Se l'asta è omogenea è agevole estrarre la densità dal segno di integrale e allora il risultato si trova facilmente:
$$I = \int_{{y_1}}^{{y_2}} {{y^2}\lambda dy} = \lambda \int_{{y_1}}^{{y_2}} {{y^2}dy} = \lambda \left( {\frac{{{y_2}^3}}
{3} - \frac{{{y_1}^3}}
{3}} \right)$$
Se l'asta omogenea è lunga l e ha massa m, e l'asse si trova a un estremo, allora si ha:
$$I = \frac{m}
{l}\left( {\frac{{{l^3}}}
{3}} \right) = \frac{1}
{3}m{l^2}$$
e questa è la formula usata dal tuo prof. per ciascuna componente omogenea dell'asta composta.
Se l'asta non è omogenea bisogna richiamarsi alla formula generale, però se abbiamo la fortuna che l'asta sia composta da pezzi omogenei ciascuno di lunghezza l, e da una massa concentrata, allora ecco che l'integrale generale può essere spezzato:
$$\eqalign{
& I = \int_{ - l}^0 {{y^2}{\lambda _1}dy} + \int_0^l {{y^2}{\lambda _2}dy} + {l^2}m \cr
& I = {\lambda _1}\int_{ - l}^0 {{y^2}dy} + {\lambda _2}\int_0^l {{y^2}dy} + {l^2}m \cr
& I = \frac{{2m}}
{l}\frac{{{l^3}}}
{3} + \frac{{5m}}
{l}\frac{{{l^3}}}
{3} + {l^2}m = \frac{{10}}
{3}m{l^2} \cr} $$
Tu invece hai trattato l'asta come fosse omogenea (e in più hai messo il contributo della massa concentrata nel calcolo dell'ordinata del CM, mentre non ce lo dovevi mettere se poi la massa concentrata la consideravi alla fine per aggiungere il suo contributo al momento di inerzia complessivo).
Qui però abbiamo la facilitazione che l'asta è la somma di 3 elementi omogenei, dunque il tuo professore ha potuto sommare i 3 contributi dopo aver calcolato separatamente ciascuno.
Per capire come questo fatto possa essere teoricamente giustificabile, occorre richiamarsi alla definizione generale del momento di inerzia di un corpo che gira attorno a un asse. Esso è la somma di infiniti contributi di masse infinitesime ciascuna moltiplicata per il quadrato della sua distanza dall'asse. Nel caso di un'asta, se l'asse è ortogonale all'asta possiamo prendere infiniti elementi lineari d'asta con la loro distanza y dall'asse, ovvero in una formula:
$$I = \int_M {{y^2}dm} $$
ovvero passando alla densità lineare:
$$I = \int_{{y_1}}^{{y_2}} {{y^2}\lambda \left( y \right)dy} $$
dove definiamo densità lineare la grandezza:
$$\lambda \left( y \right) = \frac{{dm\left( y \right)}}
{{dy}}$$
Notiamo che la densità è funzione di y, dunque se conosciamo questa funzione possiamo calcolare l'integrale.
Se l'asta è omogenea è agevole estrarre la densità dal segno di integrale e allora il risultato si trova facilmente:
$$I = \int_{{y_1}}^{{y_2}} {{y^2}\lambda dy} = \lambda \int_{{y_1}}^{{y_2}} {{y^2}dy} = \lambda \left( {\frac{{{y_2}^3}}
{3} - \frac{{{y_1}^3}}
{3}} \right)$$
Se l'asta omogenea è lunga l e ha massa m, e l'asse si trova a un estremo, allora si ha:
$$I = \frac{m}
{l}\left( {\frac{{{l^3}}}
{3}} \right) = \frac{1}
{3}m{l^2}$$
e questa è la formula usata dal tuo prof. per ciascuna componente omogenea dell'asta composta.
Se l'asta non è omogenea bisogna richiamarsi alla formula generale, però se abbiamo la fortuna che l'asta sia composta da pezzi omogenei ciascuno di lunghezza l, e da una massa concentrata, allora ecco che l'integrale generale può essere spezzato:
$$\eqalign{
& I = \int_{ - l}^0 {{y^2}{\lambda _1}dy} + \int_0^l {{y^2}{\lambda _2}dy} + {l^2}m \cr
& I = {\lambda _1}\int_{ - l}^0 {{y^2}dy} + {\lambda _2}\int_0^l {{y^2}dy} + {l^2}m \cr
& I = \frac{{2m}}
{l}\frac{{{l^3}}}
{3} + \frac{{5m}}
{l}\frac{{{l^3}}}
{3} + {l^2}m = \frac{{10}}
{3}m{l^2} \cr} $$
Tu invece hai trattato l'asta come fosse omogenea (e in più hai messo il contributo della massa concentrata nel calcolo dell'ordinata del CM, mentre non ce lo dovevi mettere se poi la massa concentrata la consideravi alla fine per aggiungere il suo contributo al momento di inerzia complessivo).
Risposta puntuale e precisa grazie mille
Non ho però capito l'ultima frase sulla massa concentrata e momento d'inerzia potresti gentilmente spiegarmela? 
grazie milleNon ho però capito l'ultima frase sulla massa concentrata e momento d'inerzia
potresti gentilmente spiegarmela?
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