Calcolo di capacità termiche
Salve,
Il problema che sto cercando di risolvere è il seguente:
un gas è descritto dall'equazione di stato \(\displaystyle p=\frac{nRT}{V}-\frac{n^2A}{V^2} \),
e la sua energia interna è data da \(\displaystyle U= \frac{3}{2}nRT-n^2\frac{A}{V} \), con A costante positiva.
Calcolane capacità termiche a volume costante \(\displaystyle C_V \) e a pressione costante \(\displaystyle C_p \) e dimostra che per A tendente a 0 tendono alle corrispettive costanti per un gas perfetto.
Dalla definizione di capacità termica \(\displaystyle C_x=(\frac{\delta Q}{dT})_x \)
Allora, usando il primo principio
\(\displaystyle C_V= (\frac{dU}{dT})_V + (\frac{pdV}{dT})_V = \frac{3}{2}nR \)
E qua mi blocco. Premetto che non so usare i differenziali quasi per niente, e mi blocco sui calcoli, ma non riesco a calcolare \(\displaystyle C_p \).
Il problema che sto cercando di risolvere è il seguente:
un gas è descritto dall'equazione di stato \(\displaystyle p=\frac{nRT}{V}-\frac{n^2A}{V^2} \),
e la sua energia interna è data da \(\displaystyle U= \frac{3}{2}nRT-n^2\frac{A}{V} \), con A costante positiva.
Calcolane capacità termiche a volume costante \(\displaystyle C_V \) e a pressione costante \(\displaystyle C_p \) e dimostra che per A tendente a 0 tendono alle corrispettive costanti per un gas perfetto.
Dalla definizione di capacità termica \(\displaystyle C_x=(\frac{\delta Q}{dT})_x \)
Allora, usando il primo principio
\(\displaystyle C_V= (\frac{dU}{dT})_V + (\frac{pdV}{dT})_V = \frac{3}{2}nR \)
E qua mi blocco. Premetto che non so usare i differenziali quasi per niente, e mi blocco sui calcoli, ma non riesco a calcolare \(\displaystyle C_p \).
Risposte
Che tenda alle rispettive costanti si dimostra anche senza fare le derivate, visto che l'equazione di stato diventa quella dei gas ideali
Se sai $ C_v +R$ ottieni $ C_p $
Se sai $ C_v +R$ ottieni $ C_p $
"Lucacs":
Che tenda alle rispettive costanti si dimostra anche senza fare le derivate, visto che l'equazione di stato diventa quella dei gas ideali
Se sai $ C_v +R$ ottieni $ C_p $
eh... quella legge è perfettamente valida solo per i gas perfetti! Temo che l'esercizio non abbia "scorciatoie"
Ma se A tende a zero, hai proprio l'equazione di stato dei gas perfetti
L'ordine delle operazioni era ricavare una formula per le capacità termiche, e in seguito passare al limite nelle formule (è chiaro che questo passaggio al limite può anche essere fatto nelle equazioni del gas e dimostrare quanto richiesto).
Comunque sia, ho provato a rifare i calcoli e per la capacità termica a pressione costante ho:
\(\displaystyle C_p= (\frac{\delta Q}{dT})_p=(\frac{dU}{dT})_p + p(\frac{dV}{dT})_p\).
Differenziando l'energia interna:
\(\displaystyle dU=\frac{3}{2}nRdT+\frac{n^2A}{V^2}dV \)
Differenziando l'equazione di stato e imponendo \(\displaystyle dp = 0 \):
\(\displaystyle dp =\frac{nR}{V}dT-\frac{nRT}{V^2}dV+\frac{n^2A}{2V^3}dV=0 \),
da cui
\(\displaystyle dT=(\frac{T}{V}-\frac{nA}{2RV^2})dV \).
Sostituendo nella definizione di \(\displaystyle C_p \) le espressioni di \(\displaystyle p, dU, dT \) troviamo infine:
\(\displaystyle C_p=\frac{3}{2}nR+\frac{2nR^2TV}{2RTV-nA} \), espressione non particolarmente illuminante.
Effettuando il limite per A che va a 0 tuttavia ritroviamo effettivamente \(\displaystyle C_p=\frac{5}{2}nR \).
Comunque sia, ho provato a rifare i calcoli e per la capacità termica a pressione costante ho:
\(\displaystyle C_p= (\frac{\delta Q}{dT})_p=(\frac{dU}{dT})_p + p(\frac{dV}{dT})_p\).
Differenziando l'energia interna:
\(\displaystyle dU=\frac{3}{2}nRdT+\frac{n^2A}{V^2}dV \)
Differenziando l'equazione di stato e imponendo \(\displaystyle dp = 0 \):
\(\displaystyle dp =\frac{nR}{V}dT-\frac{nRT}{V^2}dV+\frac{n^2A}{2V^3}dV=0 \),
da cui
\(\displaystyle dT=(\frac{T}{V}-\frac{nA}{2RV^2})dV \).
Sostituendo nella definizione di \(\displaystyle C_p \) le espressioni di \(\displaystyle p, dU, dT \) troviamo infine:
\(\displaystyle C_p=\frac{3}{2}nR+\frac{2nR^2TV}{2RTV-nA} \), espressione non particolarmente illuminante.
Effettuando il limite per A che va a 0 tuttavia ritroviamo effettivamente \(\displaystyle C_p=\frac{5}{2}nR \).
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