Calcolo delle velocità e accelerazioni (meccanica)
salve a tutti volevo chiedere il vostro aiuto sul calcolo della velocita e accelerazione in un manovellismo
inserisco l'immagine:
si conoscono tutte le dimensioni
mi viene chiesto di:
1) calcolare in forma analitica accelerazione e velocità di A e B
2) calcolare in forma analitica accelerazione e velocità di C rispetto al corpo 5
3) calcolare in forma grafica accelerazione e velocita di A, B e C
il primo punto ci sono riuscito senza problemi e anche parte del terzo (per la precisione accelerazione e velocita di A e B)
ma per il resto non ci sono riuscito
mi potete dare una mano o darmi qualche dritta per risolverlo?
inserisco l'immagine:
si conoscono tutte le dimensioni
mi viene chiesto di:
1) calcolare in forma analitica accelerazione e velocità di A e B
2) calcolare in forma analitica accelerazione e velocità di C rispetto al corpo 5
3) calcolare in forma grafica accelerazione e velocita di A, B e C
il primo punto ci sono riuscito senza problemi e anche parte del terzo (per la precisione accelerazione e velocita di A e B)
ma per il resto non ci sono riuscito
mi potete dare una mano o darmi qualche dritta per risolverlo?
Risposte
Il problema e' che non ho scanner, altrimenti sarebbe molto facile. Quindi ti daro una dritta per cominicare:
Innanzitutto, spero che tu abbia notoato che il sistema ha' un grado di liberta'
Questo significa che puoi descrivere tutto con un parametro. In questo caso l'angolo di rotazione dell'asta OA mi sembra il piu conveniente (ma non necessariamente l'unico).
Il punto, analiticamente, si avra' una velocita' \( v_a=\dot{\theta }\cdot l_a \) .
L'accelerazione e' semplicemente \( a_a=\ddot{\theta }\cdot l_a \) per quanto riguarda l'accelrazione tangenziale. Quella radiale (in funzione di $\theta$), dammela tu.
Per il punto B puoi procedere in 2 modi:
Metodo (1)
\( \vec{v_b}= \vec{v_a}+\dot{\varphi}\vec{k}\times \vec{AB} \) . Sta a te esprimere $\varphi$ in funzione di $\theta$, tenendo conto anche che la velocita in B e' solo orizzontale.
Fatto cio' , basta derivare per ottenere la accelerazione di B.
Metodo (2)
Si trova il centro di rotazione dell'asta AB ($C_R$). Tale centro e' l'intersezione tra prolungamento di OA e l'ortogonale passante per B.
E' un triangolo rettangolo, i cui lati si esprimono facilmente in funzione di $\theta$ e $\varphi$ e delle lunghezze delle easte OA e AB
Rispetto al CdR, la velocita di B e', appunto, solo rotazione. Quindi \( \vec{v_b}= \dot{\varphi}\vec{k}\times \vec{C_RB} \).
Fine della prima domanda.
Seconda domanda.
Il punto C si muove di moto lineare (ha la stessa velocita' di B!). Quindi consoci il moto.
Visto in un sistema di riferimento rotante con 5 (che mi ricorda Mazinga, che non so chi sai chi e', riferimento rotante!!!), il punto C ha solo un moto alternativo sull'asta. La sua distanza dal centro di rotazione e' costante e nota.
Per un angolo generico $\alpha$ di 5 (che puo' sempre essere espresso in funzione di $\theta$, dato che la geometria e' nota, risulta
\( Lcos\alpha=d \)
dove L e' la distanza di C dal centro di rotazione di 5, $\alpha$ e' l'angolo tra la verticale e l'asta 5 e d e' la distanza del punto di rotazione di 5 rispetto all'asse su cui scorre BC.
Quindi la velocita' di C rispetto a 5 e', di fatto \( \frac{dL}{dt} \) . Noto $\alpha=f(\theta)$, basta dunuqe derivare $L=d/cos \alpha$ e risolvi il problema.
Per la parte grafica non ti posso aiutare perche non ho scanner, speriamo in qualche anima buona. Ma se hai chiari i concetti sopra, la risoluzione grafica e' la parte in effetti piu' facile.
Innanzitutto, spero che tu abbia notoato che il sistema ha' un grado di liberta'
Questo significa che puoi descrivere tutto con un parametro. In questo caso l'angolo di rotazione dell'asta OA mi sembra il piu conveniente (ma non necessariamente l'unico).
Il punto, analiticamente, si avra' una velocita' \( v_a=\dot{\theta }\cdot l_a \) .
L'accelerazione e' semplicemente \( a_a=\ddot{\theta }\cdot l_a \) per quanto riguarda l'accelrazione tangenziale. Quella radiale (in funzione di $\theta$), dammela tu.
Per il punto B puoi procedere in 2 modi:
Metodo (1)
\( \vec{v_b}= \vec{v_a}+\dot{\varphi}\vec{k}\times \vec{AB} \) . Sta a te esprimere $\varphi$ in funzione di $\theta$, tenendo conto anche che la velocita in B e' solo orizzontale.
Fatto cio' , basta derivare per ottenere la accelerazione di B.
Metodo (2)
Si trova il centro di rotazione dell'asta AB ($C_R$). Tale centro e' l'intersezione tra prolungamento di OA e l'ortogonale passante per B.
E' un triangolo rettangolo, i cui lati si esprimono facilmente in funzione di $\theta$ e $\varphi$ e delle lunghezze delle easte OA e AB
Rispetto al CdR, la velocita di B e', appunto, solo rotazione. Quindi \( \vec{v_b}= \dot{\varphi}\vec{k}\times \vec{C_RB} \).
Fine della prima domanda.
Seconda domanda.
Il punto C si muove di moto lineare (ha la stessa velocita' di B!). Quindi consoci il moto.
Visto in un sistema di riferimento rotante con 5 (che mi ricorda Mazinga, che non so chi sai chi e', riferimento rotante!!!), il punto C ha solo un moto alternativo sull'asta. La sua distanza dal centro di rotazione e' costante e nota.
Per un angolo generico $\alpha$ di 5 (che puo' sempre essere espresso in funzione di $\theta$, dato che la geometria e' nota, risulta
\( Lcos\alpha=d \)
dove L e' la distanza di C dal centro di rotazione di 5, $\alpha$ e' l'angolo tra la verticale e l'asta 5 e d e' la distanza del punto di rotazione di 5 rispetto all'asse su cui scorre BC.
Quindi la velocita' di C rispetto a 5 e', di fatto \( \frac{dL}{dt} \) . Noto $\alpha=f(\theta)$, basta dunuqe derivare $L=d/cos \alpha$ e risolvi il problema.
Per la parte grafica non ti posso aiutare perche non ho scanner, speriamo in qualche anima buona. Ma se hai chiari i concetti sopra, la risoluzione grafica e' la parte in effetti piu' facile.
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