Calcolo delle equazioni di Lagrange
Buonasera ragazzi,
il problema che mi trovo stasera è il seguente: un punto libero riferito a coordinate polari piane $ r, Theta $ e soggetto alla energia potenziale $ U(r, Theta ) $. Poichè $ x=rcosTheta $ e $ y=rsinTheta $ da cui derivando rispetto al tempo $ x'=r'cosTheta -rTheta 'sinTheta $ e $ y'=r'sinTheta +rTheta 'cosTheta $ e fino a qui tutto ok.
A questo punto però la lagrangiana risulta essere $ L=1/2m(r'^2+r^2Theta ^2)-U(r,Theta ) $ e qui già non capisco l'espressione dell'energia cinetica. Capisco che bisogna elevare al quadrato $ x' $ ma potreste farmi vedere i passaggi, in quale modo si arriva ad avere $ r'^2 $ ?
Successivamente conclude che le equazioni di Lagrange saranno quindi $ mr''-mrTheta '^2=-(partial U)/(partial r) $ e $ md/dt(r^2Theta ')=-(partial U)/(partial Theta ) $ ma anche qui non capisco i passaggi...
Ci tengo molto a capire questo argomento, perciò se qualcuno fosse abbastanza paziente da mostrarmi i passaggi, sarei molto molto grata
il problema che mi trovo stasera è il seguente: un punto libero riferito a coordinate polari piane $ r, Theta $ e soggetto alla energia potenziale $ U(r, Theta ) $. Poichè $ x=rcosTheta $ e $ y=rsinTheta $ da cui derivando rispetto al tempo $ x'=r'cosTheta -rTheta 'sinTheta $ e $ y'=r'sinTheta +rTheta 'cosTheta $ e fino a qui tutto ok.
A questo punto però la lagrangiana risulta essere $ L=1/2m(r'^2+r^2Theta ^2)-U(r,Theta ) $ e qui già non capisco l'espressione dell'energia cinetica. Capisco che bisogna elevare al quadrato $ x' $ ma potreste farmi vedere i passaggi, in quale modo si arriva ad avere $ r'^2 $ ?
Successivamente conclude che le equazioni di Lagrange saranno quindi $ mr''-mrTheta '^2=-(partial U)/(partial r) $ e $ md/dt(r^2Theta ')=-(partial U)/(partial Theta ) $ ma anche qui non capisco i passaggi...
Ci tengo molto a capire questo argomento, perciò se qualcuno fosse abbastanza paziente da mostrarmi i passaggi, sarei molto molto grata
Risposte
Ma scusa, sono banali calcoli da fisica 1...l'energia cinetica in coordinate polari piane...
Bhe, grazie, questo già lo so, rimane il fatto che sono carica di studio e mi sono persa.. se vuoi comunque aiutarmi nonostante siano banali calcoli, ne sarei felice
Eleva al quadrato $dotx$ e $doty$ e sommali tra loro, ricordando che $cos^2+sin^2=1$
$dotx=dotrcostheta-rdotthetasintheta$
$doty=dotrsintheta+rdotthetacostheta$
$dotx^2=dotr^2cos^2theta+r^2dottheta^2sin^2theta-2rdotrdotthetasinthetacostheta$
$doty^2=dotr^2sin^2theta+r^2dottheta^2cos^2theta+2rdotrdotthetasinthetacostheta$
$v^2=dotx^2+doty^2=dotr^2+r^2dottheta^2$
$doty=dotrsintheta+rdotthetacostheta$
$dotx^2=dotr^2cos^2theta+r^2dottheta^2sin^2theta-2rdotrdotthetasinthetacostheta$
$doty^2=dotr^2sin^2theta+r^2dottheta^2cos^2theta+2rdotrdotthetasinthetacostheta$
$v^2=dotx^2+doty^2=dotr^2+r^2dottheta^2$
Tutto chiaro, grazie mille. Mi sono persa in un bicchier d'acqua
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