Calcolo della differenza di potenziale indotta in una spira interna ad un filo rettilineo
Salve, nello svolgere il seguente esercizio di fisica 2 mi sono imbattuto in un dubbio abbastanza specifico che non mi permette di andare avanti nella risoluzione.
Il testo dell'esercizio è il seguente:
<> .
Il problema è seguito da una figura che illustra com'è disposta la spira, non essendo possibile caricare immagini, qualora non fosse stato chiaro il problema vi spiego: il filo di rame ha la forma di un cilindro di raggio R, la spira considerata è un rettangolo avente i due lati corti pari al raggio R del cilindro e i due lati lunghi (di lunghezza L) appartenenti uno all'asse del cilindro in questione, l'altro alla superficie laterale dello stesso.
Per risolvere questo esercizio, che all'apparenza sembra banale ho applicato la legge di Faraday-Lenz, che mi dice che la f.e.m indotta nella spira è pari a:
$e_i=-(d\phi(B))/(dt)$
Devo quindi determinare il flusso magnetico, per determinarlo devo anche determinare l'espressione del campo magnetico, ho pensato quindi che essendo di fronte ad un filo rettilineo indefinito l'espressione del campo magnetico è data dalla legge di Biot-Savart:
$B(r)=(mu_0*i)/(2pir)$
A questo punto bisogna calcolare il flusso magnetico, per far ciò, considerata la mia spira rettangolare ho pensato di prendere delle striscioline infinitesime di spira, di spessore $dr$ e lunghezza $L$ e di calcolare il flusso magnetico infinitesimo che risulterà quindi:
$d\phi(B)=(mu_0*i)/(2pir)*L*dr$
Ho pensato dunque che per calcolare il flusso magnetico attraverso l'intera spira dovevo andare ad integrare il flusso infinitesimo di cui sopra tra gli estremi $0$ ed $R$, cioè calcolare l'integrale:
$phi(B)=int_(0)^(R) (mu_0*i)/(2pir)\ L\ dr $ però questo integrale non mi convince affatto poichè portando fuori il termine $(mu_0*i*L)/(2pi)$ all'interno mi rimane: $int_(0)^(R) 1/r\ dr$ e dovrebbe risultare $ln(r)$ calcolato tra $0$ ed $R$, ma il logaritmo naturale di 0 non esiste, insomma sono convinto che questo risultato presenta un'errore ma non riesco a capire quale.
Poi il proseguo dell'esercizio dovrebbe prevedere il calcolo della derivata del flusso, che credo si ridurrà al calcolo della derivata della corrente rispetto alla variabile tempo, visto che gli altri termini del flusso (quando riuscirò a determinarlo) saranno costanti.
Il testo dell'esercizio è il seguente:
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Il problema è seguito da una figura che illustra com'è disposta la spira, non essendo possibile caricare immagini, qualora non fosse stato chiaro il problema vi spiego: il filo di rame ha la forma di un cilindro di raggio R, la spira considerata è un rettangolo avente i due lati corti pari al raggio R del cilindro e i due lati lunghi (di lunghezza L) appartenenti uno all'asse del cilindro in questione, l'altro alla superficie laterale dello stesso.
Per risolvere questo esercizio, che all'apparenza sembra banale ho applicato la legge di Faraday-Lenz, che mi dice che la f.e.m indotta nella spira è pari a:
$e_i=-(d\phi(B))/(dt)$
Devo quindi determinare il flusso magnetico, per determinarlo devo anche determinare l'espressione del campo magnetico, ho pensato quindi che essendo di fronte ad un filo rettilineo indefinito l'espressione del campo magnetico è data dalla legge di Biot-Savart:
$B(r)=(mu_0*i)/(2pir)$
A questo punto bisogna calcolare il flusso magnetico, per far ciò, considerata la mia spira rettangolare ho pensato di prendere delle striscioline infinitesime di spira, di spessore $dr$ e lunghezza $L$ e di calcolare il flusso magnetico infinitesimo che risulterà quindi:
$d\phi(B)=(mu_0*i)/(2pir)*L*dr$
Ho pensato dunque che per calcolare il flusso magnetico attraverso l'intera spira dovevo andare ad integrare il flusso infinitesimo di cui sopra tra gli estremi $0$ ed $R$, cioè calcolare l'integrale:
$phi(B)=int_(0)^(R) (mu_0*i)/(2pir)\ L\ dr $ però questo integrale non mi convince affatto poichè portando fuori il termine $(mu_0*i*L)/(2pi)$ all'interno mi rimane: $int_(0)^(R) 1/r\ dr$ e dovrebbe risultare $ln(r)$ calcolato tra $0$ ed $R$, ma il logaritmo naturale di 0 non esiste, insomma sono convinto che questo risultato presenta un'errore ma non riesco a capire quale.
Poi il proseguo dell'esercizio dovrebbe prevedere il calcolo della derivata del flusso, che credo si ridurrà al calcolo della derivata della corrente rispetto alla variabile tempo, visto che gli altri termini del flusso (quando riuscirò a determinarlo) saranno costanti.
Risposte
Internamente al conduttore il campo magnetico è funzione lineare del raggio $r$ (distanza del punto dall'asse), e [nota]Supposta una densità di corrente uniforme.[/nota] puoi facilmente determinare la funzione $B(r)$ andando ad applicare la legge della circuitazione di Ampere. 
"RenzoDF":
Internamente al conduttore il campo magnetico è funzione lineare del raggio $r$ (distanza del punto dall'asse), e [nota]Supposta una densità di corrente uniforme.[/nota] puoi facilmente determinare la funzione $B(r)$ andando ad applicare la legge della circuitazione di Ampere.
Grazie della risposta così celere, mi sembra evidente dalla tua risposta che il punto dove è presente un'errore è quello nel quale dico di voler calcolare il campo magnetico all'interno del filo rettilineo indefinito con la legge di Biot-Savart, tra l'altro aggiungo che dopo l'apertura di questo topic sono finalmente riuscito a trovare un'esercizio simile su internet dove però la spira si trovava all'esterno del filo, ad una certa distanza da esso, infatti la scelta di applicare la legge di Biot-Savart in quel caso si è rivelata corretta e ciò mi aveva mandato ancora di più in confusione, comunque, anche se non esplicitamente scritto nel mio libro, ho dedotto che la legge di Biot-Savart la si può applicare per calcolare il campo magnetico prodotto da un filo rettilineo indefinito in un punto esterno posto ad una certa distanza, dunque non posso applicarla quando devo calcolare il campo magnetico all'interno di un filo, come nel caso di questo problema.
Ho dunque applicato la legge di Ampère:
$oint B*ds=mu_0*i rArr B*2pir=mu_0*j*pir^2$, essendo la corrente uniforme nel mio filo: $j=i/(piR^2)$
Quindi:
$i= j*pir^2=i*(r^2)/(R^2)$
Quindi la legge di Ampère mi da come risultato:
$B(r)=(mu_0*i*r)/(2piR^2)$
A questo punto calcolo il mio flusso magnetico infinitesimo come ho detto prima:
$dphi(B)=(mu_0*i*r)/(2piR^2)\ L\ dr rArr phi(B)=int_(0)^(R) (mu_0*i*r)/(2piR^2) \ dr$
Questo integrale (a meno di qualche errore di calcolo) mi ha dato come risultato il flusso, che posso esprimere in funzione del tempo, visto che la corrente varia nel tempo: $phi(t)=(mu_0*L*i(t))/(4pi)$
E quindi la tensione indotta nella spira si calcola come:
$e_i=-(dphi(B))/dt=(mu_0*L)/(4pi)*d/(dt)[i_0*e^(-t/2)]=(mu_0*i_0*L*e^(-t/2))/(8pi)$
"Ema6798":
... Questo integrale (a meno di qualche errore di calcolo) mi ha dato come risultato il flusso, che posso esprimere in funzione del tempo, visto che la corrente varia nel tempo: $phi(t)=(mu_0*L*i(t))/(4pi)$
Ok, ma vista la dipendenza lineare di $B$ da $r$, potevi semplicemente calcolare il flusso via prodotto fra valore medio del campo magnetico e superficie della spira.
"Ema6798":
... E quindi la tensione indotta nella spira si calcola come:
$e_i=-(dphi(B))/dt=(mu_0*L)/(4pi)*d/(dt)[i_0*e^(-t/2)]=(mu_0*i_0*L*e^(-t/2))/(8pi)$
[strike]Scusa ma l'esponente non era inizialmente \(-t^2/2\)
[/strike]
Ok, ammetto che non ricordavo neanche più il teorema della media, fortuna che il mio libro di analisi 1 è sempre al mio fianco, se non ho capito male tu intendi che avrei potuto calcolare il seguente integrale:
$1/Rint_(0)^(R) (mu_0*i*r)/(2piR^2)L*R\ dr$
giungendo allo stesso risultato?
Effettivamente eseguendo i calcoli ottengo lo stesso risultato ma il termine $L*R*dr$ mi manda in confusione, prima infatti $L*dr$ era un'area infinitesima di lunghezza finita $L$ e di spessore infinitesimo $dr$, seguendo il tuo consiglio invece $L*R*dr$ non riesco a capire cosa rappresenta geometricamente parlando.
Ho notato comunque di aver sbagliato la battitura nel testo, aggiungendo un quadrato, errore di distrazione, correggo subito!
$1/Rint_(0)^(R) (mu_0*i*r)/(2piR^2)L*R\ dr$
giungendo allo stesso risultato?
Effettivamente eseguendo i calcoli ottengo lo stesso risultato ma il termine $L*R*dr$ mi manda in confusione, prima infatti $L*dr$ era un'area infinitesima di lunghezza finita $L$ e di spessore infinitesimo $dr$, seguendo il tuo consiglio invece $L*R*dr$ non riesco a capire cosa rappresenta geometricamente parlando.
Ho notato comunque di aver sbagliato la battitura nel testo, aggiungendo un quadrato, errore di distrazione, correggo subito!
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Sì, hai capito male, io intendevo dire che senza "scomodare" nessun integrale, grazie alla dipendenza lineare diretta di $B(r)$ dal generico raggio $r$, ovvero sfruttando il fatto che $B(r)=k r$, il valore del flusso attraverso la spira lo potevi determinare con
$\phi=B(r)_{media}A= \frac{ B(R)}{2} LR$.
"Ema6798":
... Ok, ammetto che non ricordavo neanche più il teorema della media, fortuna che il mio libro di analisi 1 è sempre al mio fianco, se non ho capito male tu intendi che avrei potuto calcolare il seguente integrale:
$1/Rint_(0)^(R) (mu_0*i*r)/(2piR^2)L*R\ dr$
giungendo allo stesso risultato?
Sì, hai capito male, io intendevo dire che senza "scomodare" nessun integrale, grazie alla dipendenza lineare diretta di $B(r)$ dal generico raggio $r$, ovvero sfruttando il fatto che $B(r)=k r$, il valore del flusso attraverso la spira lo potevi determinare con
$\phi=B(r)_{media}A= \frac{ B(R)}{2} LR$.
Ah, ok avevo frainteso, effettivamente così facendo si risparmiano diversi calcoli e si giunge allo stesso risultato, grazie mille.
Scusami per il resto ma non sono ancora molto pratico nell'utilizzo corretto al 100% del forum.
Scusami per il resto ma non sono ancora molto pratico nell'utilizzo corretto al 100% del forum.
Di nulla, figurati.
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