Calcolo del potenziale elettrico generato da un filo indefinito con guscio cilindrico coassiale di dielettrico
Buongiorno, il testo dell'esercizio che non riesco a svolgere è il seguente.
Un filo rettilineo di lunghezza infinita è uniformemente carico con densità lineare (lambda). Un guscio cilindrico di materiale dielettrico omogeneo e isotropo, di costante dielettrica relativa (epsilon r), è posto coassialmente attorno al filo. Il dielettrico ha raggio interno a, raggio esterno b ed altezza h > a, b. Si calcoli:
A. Il campo elettrico E (modulo, direzione, verso) in tutto lo spazio.
B. Il potenziale V in tutto lo spazio
In particolare non riesco proprio a ricondurmi alle soluzioni date dal professore per il punto B
Per il calcolo di E (in funzione della distanza dal filo r) ottengo (utilizzando gauss):
$r
Per il calcolo di V(r) non so proprio come procedere, le soluzioni date dal professore sono le seguenti:
Assunto V(b) = 0 :
$ r
Io sono riuscito ad ottenere le stesse identiche soluzioni ma senza r al denominatore. Non capisco cosa sbaglio.
Grazie in anticipo a chi vorrà aiutarmi.
Un filo rettilineo di lunghezza infinita è uniformemente carico con densità lineare (lambda). Un guscio cilindrico di materiale dielettrico omogeneo e isotropo, di costante dielettrica relativa (epsilon r), è posto coassialmente attorno al filo. Il dielettrico ha raggio interno a, raggio esterno b ed altezza h > a, b. Si calcoli:
A. Il campo elettrico E (modulo, direzione, verso) in tutto lo spazio.
B. Il potenziale V in tutto lo spazio
In particolare non riesco proprio a ricondurmi alle soluzioni date dal professore per il punto B
Per il calcolo di E (in funzione della distanza dal filo r) ottengo (utilizzando gauss):
$r
Per il calcolo di V(r) non so proprio come procedere, le soluzioni date dal professore sono le seguenti:
Assunto V(b) = 0 :
$ r
Io sono riuscito ad ottenere le stesse identiche soluzioni ma senza r al denominatore. Non capisco cosa sbaglio.
Grazie in anticipo a chi vorrà aiutarmi.
Risposte
1) cos'è $h$? Il tubo dielettrico è di lunghezza finita? In questo caso, addio alla simmetria cilindrica...
2) Puoi esporre in dettaglio i tuoi calcoli?
2) Puoi esporre in dettaglio i tuoi calcoli?
Si il tubo cilindrico è di dimensioni finite, forse è proprio per questo motivo che non mi tornano i risultati.
Per il calcolo del potenziale io ho proceduto come segue:
Prima di tutto assumo V(b) = 0
poi, per r > b:
$V(b) - V(r) =$ \( -\int_r^b E(r)\ \text{d} r = - \int_r^b \lambda/(2\pi\epsilon0r)\ \text{d} r \)
Da cui: $ V(r) = \lambdaln(b/r)/(2\pi\epsilon0) $
per a < r < b:
$V(r) - V(b)=$ \( \int_r^b E(r)\ \text{d} r = \int_r^b \lambda/(2r\pi\epsilon0\epsilon r)\ \text{d} r \)
Da cui: $ V(r) = \lambdaln(b/r)/(2\pi\epsilon0\epsilon r) $
per r < a:
$V(r)- V(a)=$ \( \int_r^a E(r)\ \text{d} r = \int_r^a \lambda/(2\pi\epsilon0r)\ \text{d} r = \lambda ln(a/r)/(2\pi\epsilon0)\)
Da cui, dato che $V(a)= \lambdaln(b/a)/(2\pi\epsilon0\epsilon r) $
$V(r) =\lambdaln(b/a)/(2\pi\epsilon0\epsilon r) + \lambda ln(a/r)/(2\pi\epsilon0) $
Per il calcolo del potenziale io ho proceduto come segue:
Prima di tutto assumo V(b) = 0
poi, per r > b:
$V(b) - V(r) =$ \( -\int_r^b E(r)\ \text{d} r = - \int_r^b \lambda/(2\pi\epsilon0r)\ \text{d} r \)
Da cui: $ V(r) = \lambdaln(b/r)/(2\pi\epsilon0) $
per a < r < b:
$V(r) - V(b)=$ \( \int_r^b E(r)\ \text{d} r = \int_r^b \lambda/(2r\pi\epsilon0\epsilon r)\ \text{d} r \)
Da cui: $ V(r) = \lambdaln(b/r)/(2\pi\epsilon0\epsilon r) $
per r < a:
$V(r)- V(a)=$ \( \int_r^a E(r)\ \text{d} r = \int_r^a \lambda/(2\pi\epsilon0r)\ \text{d} r = \lambda ln(a/r)/(2\pi\epsilon0)\)
Da cui, dato che $V(a)= \lambdaln(b/a)/(2\pi\epsilon0\epsilon r) $
$V(r) =\lambdaln(b/a)/(2\pi\epsilon0\epsilon r) + \lambda ln(a/r)/(2\pi\epsilon0) $
Se il tubo cilindrico è di lunghezza finita il campo non dipende più solo da $r$ ma anche dalla posizione rispetto al tubo, e se non sbaglio tutti i calcoli vanno a farsi benedire... IMHO
Si dovrebbe essere così, però nel testo si dice che h è molto maggiore di a e b, magari il professore intende così dire che nella zona dove c'è il tubo cilindrico dielettrico si possono trascurare gli effetti di bordo.
Più che altro perchè i valori del campo elettrico E(r) da me calcolato utilizzando il teorema di Gauss applicato sulla simmetria cilindrica corrispondono alle soluzioni date dal professore.
Inizio a sospettare che magari quei valori di V riportati come soluzioni dal professore siano sbagliati, magari ha aggiunto una r al denominatore per svista. Non saprei davvero.
Più che altro perchè i valori del campo elettrico E(r) da me calcolato utilizzando il teorema di Gauss applicato sulla simmetria cilindrica corrispondono alle soluzioni date dal professore.
Inizio a sospettare che magari quei valori di V riportati come soluzioni dal professore siano sbagliati, magari ha aggiunto una r al denominatore per svista. Non saprei davvero.
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