Calcolo del potenziale con l'equazione di Poisson
Una sfera di raggio $R$ possiede una distribuzione di carica con densità volumetrica $rho$ avente simmetria sferica e un andamento \(\displaystyle \rho(r)=\rho_0[1-\alpha(r/R)^2] \).
(a) Supponendo nota $alpha$, si calcoli il valore del potenziale sulla superficie.
Essendo nota solo la distribuzione di carica, devo calcolare il potenziale dall'equazione di Poission: in coordinate sferiche, \[\displaystyle \nabla^2 V=\frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial r}\left(r^2\frac{\partial V}{\partial r}\right)=\rho_0[1-\alpha(r/R)^2].\] Però nel concreto non so come fare. Posso semplicemente dividere/moltiplicare per $r$ e integrare due volte così: \[ V(r)=\int_0^r\frac{1}{r^2}\left(\int_0^r r^2\rho(r)dr\right)dr\] Però dubito che sia la strada giusta, perché devo per forza suppore \(\displaystyle r\ne 0 \)... qualcuno mi può illuminare?
(a) Supponendo nota $alpha$, si calcoli il valore del potenziale sulla superficie.
Essendo nota solo la distribuzione di carica, devo calcolare il potenziale dall'equazione di Poission: in coordinate sferiche, \[\displaystyle \nabla^2 V=\frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial r}\left(r^2\frac{\partial V}{\partial r}\right)=\rho_0[1-\alpha(r/R)^2].\] Però nel concreto non so come fare. Posso semplicemente dividere/moltiplicare per $r$ e integrare due volte così: \[ V(r)=\int_0^r\frac{1}{r^2}\left(\int_0^r r^2\rho(r)dr\right)dr\] Però dubito che sia la strada giusta, perché devo per forza suppore \(\displaystyle r\ne 0 \)... qualcuno mi può illuminare?
Risposte
Perché non usi la formula "già pronta"
$$V(r) = \frac 1 {4 \pi \epsilon} \int \frac {\rho(r')} {r} d\tau'$$
?
In coordinate sferiche l'elemento di volume $d\tau' = r'^2 sin^2 \phi' dr'd\theta'd\phi'$ e con la legge del coseno puoi scrivere $r = \sqrt{R^2 + z^2 - 2Rzcos\theta'$.
Questo metodo lo trovi spiegato con un esempio nel Griffiths.
$$V(r) = \frac 1 {4 \pi \epsilon} \int \frac {\rho(r')} {r} d\tau'$$
?
In coordinate sferiche l'elemento di volume $d\tau' = r'^2 sin^2 \phi' dr'd\theta'd\phi'$ e con la legge del coseno puoi scrivere $r = \sqrt{R^2 + z^2 - 2Rzcos\theta'$.
Questo metodo lo trovi spiegato con un esempio nel Griffiths.
Scusate se mi intrometto, ma se viene richiesto il solo potenziale sulla superficie, direi che non serva tutta quella "artiglieria".
Non l'avevo mica letto... Hai ragione.
Senza scomodare l'artiglieria magari posso fare così: dal teorema di Gauss prendendo una superficie sferica di raggio $r>R$ ottengo \[\displaystyle E(r)=\frac{1}{\epsilon_04\pi r^2}\int_0^R \rho_0(1+\alpha(r/R)^2 4\pi r^2dr=\frac{1}{\epsilon_0 r^2}\left(\rho_0\frac{R^3}{3}+\alpha\frac{R^3}{5}\right), \] di cui poi posso calcolare l'integrale di linea: \[\displaystyle V(R)-V(\infty)=V(R)=\int_R^\infty \frac{1}{\epsilon_0 r^2}\left(\rho_0\frac{R^3}{3}+\alpha\frac{R^3}{5}\right) dr=\frac{1}{\epsilon_0 }\left(\rho_0\frac{R^2}{3}+\alpha\frac{R^2}{5}\right). \] Se è corretto effettivamente è più semplice 
Eh si infatti! Io non avevo mica letto che bastava calcolarlo solo sulla superficie e pensavo dovessi trovarlo anche dentro la sfera. Anche se, ora che ci penso, pure fosse stato quello il caso passando per il campo elettrica sarebbe stata, di nuovo, la scelta più veloce vista la simmetria del problema.
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