Calcolo del potenziale

[20021991]

Salve a tutti. Ho una sfera uniformemente carica con densità di carica $rho$ e raggio R.
Devo calcolarne campo elettrico e potenziale.

Ho calcolato il campo elettrico e viene:

$ E= rho/(3€0) $ per r
$ E= (rho*R^3)/(3€0r^2) $ per r>R

entrambi vettori radiali uscenti.

Ma non riesco a calcolare il potenziale. Qualcuno potrebbe aiutarmi?

Avevo pensato di applicare la formula integrale prima da 0 ad R, poi da R a infinito... ma è sbagliato:

$ V(0) - V(r) = int_(0)^(r) vec E . vec dr $

$ V(r) - V(oo) = int_(r)^(oo) vec E . vec dr $ (essendo V(oo)=0)

Potreste aiutarmi a capire perché è sbaglaito e coem bisogna fare?

[Davvi1]

Il potenziale lo calcoli assumendo che all'infinito abbia valore nullo, quindi l'integrale da considerare è solo quello che va dall'infinito a r, eventualmente spezzandolo in due se nell'integrazione cambia l'espressione del campo elettrico (r>R o r

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[20021991]

Ma io dove ho sbagliato?

[Sk_Anonymous]

Questa distribuzione di carica, se positiva, fu alla base del famoso modello atomico a "panettone" di Thompson. Il suo successo fu dovuto al fatto che, all'interno della distribuzione di carica, la forza fosse proporzionale alla distanza dal centro, determinando su una carica negativa, l'elettrone, una forza di richiamo elastico. Siccome non riesco a leggere il campo elettrico che hai calcolato, puoi riscrivere meglio le formule?

[20021991]

In che senso non riesci a leggerlo? Io lo vedo. Se ti riferisci al simbolo €0, sta per epsilon con zero

[Sk_Anonymous]

Non lo vedo bene. Dovresti aver scritto questo:

$|vec E|=\rho/(3\epsilon_0)r$ quando $r<=R$

$|vec E|=(\rhoR^3)/(3\epsilon_0)1/r^2$ quando $r>=R$

Come vedi il campo è continuo per $r=R$.

[20021991]

Esatto è proprio quello. Cosa implica il fatto che il campo sia continuo per r=R?

[Sk_Anonymous]

Volevo solo fartelo notare. Non è scontato. Per esempio, quando attraversi la superficie di un conduttore in equilibrio elettrostatico, passi da un campo interno nullo ad un campo esterno diverso da zero dato dal teorema di Coulomb. A questo punto, per calcolare il potenziale evitando notazioni troppo pesanti, ti consiglio di determinare la primitiva cambiata di segno all'interno e all'esterno della sfera, rispetto alla variabile $r$, utilizzando solo per la primitiva interna una costante arbitraria, quella esterna, dovendo annullarsi all'infinito, deve essere nulla. Infine, imponendo la continuità del potenziale anche per $r=R$, potrai determinare anche il valore di quella costante.

[20021991]

Potresti scrivermi i passaggi? Io sono abituato a calcolare il potenziale con le formule integrali che ho scritto nel primo post. Dove ho sbagliato?

[Sk_Anonymous]

Integrando le due espressioni ricavate per il campo elettrico si ottiene:

$V_i(r)=\-rho/(3\epsilon_0)r^2/2+A$ quando $r<=R$

$V_e(r)=(\rhoR^3)/(3\epsilon_0)1/r+B$ quando $r>=R$

Condizione di continuità per $r=R$:

$V_i(R)=V_e(R) rarr \-rho/(3\epsilon_0)R^2/2+A=(\rhoR^3)/(3\epsilon_0)1/R+B$

Condizione di annullamento del potenziale all'infinito:

$V_e(+oo)=0 rarr B=0$

La soluzione del sistema è evidentemente:

$\{(A=(\rhoR^2)/(2\epsilon_0)),(B=0):}$

In definitiva:

$V_i(r)=\-rho/(6\epsilon_0)r^2+(\rhoR^2)/(2\epsilon_0)$ quando $r<=R$

$V_e(r)=(\rhoR^3)/(3\epsilon_0)1/r$ quando $r>=R$

Come puoi notare, all'interno della distribuzione di carica, se fosse presente un elettrone, esso sarebbe soggetto ad un'energia potenziale di tipo elastico. Questo permise di introdurre il concetto di risonanza anche nel fenomeno osservato dell'assorbimento atomico.

[20021991]

Quindi tu calcoli l'integrale del campo e poi ragioni sulle costanti essendo il potenziale definito a meno di una costante.

In questo caso hai uguagliato i due potenziali perché hai notato che il campo è continuo per R=r. Ma se non lo fosse? E' comunque possibile uguagliare i due potenziali al di qua e al di là di una superficie di discontinuità?

(Mi autorisponderei di sì, perché essendo il potenziale una funzione armonica dovrebbe essere continuo e quindi uguale da entrambe le parti ma non vorrei dire una castroneria)

[Sk_Anonymous]

Guarda che tu avresti dovuto fare la stessa cosa, intendo determinare un potenziale continuo. Senza entrare in troppi dettagli matematici, ti hanno mai detto che le proprietà di una funzione "peggiorano" quando ne calcoli le derivate, "migliorano" quando ne calcoli le primitive? Se il campo è continuo, perchè mai dovrebbe non esserlo il potenziale?

[20021991]

Be' intuitivamente posso immaginare il perché. Il fatto stesso di avere una derivata implica che le sue primitive siano continue. Per cui il potenziale elettrico è sempre continuo al di là del fatto che il campo elettrico possa non esserlo (vedi teorema di Coulomb per un conduttore).

Il fatto è che io il potenziale l'avrei calcolato con gli integrali che ho scritto nel primo post, trovando V(r) all'esterno e sostituendolo nel primo integrale al posto di V(R) di fatto è la stessa cosa che hai fatto tu però io sono stato abituato a calcolare direttamente la differenza di potenziale e non la primitiva per ragionare sulle costanti.
Quest'abitudine, probabilmente, mi ha causato una tale confusione e insicurezza sul potenziale elettrico che i libri non sono riusciti a chiarirmi e che ancora mi portano a interrogarmi sul perché (come ci ha detto la nostra professoressa) nel caso dei condensatori, della differenza di potenziale, occorra sempre prendere il modulo.

[alle.fabbri]

Ciao a tutti.

@20021991
La formula da te postata è salvabile. Basta richiamare la definizione di differenza di potenziale. Quest'ultima si può definire come meno l'integrale di linea del campo elettrico da un punto di riferimento (in cui assumi il potenziale nullo) al punto generico. Quindi, come scrivevi tu ma con il prodotto scalare già esplicitato,
[tex]$V(r) - V(\infty) = \int_{r}^{\infty} E(r) \, dr$[/tex]
devi ora distinguere i due casi.
[tex]$\left. r>R \right)$[/tex]
In questo caso (usando la notazione di speculor)
[tex]$E(r) = E_e(r)$[/tex]
quindi
[tex]$V_e(r) = V(r) - V(\infty) = \int_{r}^{\infty} \frac{\rho R^3}{3 \epsilon_0 r^2} \, dr = \frac{\rho R^3}{ \epsilon_0 r}$[/tex]
[tex]$\left. r Ora
[tex]$E(r) = \left{ \begin{cases}E_i(r) \quad , \quad rR \end{cases} \right}$[/tex]
quindi
[tex]$V_i(r) =V(r) - V(\infty) = \int_{r}^{R} \frac{\rho }{3 \epsilon_0 } r \, dr + \int_{R}^{\infty} \frac{\rho R^3}{3 \epsilon_0 r^2} \, dr = \frac{\rho}{6\epsilon_0}(3R^2 - r^2)$[/tex]
e ritrovi i risultati di speculor.
Questo è poi solo un trucchetto per evitare di far spuntare le costanti arbitrarie...

[Sk_Anonymous]

Avevo utilizzato quel procedimento perchè mi sembrava il più diretto. Questo non toglie che si sarebbe dovuto mostrare al nostro comune amico anche l'altro, soprattutto perchè lui da lì era partito. Ti ringrazio per averlo fatto. Devo dire che sei stato all'altezza dell'immagine che riporti vicino al tuo nome.

[20021991]

Grazie Alle.fabbri, nel tuo procedimento mi trovo maggiormente.
Quindi se attorno alla sfera avessi più gusci di materiale dielettrico o conduttore, per calcolare il potenziale applicherei lo stesso procedimento partendo dal guscio più esterno e integrando via via dal generico raggio r a infinito passando per i raggi R(1), R(2), R(3) ecc... ?

[alle.fabbri]

Gran cosa il decadimento beta meno =D !!!!!!!!!!

[Sk_Anonymous]

alle.fabbri, adesso però ti becchi pure il resto!

[alle.fabbri]

Si, esatto. Sempre che tu voglia porre lo zero del potenziale all'infinito. Che non è assolutamente obbligatorio. Nel tuo problema potevi, ad esempio, decidere di porre lo zero del potenziale per [tex]$r=a$[/tex], mettiamo [tex]$a>R$[/tex] per fissare le idee. Tutto quello che dovevi cambiare era il punto di arrivo dell'integrale di linea, cioè
[tex]$V_a(r) = V(r) - V(a) = \int_r^{a} E(r) \, dr$[/tex]
e di nuovo analizzare i due casi, avresti ottenuto (modulo errori di calcolo...)
[tex]$V_a(r) = \begin{cases}\displaystyle{ \frac{\rho}{3\epsilon_0} \left( \frac{3R^2}{2}-\frac{r^2}{2} - \frac{R^3}{a}\right) \quad , \quad rR } \end{cases}$[/tex]

[20021991]

Ok adesso è tutto chiaro. Per analogia, procederei così anche nel caso in cui il campo avesse simmetria cilindrica ecc.