Calcolo del momento d'inerzia elissoide
Ciao a tutti,
sto cercando di risolvere un esercizio di questo tipo:
Un corpo rigido costituito da un elissoide di rotazione di equazione $ (x^2 + y^2) / a^2 + z^2 / b^2 =1 $ avente densità costante $ rho_0 $ e si muove soggetto alla forza peso.
a) Determ. i momenti d'inerzia rispetto ai suoi assi principali x,y,z ; b)..... etc che eventualmente tratterò in seguito.
Nella determinazione dei momenti sono partita da $ J_z = int_C rho_0 r^2 dr = rho_0 int_(-b(1-r^2/a^2)^(1/2)) ^ (b(1-r^2/a^2)^(1/2)) z dz int_0^R r dr int_0^2^pi d theta $ , giusto? $ J_z = 2pi b rho_0 int_0^a r^3 (1-r^2/a^2)^(1/2) dr $
A questo punto mi blocco e non riesco più ad andare avanti...nel calcolo dell'ultimo integrale viene effettuato una sostituzione e poi calcolato per parti, ma rispetto allo svolgimento indicato nel testo ($J_z = 8/15 rho_0 pi b a^4$) a me viene un risultato diverso....qualcuno potrebbe eventualmente dirmi quanto viene, giusto per avere un altro parere e confronto....inoltre nello svolgimento del problema indica che $ J_x=J_y$ , non capisco perchè?
Grazie
sto cercando di risolvere un esercizio di questo tipo:
Un corpo rigido costituito da un elissoide di rotazione di equazione $ (x^2 + y^2) / a^2 + z^2 / b^2 =1 $ avente densità costante $ rho_0 $ e si muove soggetto alla forza peso.
a) Determ. i momenti d'inerzia rispetto ai suoi assi principali x,y,z ; b)..... etc che eventualmente tratterò in seguito.
Nella determinazione dei momenti sono partita da $ J_z = int_C rho_0 r^2 dr = rho_0 int_(-b(1-r^2/a^2)^(1/2)) ^ (b(1-r^2/a^2)^(1/2)) z dz int_0^R r dr int_0^2^pi d theta $ , giusto? $ J_z = 2pi b rho_0 int_0^a r^3 (1-r^2/a^2)^(1/2) dr $
A questo punto mi blocco e non riesco più ad andare avanti...nel calcolo dell'ultimo integrale viene effettuato una sostituzione e poi calcolato per parti, ma rispetto allo svolgimento indicato nel testo ($J_z = 8/15 rho_0 pi b a^4$) a me viene un risultato diverso....qualcuno potrebbe eventualmente dirmi quanto viene, giusto per avere un altro parere e confronto....inoltre nello svolgimento del problema indica che $ J_x=J_y$ , non capisco perchè?
Grazie
Risposte
Il risultato del libro è corretto.
$ J_x = J_y $ per ovvie ragioni di simmetria.
La forma dell'oggetto è la stessa che sia ruotato intorno a x che intorno a y. Prova a "fare" una sezione col piano x=0 e una con y=0, otterrai due ellissi uguali.
$ J_x = J_y $ per ovvie ragioni di simmetria.
La forma dell'oggetto è la stessa che sia ruotato intorno a x che intorno a y. Prova a "fare" una sezione col piano x=0 e una con y=0, otterrai due ellissi uguali.
ok grazie...ora provo...e il procedimento di calcolo iniziato, del momento d'inerzia, è corretto?
come secondo quesito richiede il calcolo della lagrangiana : nel calcolo dell'energia cinetica mi perdo alcune energie... devo considerare sia quelle di rotazioni che di traslazione (dei momenti d'inerzia), giusto? le coordinate dell'elissoide sono analoghe a quelle sferiche. Io considero l'asse z come altezza. Non capisco cosa sto sbagliando...
Così come le hai messe giù sono coordinate cilindriche, non sferiche... non so se è qui il problema.
Comunque nella tua formula manca un x2 (quella prima di "A questo punto mi blocco....").
Comunque nella tua formula manca un x2 (quella prima di "A questo punto mi blocco....").
L'esercizio riporta l'energia cinetica pari a $ T=J_x/2 (dot(theta)^2 + dot(phi)^2 sin^2 theta )+ J_z/2 (dot(varphi)+dot(phi)cos theta)^2 $
la prima componente corrisponde se non erro alla rotazione di Jx mentre la seconda alla traslazione, mentre per Jz sembra considerare la sola traslazione...non ci sto capendo più niente...che confusione...
la prima componente corrisponde se non erro alla rotazione di Jx mentre la seconda alla traslazione, mentre per Jz sembra considerare la sola traslazione...non ci sto capendo più niente...che confusione...
Uhhh.... qui il gioco si fa più incasinato. Sono tutti e due energie di rotazione.
Gli angoli usati sono quelli classici degli angoli di Eulero.
Ma tu sai cosa sono gli angoli di Eulero ? Se non lo sai mi sa che ti dovrai un'attimo familiarizzare altrimenti è un casino.
Non sono proprio intuitivi e banali.
http://www1.unifi.it/detmod/upload/sub/ ... at_IEL.pdf
Gli angoli usati sono quelli classici degli angoli di Eulero.
Ma tu sai cosa sono gli angoli di Eulero ? Se non lo sai mi sa che ti dovrai un'attimo familiarizzare altrimenti è un casino.
Non sono proprio intuitivi e banali.
http://www1.unifi.it/detmod/upload/sub/ ... at_IEL.pdf
Grazie!!! questa parte mi mancava..!!!! Ora vedo di approfondire un po....
Non so se il pdf allegato è molto chiaro, prova a cercare in giro, forse ci sono descrizioni e disegni più chiari e intuitivi. Wikipedia in inglese mi sembra che abbia una buona pagina in merito.
Sto provando e riprovando a calcolare il momento d'inerzia per verificare che dia esattamente il risultato che ho sopra indicato...ma mi son bloccata e non riesco ad andare avanti...lo so che è più una questione matematica che fisica ma...senza quella verifica non riesco ad andare avanti nei calcoli fisici....l'integrale deve riportare 4/15 ed è stato calcolato con integrazione per parti...
Guarda che ci manca un "2".
$ J_z = 2pi b rho_0 int_0^a [ r^3\ 2 (1-r^2/a^2)^(1/2) ] dr $
$ J_z = 2pi b rho_0 int_0^a [ r^3\ 2 (1-r^2/a^2)^(1/2) ] dr $
Grazie!!! ..ma a questo punto te come lo svolgeresti? nel testo di svolgimento che uso come confronto ci sono errori e a questo punto non so più se il risultato riportato è corretto o meno...ho bisogno di confrontarmi...grazie
Con la sostituzione $ r = a sen\theta $
con questa sostituzione otterrei: $ a^4 int_(0)^(1) sin^3 theta cos theta (1-sin^2 theta)^(1/2) d theta $ giusto?
Ho risolto in un altro modo...sapendo che il momento d'inerzia di un ellissoide parte da quello della sfera, ho semplicemente calcolato:
il momento d'inerzia della sfera [tex](2/5)mR^2[/tex] per il volume [tex](4/3)\pi a*b*c[/tex] che nel mio caso corrisponde a [tex](4/3)\pi a^2 *b[/tex].
Quindi per il calcolo di
[tex]Jz = (2/5)m a^2 * (4/3) \pi a^2 b * \rho_0 = (8/15) \pi \rho_0 a^4 b[/tex]
[tex]Jx=Jy = (2/5)m b^2 * (4/3) \pi a^2 b * \rho_0= (8/15) \pi \rho_0 a^2 b^3[/tex]
ciao
il momento d'inerzia della sfera [tex](2/5)mR^2[/tex] per il volume [tex](4/3)\pi a*b*c[/tex] che nel mio caso corrisponde a [tex](4/3)\pi a^2 *b[/tex].
Quindi per il calcolo di
[tex]Jz = (2/5)m a^2 * (4/3) \pi a^2 b * \rho_0 = (8/15) \pi \rho_0 a^4 b[/tex]
[tex]Jx=Jy = (2/5)m b^2 * (4/3) \pi a^2 b * \rho_0= (8/15) \pi \rho_0 a^2 b^3[/tex]
ciao
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