Calcolo del momento di inerzia per un anello sottile
Ho provato senza successo a calcolare il momento di inerzia per la metà di un anello sottile.
Se il mio corpo rigido è un anello non ci sono problemi, ma se tagliassi l'anello e volessi calcolare quanto vale il momento di inerzia di metà anello rispetto all'asse di rotazione passante per il centro, come dovrei fare?
Il momento di inerzia di un qualsiasi corpo rigido è definito come l'integrale esteso a tutto il corpo \(\displaystyle C \) del quadrato della distanza \(\displaystyle r \) di ogni sua particella \(\displaystyle dm \) rispetto all'asse di rotazione \(\displaystyle z \) :
\(\displaystyle I_z = \int_C r^2 dm \)
nel caso dell'anello sottile io pongo: \(\displaystyle dm = \rho_{lin} dl \), in cui \(\displaystyle \rho_{lin} \) è la densità lineare dell'anello che per ipotesi è monodimensionale, privo sia di spessore che di larghezza e \(\displaystyle dl \) è appunto il tratto infinitesimo di lunghezza del mio anello il cui raggio è \(\displaystyle R \).
Se non sbaglio l'integrale è un integrale di linea e dovrebbe essere così strutturato:
\(\displaystyle I_z = \int_{0}^{2\pi R}\rho_{lin} r^2 dl = \rho_{lin} r^2\int_{0}^{2\pi R} dl = 2 \pi R \rho_{lin} r^2\)
ed poiché \(\displaystyle 2 \pi R \rho_{lin} = m \) allora \(\displaystyle I_z = mr^2 \) (con \(\displaystyle m \) massa dell'anello).
Per il discorso di considerare metà anello, direi tranquillamente che \(\displaystyle \pi R \rho_{lin} = m \) il che mi porta a dire, in modo analogo, che \(\displaystyle I_z = mr^2 \) anche per un mezzo anello sottile (con \(\displaystyle m \) massa del mezzo anello) ma il mio intuito non confermerebbe questo perché a rigor di logica (ammesso che non mi sbagli), il momento di inerzia dovrebbe essere funzione dell'angolo che il mio arco di anello ricopre nella rotazione.
E' strano per me pensare che le differenze tra momento di inerzia dell'anello intero e momento di inerzia del mezzo anello, stiano unicamente nella massa (dato che le distanze di ogni punto dal centro del mezzo anello sono identiche a quelle dell'anello intero).
Chi mi può aiutare a chiarire questo dubbio?
Se il mio corpo rigido è un anello non ci sono problemi, ma se tagliassi l'anello e volessi calcolare quanto vale il momento di inerzia di metà anello rispetto all'asse di rotazione passante per il centro, come dovrei fare?
Il momento di inerzia di un qualsiasi corpo rigido è definito come l'integrale esteso a tutto il corpo \(\displaystyle C \) del quadrato della distanza \(\displaystyle r \) di ogni sua particella \(\displaystyle dm \) rispetto all'asse di rotazione \(\displaystyle z \) :
\(\displaystyle I_z = \int_C r^2 dm \)
nel caso dell'anello sottile io pongo: \(\displaystyle dm = \rho_{lin} dl \), in cui \(\displaystyle \rho_{lin} \) è la densità lineare dell'anello che per ipotesi è monodimensionale, privo sia di spessore che di larghezza e \(\displaystyle dl \) è appunto il tratto infinitesimo di lunghezza del mio anello il cui raggio è \(\displaystyle R \).
Se non sbaglio l'integrale è un integrale di linea e dovrebbe essere così strutturato:
\(\displaystyle I_z = \int_{0}^{2\pi R}\rho_{lin} r^2 dl = \rho_{lin} r^2\int_{0}^{2\pi R} dl = 2 \pi R \rho_{lin} r^2\)
ed poiché \(\displaystyle 2 \pi R \rho_{lin} = m \) allora \(\displaystyle I_z = mr^2 \) (con \(\displaystyle m \) massa dell'anello).
Per il discorso di considerare metà anello, direi tranquillamente che \(\displaystyle \pi R \rho_{lin} = m \) il che mi porta a dire, in modo analogo, che \(\displaystyle I_z = mr^2 \) anche per un mezzo anello sottile (con \(\displaystyle m \) massa del mezzo anello) ma il mio intuito non confermerebbe questo perché a rigor di logica (ammesso che non mi sbagli), il momento di inerzia dovrebbe essere funzione dell'angolo che il mio arco di anello ricopre nella rotazione.
E' strano per me pensare che le differenze tra momento di inerzia dell'anello intero e momento di inerzia del mezzo anello, stiano unicamente nella massa (dato che le distanze di ogni punto dal centro del mezzo anello sono identiche a quelle dell'anello intero).
Chi mi può aiutare a chiarire questo dubbio?
Risposte
Se ho ben capito, vuoi calcolare il momento di inerzia di mezzo anello, rispetto ad un asse "perpendicolare al piano" in cui giace il centro del mezzo anello, e passante per il centro di quello che era l'anello intero, da cui hai tolto metà, è così?
Quindi l'asse "non passa" per il centro di massa del semianello, chiaro.
Si può fare un ragionamento terra-terra. Il momento di inerzia rispetto ad un certo asse è additivo. Se consideri l'anello intero, con massa distribuita uniformemente lungo la circonferenza, il momento d'inerzia è quello che hai calcolato tu : $m*r^2$ . Ed è ovvio, per la definizione di momento di inerzia, che sia così : tutta la massa si trova a distanza $r$ dall'asse.
Ma ora scriviamo così : $ I = mr^2 = 1/2mr^2 + 1/2mr^2$ . È lecito algebricamente, no? Ma dal punto di vista della geometria delle masse, possiamo interpretare questo come la somma dei momenti di inerzia di due pezzi uguali, i due semianelli, rispetto allo stesso asse, e questo per l'additività detta.
Se ora togliamo metà anello , rimane l'altra metà, che rispetto allo stesso asse di prima ha come momento di inerzia la quantità : $ 1/2mr^2 = m' * r^2$ , dove $m' = 1/2 m $.
Del resto, facciamo pure così : prendiamo mille massettine puntiformi $m_1 , m_2 ......m_(1000)$ , tutte uguali tra loro, e mettiamole su una circonferenza di raggio $r$ ; ciascuna di esse, rispetto al centro, ha momento di inerzia $m_i*r^2$ .
E la somma di tutti i mom. d'inerzia sarà : $M*r^2$ , dove $M$ è la somma delle mille masse puntiformi.
Non c'è nulla di strano.
Se vuoi, si può anche fare il calcolo con un integrale, in coordinate polari, facendo variare l'angolo da $0º$ a $\pi$, del momento elementare $dm*r^2$ ,ed esprimendo la massa elementare in funzione di una densità costante.
Quindi l'asse "non passa" per il centro di massa del semianello, chiaro.
Si può fare un ragionamento terra-terra. Il momento di inerzia rispetto ad un certo asse è additivo. Se consideri l'anello intero, con massa distribuita uniformemente lungo la circonferenza, il momento d'inerzia è quello che hai calcolato tu : $m*r^2$ . Ed è ovvio, per la definizione di momento di inerzia, che sia così : tutta la massa si trova a distanza $r$ dall'asse.
Ma ora scriviamo così : $ I = mr^2 = 1/2mr^2 + 1/2mr^2$ . È lecito algebricamente, no? Ma dal punto di vista della geometria delle masse, possiamo interpretare questo come la somma dei momenti di inerzia di due pezzi uguali, i due semianelli, rispetto allo stesso asse, e questo per l'additività detta.
Se ora togliamo metà anello , rimane l'altra metà, che rispetto allo stesso asse di prima ha come momento di inerzia la quantità : $ 1/2mr^2 = m' * r^2$ , dove $m' = 1/2 m $.
Del resto, facciamo pure così : prendiamo mille massettine puntiformi $m_1 , m_2 ......m_(1000)$ , tutte uguali tra loro, e mettiamole su una circonferenza di raggio $r$ ; ciascuna di esse, rispetto al centro, ha momento di inerzia $m_i*r^2$ .
E la somma di tutti i mom. d'inerzia sarà : $M*r^2$ , dove $M$ è la somma delle mille masse puntiformi.
Non c'è nulla di strano.
Se vuoi, si può anche fare il calcolo con un integrale, in coordinate polari, facendo variare l'angolo da $0º$ a $\pi$, del momento elementare $dm*r^2$ ,ed esprimendo la massa elementare in funzione di una densità costante.
Perfetto! La risposta è eccellente e chiarissima. A quanto pare il mio intuito mi suggeriva male. E' un vizio che ho quando studio fisica: devo capacitarmi di ciò che imparo, se non ho sbagliato nulla allora meglio così! Grazie mille!
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