Calcolo del lavoro
Ciao a tutti! Vorrei un aiuto su questo problema:
Un punto materiale si muove nel piano xy sotto l'azione della forza F= 2xy(i)+(kx^2 + y^3)(j) Determinare il valore della costante k affinché la forza sia conservativa. Calcolare, con il valore di k ricavato, il lavoro compiuto da F quando il corpo si sposta da O (0,0) a P (3,1).
In particolare, ho dei dubbi sulla seconda domanda, riguardante il lavoro che la forza compie. Se questo si calcola integrando l'espressione (Fxdx+Fydy), quindi separando in due integrali di cui conosco gli estremi di integrazione (dati dal punto iniziale e finale), la mia domanda è: dovendo integrare in dx una grandezza che è espressa anche da y, la y diventa una costante e viene portata fuori dal segno di integrale. Questo vale anche per la variabile x del secondo integrale.
Dunque, quello che alla fine ottengo è un'espressione del lavoro nelle variabili x e y, non giungo a un risultato numerico. Giusto?
Grazie in anticipo
Un punto materiale si muove nel piano xy sotto l'azione della forza F= 2xy(i)+(kx^2 + y^3)(j) Determinare il valore della costante k affinché la forza sia conservativa. Calcolare, con il valore di k ricavato, il lavoro compiuto da F quando il corpo si sposta da O (0,0) a P (3,1).
In particolare, ho dei dubbi sulla seconda domanda, riguardante il lavoro che la forza compie. Se questo si calcola integrando l'espressione (Fxdx+Fydy), quindi separando in due integrali di cui conosco gli estremi di integrazione (dati dal punto iniziale e finale), la mia domanda è: dovendo integrare in dx una grandezza che è espressa anche da y, la y diventa una costante e viene portata fuori dal segno di integrale. Questo vale anche per la variabile x del secondo integrale.
Dunque, quello che alla fine ottengo è un'espressione del lavoro nelle variabili x e y, non giungo a un risultato numerico. Giusto?
Grazie in anticipo
Risposte
Ciao!
No, non è giusto. L'integrale di una forma differenziale di cui conosci due punti è per forza un numero.
D'altra parte il tuo campo è conservativo, quindi il suo integrale di linea della forma differenziale non dipende dal percorso di integrazione che scegli. Quindi se prendi come curva la più semplice, in questo caso una retta, se calcoli l'integrale, verrà fuori ad un solo parametro. E' semplicemente la definizione di integrale di linea di una forma differenziale, niente di più.
No, non è giusto. L'integrale di una forma differenziale di cui conosci due punti è per forza un numero.
D'altra parte il tuo campo è conservativo, quindi il suo integrale di linea della forma differenziale non dipende dal percorso di integrazione che scegli. Quindi se prendi come curva la più semplice, in questo caso una retta, se calcoli l'integrale, verrà fuori ad un solo parametro. E' semplicemente la definizione di integrale di linea di una forma differenziale, niente di più.
[xdom="JoJo_90"]Sposto la discussione nella sezione di Fisica.[/xdom]
Jo89 vedo che è il tuo primo messaggio, quindi colgo l'occasione per darti il benvenuto nel forum e per consigliarti di leggere il regolamento (se non lo hai già fatto).
Un benvenuto anche a Gabriele che vedo si è iscritto da poco.
Ciao
Jo89 vedo che è il tuo primo messaggio, quindi colgo l'occasione per darti il benvenuto nel forum e per consigliarti di leggere il regolamento (se non lo hai già fatto).
Un benvenuto anche a Gabriele che vedo si è iscritto da poco.
Ciao
Grazie!
Gabriele, hai ragione, essendo l'espressione dentro l'integrale una forma differenziale lineare, devo per forza pervenire a un risultato numerico, conoscendo gli estremi di integrazione. Infatti poiché la forza è conservativa, il lavoro non è altro che la variazione del potenziale U tra i due punti.
Quindi L= U(B)-U(A).
Il potenziale però viene anch'esso una funzione di x e y, quindi non di una sola variabile. Infatti poiché F è il gradiente di U, Fx= dU/dx, Fy=dU/dy, quindi U sarà dato dalla integrazione rispettiva delle due componenti della forza. Ma, come dicevamo prima, la componente x dipende anche da y e viceversa, perciò quello che alla fine ottengo è una funzione del potenziale in x e y. Il mio problema però è risolto, perché basta sostituire sia la x che la y tra il punto iniziale e il punto finale per ottenere il lavoro.
Gabriele, hai ragione, essendo l'espressione dentro l'integrale una forma differenziale lineare, devo per forza pervenire a un risultato numerico, conoscendo gli estremi di integrazione. Infatti poiché la forza è conservativa, il lavoro non è altro che la variazione del potenziale U tra i due punti.
Quindi L= U(B)-U(A).
Il potenziale però viene anch'esso una funzione di x e y, quindi non di una sola variabile. Infatti poiché F è il gradiente di U, Fx= dU/dx, Fy=dU/dy, quindi U sarà dato dalla integrazione rispettiva delle due componenti della forza. Ma, come dicevamo prima, la componente x dipende anche da y e viceversa, perciò quello che alla fine ottengo è una funzione del potenziale in x e y. Il mio problema però è risolto, perché basta sostituire sia la x che la y tra il punto iniziale e il punto finale per ottenere il lavoro.
Grazie JoJo!!
Comunque, allo stesso risultato arriveresti senza passare necessariamente per il potenziale.
Senza perdere troppo tempo, il campo è conservativo se $k=1$.
Quindi sotto questa condizione $\bbF=2xy\bbe_1+(x^2+y^3)\bbe_2$.
Scegliendo come curva di integrazione la retta così parametrizzata $\gamma:\{(x=t),(y=t/3):}$, con $t\in[0;3]$, si ha:
Sfruttando invece il potenziale, scelto ad esempio come punto iniziale $P=(0,0)$, otterresti:
E quindi: $L=U(3,1)-U(0,0)=9+1/4=37/4$.
Comunque, allo stesso risultato arriveresti senza passare necessariamente per il potenziale.
Senza perdere troppo tempo, il campo è conservativo se $k=1$.
Quindi sotto questa condizione $\bbF=2xy\bbe_1+(x^2+y^3)\bbe_2$.
Scegliendo come curva di integrazione la retta così parametrizzata $\gamma:\{(x=t),(y=t/3):}$, con $t\in[0;3]$, si ha:
$L=\int_{\gamma}\bbF*d\bbx=\int_{\gamma}2xydx+(x^2+y^3)dy=\int_{0}^3[2/3t^2+1/3t^2+1/3(t^2+t^3/27)]dt=...=37/4$.
Sfruttando invece il potenziale, scelto ad esempio come punto iniziale $P=(0,0)$, otterresti:
$U(x,y)=\int_{y_0}^yF_2(x,\eta)d\eta=\int_{0}^y[x^2+\eta^3]d\eta=x^2y+1/4y^4$.
E quindi: $L=U(3,1)-U(0,0)=9+1/4=37/4$.
Ciao Gabriele!
Una curiosità, cosa cambia se io scelgo di integrare \(\displaystyle F_1 \) nel caso del potenziale? In teoria dovrei ottenere lo stesso risultato, ma in qualche modo mi perdo il termine \(\displaystyle 1/4y^4 \) ... Probabilmente sto solo sbagliando qualche passaggio matematico!
Una curiosità, cosa cambia se io scelgo di integrare \(\displaystyle F_1 \) nel caso del potenziale? In teoria dovrei ottenere lo stesso risultato, ma in qualche modo mi perdo il termine \(\displaystyle 1/4y^4 \) ... Probabilmente sto solo sbagliando qualche passaggio matematico!
@ufo: ma tu Jo89 siete lo stesso utente? Forse avevi dimenticato di avere già un account?
"ufo":
Ciao Gabriele!
Una curiosità, cosa cambia se io scelgo di integrare \(\displaystyle F_1 \) nel caso del potenziale? In teoria dovrei ottenere lo stesso risultato, ma in qualche modo mi perdo il termine \(\displaystyle 1/4y^4 \) ... Probabilmente sto solo sbagliando qualche passaggio matematico!
Dipende dal punto iniziale che consideri per il calcolo del potenziale. In generale, dato $P=(x_0,y_0,z_0)$ tale che le componenti della forza siano continue in tale punto, il potenziale diviene:
$U(x,y,z)=\int_{x_0}^xF_1(\eta,y_0,z_0)d\eta+\int_{y_0}^yF_2(x,\eta,z_0)d\eta+\int_{z_0}^zF_3(x,y,\eta)d\eta$.
Avendo scelto per semplicità $P$ come l'origine il primo integrale vale zero in questo caso.
@JoJo_90, no, siamo due utenti diversi
@Gabriele grazie per le risposte!
@Gabriele grazie per le risposte!
"JoJo_90":
@ufo: ma tu Jo89 siete lo stesso utente? Forse avevi dimenticato di avere già un account?
Ciao! No, Jo89 è la mia ragazza ed io ho scritto a suo nome dimenticandomi di essere loggato con il mio account
! Scusami!
[ot]Ho capito [/ot]
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